《(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù) 第9講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導學案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù) 第9講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導學案 新人教A版(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第9講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
【課程要求】
1.了解指數(shù)冪的含義、掌握冪的運算.
2.理解指數(shù)函數(shù)的概念、理解指數(shù)函數(shù)的單調性與其圖象特征并能靈活應用.
3.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.
對應學生用書p23
【基礎檢測】
1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)=()n=a(n∈N*).( )
(2)分數(shù)指數(shù)冪a可以理解為個a相乘.( )
(3)函數(shù)y=3·2x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù).( )
(4)若am<an(a>0,且a≠1),則m<n.( )
(5)函數(shù)y=2-x在R上為單調減函數(shù).( )
[答案] (1)× (2)
2、× (3)√ (4)× (5)√
2.[必修1p59A組T4]化簡(x<0,y<0)=________.
[答案]-2x2y
3.[必修1p59A組T7]已知a=,b=,c=,則a,b,c的大小關系是____________.
[解析]∵y=是減函數(shù),
∴>>,
即a>b>1,
又c=<=1,
∴c
3、點P.即這個點的坐標不隨a的改變而改變,只需要讓a不起作用即可,令x-1=0?x=1,此時y=5,故圖象恒過(1,5).
[答案]A
5.計算:×+8×-=____________.
[解析]原式=×1+2×2-=2.
[答案]2
6.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,則a的值為____________.
[解析]當01時,a2-a=,
∴a=或a=0(舍去).
綜上所述,a=或.
[答案]或
【知識要點】
1.分數(shù)指數(shù)冪
(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a=(
4、a>0,m,n∈N*,且n>1).于是,在條件a>0,m,n∈N*,且n>1下,根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿,我們規(guī)定a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分數(shù)指數(shù)冪等于__0__;0的負分數(shù)指數(shù)冪__沒有意義__.
(2)根式的性質:
①a的n(n>1,n∈N*)次方根,當n為奇數(shù)時,有一個n次方根為____;當n為偶數(shù)時,若a>0,有兩個互為相反數(shù)的n次方根為__±__,若a=0,其n次方根為__0__,若a<0,則無實數(shù)根.
②當n為奇數(shù)時,=__a__;
當n為偶數(shù)時,=|a|=____.
(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算
5、性質:aras=__ar+s__,(ar)s=__ars__,(ab)r=__arbr__,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指數(shù)函數(shù)圖象與性質
y=ax
a>1
00時,__y>1__;當x<0時,__00時,__01__
(6)在(-∞,+∞)上是__增函數(shù)__
(7)在(-∞,+∞)上是__減函數(shù)__
3.基本結論
(1)指數(shù)函數(shù)圖
6、象的畫法
畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.
(3)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關,要特別注意應分a>1與0<a<1來研究.
對應學生用書p24
指數(shù)冪的運算
例1 求值與化簡:
(
7、1)÷;
(2)(1.5)-2+(-9.6)0-++.
[解析] (1)原式=ab=4a;
(2)原式=+1-+4-π+π-2=+1-+2=3.
[小結]指數(shù)冪運算的一般原則:
(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算.
(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).
(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù).
(4)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又有負指數(shù).
1.(多選)若實數(shù)a>0,則下列等式成立的是( )
A.(-2)-2
8、=4B.2a-3=
C.(-2)0=1D.=
[解析]對于A,(-2)-2=,故A錯誤;對于B,2a-3=,故B錯誤;對于C,(-2)0=1,故C正確;對于D,=,故D正確.
[答案]CD
2.化簡:=__________.
[解析]原式==a---·b+-=.
[答案]
指數(shù)函數(shù)的圖象及應用
例2 (1)若函數(shù)y=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,則ab的取值范圍是( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.無法確定
[解析]因為函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限,所以函數(shù)單調遞減且圖象與y軸的交點在y軸負半軸上.令x=0,則y=a
9、0-b=1-b,由題意得解得故ab∈(0,1),故選C.
