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2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 15

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 15 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分. 1. 曲線在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程是 ▲ . 2. 若(R,i為虛數(shù)單位),則ab= ▲ . 3.命題“若實(shí)數(shù)a滿足,則”的否命題是 ▲ 命題(填“真”、“假”之一). 4. 把一個(gè)體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆,然后鋸成體積為1 cm3的27個(gè)小正方體,現(xiàn) 從中任取一塊,則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 ▲ . 5. 某教師出了一份三道題的測(cè)試卷,每道題1分,全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例 分別為

2、30%、50%、10%和10%,則全班學(xué)生的平均分為 ▲ 分. 6.設(shè)和都是元素為向量的集 合,則M∩N= ▲ . 7. 在如圖所示的算法流程圖中,若輸入m = 4,n = 3,則輸出的 a= ▲ . 8.設(shè)等差數(shù)列的公差為正數(shù),若 則 ▲ . 9.設(shè)是空間兩個(gè)不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線.從“①m⊥n;②⊥;③n⊥;④m⊥”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題: ▲ (用代號(hào)表示). 10.定義在R上的函數(shù)滿足:,當(dāng)時(shí),.下列四個(gè) 不等關(guān)系:;;;. 其中正確的個(gè)數(shù)是 ▲ . 11

3、.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),△ABC 的頂點(diǎn) C在雙曲線的右支上,則的值是 ▲ . 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)、,定義:. 已 知點(diǎn),點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn),則使取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ▲ . 13.若實(shí)數(shù)x,y,z,t滿足,則的最小值為 ▲ . 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A、B、C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn),若存在正實(shí)數(shù),使得 =,則的取值范圍是 ▲ . 【填空題答案】 1. x-y-2=0 2. 3. 真

4、 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. ①③④②(或②③④①) 10. 1 11. 12. ?13. ? 14. 二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 15.(本小題滿分14分) 如圖,平面平面,點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)G是線段CO 的中點(diǎn),,.求證: (1)平

5、面; (2)∥平面. 【證明】由題意可知,為等腰直角三角形, 為等邊三角形. …………………2分 (1)因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn),所以, 因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面? 平面,所以面. …………………5分 因?yàn)槠矫?,所以? 在等腰三角形內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),所以, 又,所以平面;…………………8分 (2)連AF交BE于Q,連QO. 因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn), 所以,且Q是△PAB的重心,…………………10分 于是,所以FG//QO. …………………12分 因?yàn)槠矫鍱BO,平面EBO,所以∥平面. …………………14分 【注】第(2

6、)小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H,利用平面FGH//平面EBO證得. 16.(本小題滿分14分) 已知函數(shù). (1)設(shè),且,求的值; (2)在△ABC中,AB=1,,且△ABC的面積為,求sinA+sinB的值. 【解】(1)==.……3分 由,得, ………………5分 于是,因?yàn)?,所以? ………………7分 (2)因?yàn)?,由?)知. ………………9分 因?yàn)椤鰽BC的面積為,所以,于是. ① 在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a,b.

7、 由余弦定理得,所以. ?② 由①②可得或 于是. ………………12分 由正弦定理得, 所以. ………………14分 17.(本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓E:的左、右頂點(diǎn)分別為、, 上、下頂點(diǎn)分別為、.設(shè)直線的傾斜角的正弦值為,圓與以線段為直徑的圓 關(guān)于直線對(duì)稱. (1)求橢圓E的離心率; (2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (3)若圓的面積為,求圓的方程. 【解】(1)設(shè)橢圓E的焦距為2c(c>0), 因?yàn)橹本€的傾斜角的正弦值為

8、,所以, 于是,即,所以橢圓E的離心率 …………4分 (2)由可設(shè),,則, 于是的方程為:, 故的中點(diǎn)到的距離, …………………………6分 又以為直徑的圓的半徑,即有, 所以直線與圓相切. …………………………8分 (3)由圓的面積為知圓半徑為1,從而, …………………………10分 設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線:的對(duì)稱點(diǎn)為, 則 …………………………12分 解得.所以,圓的方程為.…………………14分

9、 18.(本小題滿分16分) 如圖,實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成,圓P和圓Q的 半徑都是2km,點(diǎn)P在圓Q上,現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地. (1)如圖甲,要建的活動(dòng)場(chǎng)地為△RST,求場(chǎng)地的最大面積; (2)如圖乙,要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD,求場(chǎng)地的最大面積. 【解】(1)如右圖,過(guò)S作SH⊥RT于H, S△RST=. ……………………2分 由題意,△RST在月牙形公園里, RT與圓Q只能相切或相離;

10、 ……………………4分 RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形, 則有RT≤4,SH≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)(如下左圖),上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立. 此時(shí),場(chǎng)地面積的最大值為S△RST==4(km2). ……………………6分 (2)同(1)的分析,要使得場(chǎng)地面積最大,AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形, AD必須切圓Q于P,再設(shè)∠BPA=,則有 . ……………………8分 令,則 . ………………… 11分 若,

11、, 又時(shí),,時(shí),, …………………14分 函數(shù)在處取到極大值也是最大值, 故時(shí),場(chǎng)地面積取得最大值為(km2). …………………16分 19. (本小題滿分16分) 設(shè)定義在區(qū)間[x1, x2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,M是C上的任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)向 量=,,=(x,y),當(dāng)實(shí)數(shù)λ滿足x=λ x1+(1-λ) x2時(shí),記向 量=λ+(1-λ).定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指 “k恒成立”,其中k是一個(gè)確定的正數(shù). (1)設(shè)函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間[0

12、,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似,求k的取值范圍; (2)求證:函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k=下線性近似. (參考數(shù)據(jù):e=2.718,ln(e-1)=0.541) 【解】(1)由=λ+(1-λ)得到=λ, 所以B,N,A三點(diǎn)共線, ……………………2分 又由x=λ x1+(1-λ) x2與向量=λ+(1-λ),得N與M的橫坐標(biāo)相同. ……………4分 對(duì)于 [0,1]上的函數(shù)y=x2,A(0,0),B(1,1), 則有,故; 所以k的取值范圍是.

