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(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第33講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【課程要求】 1.掌握等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等. 2.掌握等比數(shù)列的判斷方法. 3.掌握等比數(shù)列求和的方法. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p89                     【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(  ) (2)G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab.(  ) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(  ) (4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)

2、列{lnan}是等差數(shù)列.(  ) (5)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=.(  ) (6)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2.[必修5p51例3]已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=______. [解析]由題意知q3==,∴q=. [答案] 3.[必修5p54A組T8]在9與243中間插入兩個(gè)數(shù),使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則這兩個(gè)數(shù)的和為________. [解析]設(shè)該數(shù)列的公比為q,由題意知, 243=9×q3

3、,q3=27,∴q=3. ∴插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3=27,27×3=81. 所以這兩個(gè)數(shù)的和為108. [答案]108 4.已知1,a,b,c,4成等比數(shù)列,其中a,b,c為實(shí)數(shù),則b=________. [解析]∵1,a,b,c,4成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q, 則b2=1×4=4,且b=1×q2>0,∴b=2, [答案]2 5.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)________分鐘,該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB=210KB). [解析]由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{

4、an},且a1=2,q=2,∴an=2n, 則2n=64×210=216,∴n=16. 即病毒共復(fù)制了16次. ∴所需時(shí)間為16×3=48(分鐘). [答案]48 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.等比數(shù)列的定義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母__q__表示(q≠0). 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)an=a1·qn-1(n∈N*). 3.等比中項(xiàng) 若G2=a·b(ab≠0),那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比

5、數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),其前n項(xiàng)和為Sn, 當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1; 當(dāng)q≠1時(shí),Sn==. 5.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak·al=am·an. (3)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比數(shù)列. (4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為__qn__. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p9

6、0 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 例1 (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則=________.                    [解析]∵ ∴ 由①除以②可得=2, 解得q=,代入①得a1=2, ∴an=2×=, ∴Sn==4, ∴==2n-1. [答案]2n-1 (2)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(  ) A.-7B.-5C.7D.5 [解析]由題得a4a7=-8,∵a4+a7=2,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4, 即或∴或 所以a1+a10=-8+(-8)=

7、-7或a1+a10=1+(-2)3=-7. [答案]A [小結(jié)]1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)可迎刃而解. 2.等比數(shù)列求和公式中,用Sn=時(shí),注意前提是q≠1. 1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2等于(  ) A.2B.1C.D. [解析]由{an}為等比數(shù)列,得a3a5=a, 又a3a5=4(a4-1),所以a=4(a4-1), 解得a4=2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則由a4=a1q3,得2=q3,解得q=2, 所以a2=a1

8、q=.故選C. [答案]C 等比數(shù)列的性質(zhì) 例2 (1)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a5a11=4,a6a12=8,則a8a9=________ [解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)得a=a5a11=4,a=a6a12=8, 因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正, 所以a8=2,a9=2, 所以a8a9=4. [答案]4 (2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12等于(  ) A.40B.60C.32D.50 [解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S1

9、2-S9是等比數(shù)列,因此S12=4+8+16+32=60,故選B. [答案]B [小結(jié)](1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中,一般利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,建立方程組求解,但如果能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q,則有aman=apaq”,可以減少運(yùn)算量. (2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì),例如等比數(shù)列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比數(shù)列,公比為qk(q≠-1). 2.已知等比數(shù)列{an},且a6+a8=4,則a8(a4+2a6+a8)的值為(  ) A.2B.4C.8D.16 [解析]∵a6+a8=4,∴a8(a4+2a6+a8)

10、=a8a4+2a8a6+a=(a6+a8)2=16.故選D. [答案]D 等比數(shù)列的判定與證明 例3 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù). (1)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列; (2)證明:當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. [解析] (1)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使{an}是等比數(shù)列, 則有a=a1a3,即=λ ?λ2-4λ+9=λ2-4λ?9=0,矛盾. 所以對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,{an}不是等比數(shù)列. (2)bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]

11、=(-1)n+1 =-(-1)n·(an-3n+21)=-bn. 又λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0. 由上式知bn≠0,所以=-(n∈N*). 故當(dāng)λ≠-18時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列. [小結(jié)]等比數(shù)列的四種常用判定方法 (1)定義法:若=q(q為非零常數(shù),n∈N*)或=q(q為非零常數(shù)且n≥2,n∈N*),則{an}是等比數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式法:若數(shù)列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{

12、an}是等比數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列. 其中,(1),(2)是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明,(3),(4)常用于選擇題、填空題中的判定. 若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可. 3.(2016·全國卷Ⅲ理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求λ. [解析] (1)由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,a1≠0. 由Sn=1+λan,

13、Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0, 所以=. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 于是an=. (2)由(1)得Sn=1-. 由S5=得1-=,即=. 解得λ=-1. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 例4 在等比數(shù)列中,an>0,公比q∈,且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項(xiàng)為2. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log2an,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)++…+最大時(shí),求n的值. [解析] (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴a+2a3

14、a5+a=25, 又an>0,∴a3+a5=5. 又a3與a5的等比中項(xiàng)為2, ∴a3a5=4,而q∈, ∴a3>a5,a3=4,a5=1,∴q=,a1=16, ∴an=16×,即an=25-n. (2)bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1. ∴是以b1=4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列, ∴Sn=,∴=, ∴當(dāng)n≤8時(shí),>0;當(dāng)n=9時(shí),=0; 當(dāng)n>9時(shí),<0. ∴當(dāng)n=8或9時(shí),++…+最大. 4.已知數(shù)列滿足a1=13,3an+1+an-4=0,Sn為其前n項(xiàng)和,則使不等式|Sn-n-9|>成立的n的最大值為(  ) A.7B.8C.9D.10

15、 [解析]由3an+1+an-4=0可得3+=0, 即=-,所以數(shù)列是等比數(shù)列, 又a1=13,所以a1-1=12, 故= ==9>, 解得1≤n≤8(n∈N*), 所以n的最大值為8.選B. [答案]B 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p91 1.(2019·全國卷Ⅲ理)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=(  )                    A.16B.8 C.4D.2 [解析]設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q,則 解得∴a3=a1q2=4,故選C. [答案]C 2.(2018·全國卷Ⅲ理)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. [解析] (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 11

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