《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案 理（含解析）新人教A版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 2019考綱考題考情 考綱要求 考題舉例 考向標(biāo)簽 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx 2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式 2017·北京高考·T12(誘導(dǎo)公式、兩角和差公式) 2016·全國卷Ⅱ·T9(同角三角函數(shù)的關(guān)系、二倍角公式) 2016·全國卷Ⅲ·T5(同角三角函數(shù)的關(guān)系、二倍角公式) 命題角度： 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 2．誘導(dǎo)公式及應(yīng)用 核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋c

2、os2α＝1。 (2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝。 2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。 公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα。 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα。 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα。 公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα。 1．同角

3、三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； sinα＝tanα·cosα。 2．誘導(dǎo)公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。 一、走進(jìn)教材 1．(必修4P19例6改編)已知sinα＝，≤α≤π，則tanα＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　因?yàn)閏osα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－。 答案　D 2．(必修4P20練習(xí)T4改編)化簡＝________。 解析?。剑絪in2θ。 答案　sin2θ 二、走近高考 3．(2016·全國卷Ⅲ)若tanα＝，則

4、cos2α＋2sin2α＝(　　) A． B． C．1 D． 解析　cos2α＋2sin2α＝＝＝＝。 答案　A 4．(2017·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱。若sinα＝，則sinβ＝________。 解析　由題意可知角α在第一或第二象限，若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝。 答案　 三、走出誤區(qū) 微提醒：①不會(huì)運(yùn)用消元思想轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的齊次式；②不會(huì)對式子變形，且不注意角的范圍出錯(cuò)；③誘導(dǎo)公式記憶不熟出錯(cuò)。 5．已知tanx＝2，則si

5、n2x＋1的值為(　　) A．0 B． C． D． 解析　sin2x＋1＝＝＝，故選B。 答案　B 6．化簡cosα＋sinα得(　　) A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosα C．sinα－cosα D．cosα－sinα 解析　原式＝cosα＋sinα＝cosα·＋sinα·，因?yàn)棣?α<π，所以cosα<0，sinα<0。所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2。故選A。 答案　A 7．若sin(π＋α)＝－，則sin(7π－α)＝__________，cos＝________。 解析　由sin(π＋α)＝－，得sinα

6、＝，則sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sinα＝。 答案　　 考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 方向1：“知一求二”問題 【例1】　(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈，則sin(π＋α)＝(　　) A．－ B． C．± D．－k (2)(2019·廈門質(zhì)檢)若α∈，sin(π－α)＝，則tanα＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　(1)由cosα＝k，α∈得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－。故選A。 (2)因?yàn)棣痢?，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－。 答案　(1)A　(2)C

7、 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的。 方向2：弦切互化 【例2】　(1)(2019·河南平頂山、許昌兩市聯(lián)考)已知＝5，則cos2α＋sin2α的值是(　　) A．　　　B．－ C．－3　　　D．3 (2)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________。 解析　(1)由＝5得＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαco

8、sα＝＝＝。故選A。 (2)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－。 答案　(1)A　(2)－ 若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類基本題型。 方向3：sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用 【例3】　(1)(2019·山西晉城一模)若|sinθ|＋|cosθ|＝，則sin4θ＋co

9、s4θ＝(　　) A． B． C． D． (2)已知θ為第二象限角，sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sinθ－cosθ＝(　　) A． B． C． D．－ 解析　(1)因?yàn)閨sinθ|＋|cosθ|＝，兩邊平方，得1＋|sin2θ|＝。所以|sin2θ|＝。所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝。故選B。 (2)因?yàn)閟inθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得

10、m＝－。因?yàn)棣葹榈诙笙藿牵詓inθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，因?yàn)?sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，所以sinθ－cosθ＝＝。故選B。 答案　(1)B　(2)B 對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用。 【題點(diǎn)對應(yīng)練】　 1．(方向1)已知sin(π＋α)＝－，則tan值為(　　) A．2 B．－2 C． D．±2 解析　因?yàn)閟in(π＋α)＝－，所

11、以sinα＝，cosα＝±，tan＝＝±2。故選D。 答案　D 2．(方向2)已知tanθ＝2，則＋sin2θ的值為(　　) A．　　　B. C．　　　D. 解析　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tanθ＝2代入，得原式＝。故選C。 答案　C 3.(方向2)若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α＝(　　) A．－　　 B. C．－　　 D. 解析　由題意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故選D。 解析：由題意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故選D。 答案　D 4．(方向3)已知sinα＋cosα＝，α∈[0，π]，則tanα＝(　　

12、) A．－　　 B．－ C．　　　D. 解析　將sinα＋cosα＝①，左右兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－<0。又α∈[0，π]，所以sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0，因?yàn)?sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，所以sinα－cosα＝②，聯(lián)立①②解得sinα＝，cosα＝－，則tanα＝＝－。 答案　A 考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式及應(yīng)用 【例4】　(1)已知f(α)＝，則f＝(　　) A． B． C． D．－ (2)已知cos(75°＋α)＝，則sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A． B． C

13、．－ D．－ 解析　(1)f(α)＝＝＝＝cosα，則f＝cos＝。 (2)因?yàn)閏os(75°＋α)＝，所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－。 答案　(1)A　(2)D 1．已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解。轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用。 2．對給定的式子進(jìn)行化簡或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化。特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防

14、止符號及三角函數(shù)名出錯(cuò)。 【變式訓(xùn)練】　(1)sin300°＋tan600°的值是(　　) A．－ B． C．－＋ D．＋ (2)若sin＝，則cos＝________。 解析　(1)sin300°＋tan600°＝sin(－60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝。故選B。 (2)因?yàn)閟in＝，所以cos＝cos＝sin＝。 答案　(1)B　(2) 1．(配合例2使用)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tanα＝________。 解析　由題意結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系有解方程可得或則tanα＝＝3或－。 答案　3或－ 2．(配合例2使用)若角

15、α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝x上，則cos2α＝(　　) A． B． C． D．－ 解析　由題意易得tanα＝，cos2α＝＝＝＝。故選B。 答案　B 3．(配合例3使用)已知sinα＋cosα＝，則tanα＋的值為(　　) A．－1 B．－2 C． D．2 解析　因?yàn)閟inα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝。所以tanα＋＝＋＝＝2。故選D。 答案　D 4．(配合例4使用)已知α∈，sin＝，則cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　因?yàn)閟in＝cos＝，所以cos＝。故選B。 答案　B 9