13、 ……………………6分 (2)對(duì)于上的函數(shù), A(),B(), ……………………8分 則直線AB的方程, ……………………10分 令,其中, 于是, ……………………13分 列表如下: x em (em,em+1-em) em+1-em (em+1-em,em+1) em+1 + 0 - 0 增 減 0 則,且在處取得最大值, 又0.

14、123,從而命題成立. ……………………16分 20.(本小題滿分16分) 已知數(shù)列滿足. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)對(duì)任意給定的,是否存在()使成等差數(shù)列?若存 在,用分別表示和(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)證明:存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為. 【解】(1)當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),, 所以; 綜上所述,. ……………………3分 (2)當(dāng)時(shí),若存在p,r使成等差數(shù)列,則, 因?yàn)?,所以,與數(shù)列為正數(shù)相矛盾,因此,當(dāng)時(shí)不存在; …………5分

15、 當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以, ……………………7分 令,得,此時(shí),, 所以,, 所以; 綜上所述,當(dāng)時(shí),不存在p,r;當(dāng)時(shí),存在滿足題設(shè). ……………………10分 (3)作如下構(gòu)造:,其中, 它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng), ……12分 顯然它們成等比數(shù)列,且,,所以它們能組成三角形. 由的任意性,這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè). ……………………14分 下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似: 若三角形和相似,且,則, 整理得,所以,這與條件相矛盾, 因此,任意兩個(gè)三角形不相似. 故命題成立.

16、 ……………………16分 【注】1.第(2)小題當(dāng)ak不是質(zhì)數(shù)時(shí),p,r的解不唯一; 2. 第(3)小題構(gòu)造的依據(jù)如下:不妨設(shè),且符合題意,則公比>1,因,又,則,所以,因?yàn)槿?xiàng)均為整數(shù),所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子,經(jīng)驗(yàn)證,僅含或時(shí)不合,所以; 3.第(3)小題的構(gòu)造形式不唯一. 數(shù)學(xué)II(附加題) 21.【選做題】本題包括A,B,C,D四小題,請(qǐng)選定其中兩題作答,每小題10分,共計(jì)20分, 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. A.選修4—1:幾何證明選講

17、 自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA,切點(diǎn)為A,M為PA的中點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn),且∠BMP=100°, ∠BPC=40°,求∠MPB的大?。? 【解】因?yàn)镸A為圓O的切線,所以. 又M為PA的中點(diǎn),所以. 因?yàn)?,所以? ………………5分 于是. 在△MCP中,由,得∠MPB=20°. ………………10分 B.選修4—2:矩陣與變換 已知二階矩陣A,矩陣A屬于特征值的一個(gè)特征向量為,屬于特征值 的一個(gè)特征向量為.求矩陣A. 【解】由特征值、特征向量定義可知,A, 即,得

18、 ……………………5分 同理可得 解得.因此矩陣A. …………10分 C.選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為.以直角坐標(biāo)系原 點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.點(diǎn) P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l距離的最大值. 【解】化簡(jiǎn)為, 則直線l的直角坐標(biāo)方程為. …………………4分 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,得P到直線l的距離, 即,其中. …………………8分 當(dāng)時(shí),.

19、 ………………10分 D.選修4—5:不等式選講 若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求的最小值. 【解】因?yàn)檎龜?shù)a,b,c滿足a+b+c=1, 所以,,………………5分 即, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),原式取最小值1. ………………10分 【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 22.在正方體中,O是AC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且D1E=λEO. (1)若λ=1,求異面直線DE與CD1所成角的余弦值; (2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值. 【解】(1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

20、以 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則A(1,0,0),,,D1(0,0,1), E, 于是,. 由cos==. 所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. ……………………5分 (2)設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1,y1,z1),由m·=0,m·=0 得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1) . ……………………7分 由D1E=λEO,則E,=. 又設(shè)平面CDE的法向量為n=(x2,y2,z2),由n·=0,n·=0. 得 取x2=2,得z2=-λ,即n=(-2,0,λ) . 因?yàn)?/p>

21、平面CDE⊥平面CD1F,所以m·n=0,得λ=2. ……………………10分 23.一種拋硬幣游戲的規(guī)則是:拋擲一枚硬幣,每次正面向上得1分,反面向上得2分. (1)設(shè)拋擲5次的得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望E; (2)求恰好得到n分的概率. 【解】(1)所拋5次得分的概率為P(=i)= (i=5,6,7,8,9,10), 其分布列如下: 5 6 7 8 9 10 P E== (分) . ……………………5分 (2)令pn表示恰好得到n分的概率. 不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n-1分以后再擲出一次反面. 因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)n分”的概率是1-pn,“恰好得到n-1分”的概率是pn-1, 因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是,所以有1-pn=pn-1, ……………………7分 即pn-=-. 于是是以p1-=-=-為首項(xiàng),以-為公比的等比數(shù)列. 所以pn-=-,即pn=. 答:恰好得到n分的概率是. …………………10分

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