《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 思想方法 數(shù)學(xué)思想方法 第2講 數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 思想方法 數(shù)學(xué)思想方法 第2講 數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)案 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　數(shù)形結(jié)合思想 思想方法·簡明概述 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解) 借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形為手段、數(shù)作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想. 借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段、形作為目的的解決問題的數(shù)學(xué)思想． 數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合. 熱點(diǎn)探究·考向調(diào)研 調(diào)研一　判斷函數(shù)的圖象 【例1】　(1)[2019·全國卷Ⅰ]函數(shù)f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為

2、(　　) 解析：∵f(－x)＝＝ －＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)，排除A； ∵f(π)＝＝>0，∴排除C； ∵f(1)＝，且sin1>cos1， ∴f(1)>1，∴排除B，故選D. 答案：D (2)[2019·全國卷Ⅲ]函數(shù)y＝在[－6,6]的圖象大致為(　　) 解析：∵f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，y＝為奇函數(shù)，排除C；當(dāng)x>0時，f(x)＝>0恒成立，排除D；又∵f(4)＝＝＝≈7.97，排除A，故選B. 答案：B (3)[2019·浙江卷]在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　)

3、 解析：若01，則y＝是減函數(shù)，y＝loga是增函數(shù)，結(jié)合選項可知，沒有符合的圖象，故選D. 答案：D 方法點(diǎn)睛 函數(shù)圖象的判斷可從以下方面入手： (1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置． (2)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性． (3)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象． (4)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢． 調(diào)研二　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根 【例2】　(1)[2019·浙江卷]設(shè)a，b∈R，f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－ax－b恰有

4、3個零點(diǎn)，則(　　) A．a(chǎn)<－1，b<0　 B．a(chǎn)<－1，b>0 C．a(chǎn)>－1，b<0 D．a(chǎn)>－1，b>0 解析：記g(x)＝f(x)－ax－b.當(dāng)x<0時，g(x)＝(1－a)x－b，最多有1個零點(diǎn)．當(dāng)x≥0時，g(x)＝x3－(a＋1)x2－b，g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)]．若a＋1≤0，即a≤－1，則g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)在[0，＋∞)上最多有1個零點(diǎn)，因此g(x)在R上最多有2個零點(diǎn)，不合題意，所以a>－1.當(dāng)x∈[0，a＋1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a＋1，＋∞)時，g′(x)>0，g(

5、x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x≥0時，g(x)恰有2個零點(diǎn)，其圖象如下： 所以，使g(x)有3個零點(diǎn)的條件為 ? 所以b<0，a>－1故選C. 答案：C (2)[2018·全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點(diǎn)等價于函數(shù)f(x)＝與h(x)＝－x－a的圖象存在2個交點(diǎn)，如圖． 當(dāng)x＝0時，h(0)＝－a. 由圖象可知要滿足y＝f(x)與h(x)的圖象存在2個交點(diǎn)，需要－a≤1，即a≥－1，故

6、選C. 答案：C (3)[2019·山東四校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝當(dāng)a<0時，f2(x)－2f(x)＋a＝0有4個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是(　　) A．－15≤a<－8 B．－15≤a≤e－ C．－15. 設(shè)g(t)＝t2－2t＋a，則

7、解得－15≤a<－8，故選A. 答案：A 方法點(diǎn)睛 已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象的直觀性，寫出滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍． 調(diào)研三　利用數(shù)形結(jié)合思想求解平面向量問題 【例3】　(1)[2019·北師大附中三模]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝＋ B.＝－ C.＝－ D.＝－＋ 解析：如圖所示，因為＝3， 所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，故選D. 答案：D (2)[2019·山東四校聯(lián)考]如圖Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC平分線交

8、△ABC的外接圓于點(diǎn)D，設(shè)＝a，＝b，則向量＝(　　) A．a(chǎn)＋b B.a＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)＋b 解析：設(shè)圓的半徑為r， 在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB， 所以∠BAC＝，∠ACB＝，∠BAC平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D， 所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，根據(jù)圓的性質(zhì)BD＝CD＝AB. 又因為在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD， 所以四邊形ABDO為菱形， 所以＝＋＝a＋b，故選C. 答案：C (3)[2019·廣東深圳模擬]已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則

9、·的值為(　　) A．－　　　　　　 B. C. D. 解析：由DE＝2EF，可得＝2，＝，如圖． 連接AE，則AE⊥BC，所以·＝0， ·＝(＋)· ＝·＋· ＝0＋·||·||·cos ＝0＋××1×＝，故選D. 答案：D 方法點(diǎn)睛 利用數(shù)形結(jié)合思想，求解平面向量問題，要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的平面圖形，結(jié)合平面向量的幾何運(yùn)算求解，或建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解． 調(diào)研四　利用數(shù)形結(jié)合思想求解解析幾何問題 【例4】　(1)[2019·全國卷Ⅰ]已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F

10、2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由題意設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，連接F1A.令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝|AB|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，則|AF2|＝a＝|AF1|，所以點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，如圖所示． 令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝.在等腰△ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1.故選B. 答案：B (2)[2019·全國卷Ⅱ]設(shè)F為雙曲線

11、C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為2＋y2＝?、?，將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故選A. 答案：A (3)[2019·北京卷]數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就

12、是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論： ①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))； ②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過； ③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3. 其中，所有正確結(jié)論的序號是(　　) A．① B．② C．①② D．①②③ 解析：曲線的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成關(guān)于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由題圖可知該方程必有兩個不相等的實根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<，滿足條件的整數(shù)x可?。?,0,1. 當(dāng)x＝－1時，y＝0或1，∴曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)有(－1,0)，(－1,1)；當(dāng)x＝0時，y＝－1或1，∴曲

13、線C經(jīng)過的整點(diǎn)有(0，－1)，(0,1)；當(dāng)x＝1時，y＝0或1，∴曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)有(1,0)，(1,1)．故曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)，①正確；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝y(tǒng)，即或時取等號，則曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故②正確；順次連接(－1,0)，(－1，1)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，(0，－1)，(－1,0)，所圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為3，顯然曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積要大于3，故③不正確，故選C. 答案：C 方法點(diǎn)睛 解答解析幾何問題，通常要畫出圖形，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，這樣使“數(shù)”更形象、更直觀，充分利用圖形的幾何特征，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系和幾何關(guān)系，避免一些復(fù)雜的計算，給解題提供方便． 9