[答案]C
(2)當x∈[1,2]時,函數(shù)y=x2與y=ax(a>0)的圖象有交點,則a的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
[解析]當a>1時,如圖①所示,使得兩個函數(shù)圖象在[1,2]上有交點,需滿足·22≥a2,即1f(c)>f(b),則下列結論中,一定成立的是( )
A.
10、b<0
B.a(chǎn)<0,c>0
C.2-a<2c
D.2a+2c<2
[解析]作出函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象如圖中實線所示,
∵af(c)>f(b),
結合圖象知0f(c),即1-2a>2c-1,
∴2a+2c<2.
[答案]BD
[小結](1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過這些點,若不滿足則排除.
(2)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對稱變
11、換而得到.特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.
(3)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往是利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解.
(4)判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x=1得到底數(shù)的值再進行比較.
3.函數(shù)f(x)=2|x-1|的圖象是( )
[解析]由題意知f(x)=結合圖象知選B.
[答案]B
4.如圖,過原點O的直線與函數(shù)y=2x的圖象交于A,B兩點,過B作y軸的垂線交函數(shù)y=4x的圖象于點C,若AC平行于y軸,則點A的坐標為__________.
[解析]設A(n,2n),B(m,2m),則C,因為AC平行于y軸,所以n
12、=,所以A,B(m,2m),又因為A,B,O三點共線,所以kOA=kOB,所以=,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以點A的坐標為(1,2).
[答案] (1,2)
5.若函數(shù)f(x)=2|x+a|(a∈R)滿足f(1-x)=f(1+x),f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值記為f(x)max,最小值記為f(x)min,若f(x)max-f(x)min=3,則n-m的取值范圍是__________.
[解析]因為函數(shù)f(x)=2|x+a|(a∈R)滿足f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以a=-1,所以f(x)=2|x-1|.
作出函數(shù)y=f(x)的圖
13、象如圖所示.
當m<n≤1或1≤m<n時,離對稱軸越遠,n-m差越小,由y=2x-1與y=21-x的性質知極限值為0.當m<1<n時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值與最小值的差為f(x)max-f(x)min=2|±2|-20=3,則n-m取得最大值是2-(-2)=4,所以n-m的取值范圍是(0,4].
[答案] (0,4]
指數(shù)函數(shù)的性質及應用
例3 (1)已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),當x>0時,1<bx<ax,則( )
A.0<b<a<1B.0<a<b<1
C.1<b<aD.1<a<b
[解析]∵x>0時,1<bx,∴b>1.
∵x>0時,bx<ax
14、,∴x>0時,>1.
∴>1,∴a>b,∴1<b<a,故選C.
[答案]C
(2)已知函數(shù)f(x)=的值域是[-8,1],則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
[解析]當0≤x≤4時,f(x)∈[-8,1],
當a≤x<0時,f(x)∈,
∴?[-8,1],
即-8≤-<-1,即-3≤a<0,
∴實數(shù)a的取值范圍是[-3,0).
[答案]B
(3)已知函數(shù)y=b+ax2+2x(a,b為常數(shù),且a>0,a≠1)在區(qū)間上有最大值3,最小值,則a,b的值為__________.
[解析]令t=x2+2x=(
15、x+1)2-1,
∵x∈,∴t∈[-1,0].
①若a>1,函數(shù)f(t)=at在[-1,0]上為增函數(shù),
∴at∈,b+ax2+2x∈,
依題意得解得
②若0
16、c=,則( )
A.a(chǎn),∴b,∴a>c,
∴b-3.又a<0,∴-3
17、1)的值域為[1,+∞),則f(-4)與f(1)的大小關系是__________.
[解析]因為|x+1|≥0,函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域為[1,+∞),所以a>1.由于函數(shù)f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函數(shù),且它的圖象關于直線x=-1對稱,則函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),故f(1)=f(-3),f(-4)>f(1).
[答案]f(-4)>f(1)
對應學生用書p25
(2019·全國卷Ⅰ理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則( )
A.a(chǎn)20=1,
0