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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第四節(jié) 基本不等式學(xué)案 文(含解析)新人教A版

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1、第四節(jié) 基本不等式 2019考綱考題考情 1.重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)。 2.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0。 (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。 (3)其中叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)。 3.利用基本不等式求最大、最小值問(wèn)題 (1)如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值2。(簡(jiǎn)記:“積定和最小”) (2)如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值。(簡(jiǎn)記:“和定

2、積最大”) 4.常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a+b≥2(a>0,b>0)。 (2)ab≤2(a,b∈R)。 (3)2≤(a,b∈R)。 (4)+≥2(a,b同號(hào))。 以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b。   1.應(yīng)用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”。忽略某個(gè)條件,就會(huì)出錯(cuò)。 2.對(duì)于公式a+b≥2,ab≤2,要弄清它們的作用、使用條件及內(nèi)在聯(lián)系,兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系。 3.在利用不等式求最值時(shí),一定要盡量避免多次使用基本不等式。若必須多次使用,則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致。 一、走進(jìn)教材 1.(必修5P99例

3、1(2)改編)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為(  ) A.80    B.77 C.81    D.82 解析 因?yàn)閤>0,y>0,所以≥,即xy≤2=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí),(xy)max=81。 答案 C 2.(必修5P100A組T2改編)若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是________m2。 解析 設(shè)矩形的一邊為x m,則另一邊為×(20-2x)=(10-x)m,所以y=x(10-x)≤2=25,當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí),ymax=25。 答案 25 二、走近高考 3.(2018·天津高考)已知a,b∈R,

4、且a-3b+6=0,則2a+的最小值為________。 解析 由a-3b+6=0,得a=3b-6,所以2a+=23b-6+≥2=2×2-3=,當(dāng)且僅當(dāng)23b-6=,即b=1時(shí)等號(hào)成立。 答案  4.(2017·山東高考)若直線+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為________。 解析 由條件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí)取等號(hào),所以最小值為8。 答案 8 三、走出誤區(qū) 微提醒:①基本不等式不會(huì)變形使用;②用錯(cuò)不等式的性質(zhì)以及基本不等式變形錯(cuò)誤。 5.若x<0,則x+(  ) A.有最小值,且最小

5、值為2 B.有最大值,且最大值為2 C.有最小值,且最小值為-2 D.有最大值,且最大值為-2 解析 因?yàn)閤<0,所以-x>0,-x+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí),等號(hào)成立,所以x+≤-2。故選D。 答案 D 6.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是(  ) A.≤ B.+≤1 C.≥2 D.a(chǎn)2+b2≥8 解析 4=a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立),即≤2,ab≤4,≥,選項(xiàng)A,C不成立;+==≥1,選項(xiàng)B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,選項(xiàng)D成立。故選D。 答案 D 考點(diǎn)一配湊法求最值 【例1】 (1)(

6、2019·泉州檢測(cè))已知02)在x=a處取最小值,則a等于(  ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析 (1)因?yàn)?2,所以x-2>0,所以f(x)=x+=(x-2)++2≥2·+2=2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=,即(x-2)2=1時(shí)等號(hào)成立,解得x=1或3。又因?yàn)閤>2,所以x=3,即a等于3時(shí),函數(shù)f(x)在x=3處取得最小值,故選C。 答案 (1

7、)B (2)C 通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略 拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵,利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題: (1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形; (2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo); (3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提。 【變式訓(xùn)練】 (1)若a>0,則a+的最小值為________。 (2)已知x+3y=1(x>0,y>0),則xy的最大值是________。 解析 (1)由題意可知a+=a++-≥2-=,當(dāng)且僅當(dāng)a+=,即a=時(shí)等號(hào)成立。所以a+的

8、最小值為。 (2)因?yàn)閤>0,y>0,所以xy=·x·3y≤2=,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=時(shí),等號(hào)成立,故xy的最大值是。 答案 (1) (2) 考點(diǎn)二常數(shù)代換法求最值 【例2】 若直線2mx-ny-2=0(m>0,n>0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),則+的最小值為(  ) A.2 B.6 C.12 D.3+2 解析 因?yàn)橹本€2mx-ny-2=0(m>0,n>0)過(guò)點(diǎn)(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,所以+=(m+n)=3++≥3+2,當(dāng)且僅當(dāng)“=,即n=m”時(shí)取等號(hào),所以+的最小值為3+2。故選D。 答案 D 常數(shù)代換法求最值的步驟 (1)根據(jù)已知條件或

9、其變形確定定值(常數(shù)); (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1; (3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式; (4)利用基本不等式求解最值。 【變式訓(xùn)練】 (2019·大慶質(zhì)檢)若θ∈,則y=+ 的取值范圍為(  ) A.[6,+∞) B.[10,+∞) C.[12,+∞) D.[16,+∞) 解析 因?yàn)棣取?,所以sin2θ,cos2θ∈(0,1),所以y=+=(sin2θ+cos2θ)=10++≥10+2 =16,當(dāng)且僅當(dāng)=,即θ=時(shí)等號(hào)成立,所以y=+的取值范圍為[16,+∞)。故選D。 答案 D 考點(diǎn)三消元法求最值 【例3】 若

10、正數(shù)x,y滿足x2+6xy-1=0,則x+2y的最小值是(  ) A. B. C. D. 解析 因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x2+6xy-1=0,所以y=。由即解得0

11、解析 由題意可得b+c=2-a>0,所以0

12、 對(duì)實(shí)際問(wèn)題,在審題和建模時(shí)一定不可忽略對(duì)目標(biāo)函數(shù)定義域的準(zhǔn)確挖掘,一般地,每個(gè)表示實(shí)際意義的代數(shù)式必須為正,由此可得自變量的范圍,然后再利用基本(均值)不等式求最值。 【變式訓(xùn)練】 某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則該公司年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元。 解析 每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為=18-,而x>0,故≤18-2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元。 答案 8 1.(配合例1使用)設(shè)等差數(shù)列{

13、an}的公差是d,其前n項(xiàng)和是Sn(n∈N*),若a1=d=1,則的最小值是________。 解析 an=a1+(n-1)d=n,Sn=,所以==≥=,當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào)。所以的最小值是。 答案  2.(配合例2使用)已知直線ax+by+c-1=0(b,c>0)經(jīng)過(guò)圓x2+y2-2y-5=0的圓心,則+的最小值是(  ) A.9    B.8 C.4    D.2 解析 圓x2+y2-2y-5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=6,所以圓心為C(0,1)。因?yàn)橹本€ax+by+c-1=0經(jīng)過(guò)圓心C,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1。因此+=(b+c)=++5,因?yàn)?/p>

14、b,c>0,所以+≥2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)==2時(shí)等號(hào)成立。由此可得當(dāng)b=2c,即b=且c=時(shí),+=++5的最小值為9。 答案 A 3.(配合例3使用)已知函數(shù)f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),則的最小值等于________。 解析 由函數(shù)f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),可知a>1>b>0,所以lga=-lgb,b=,a-b=a->0,則==a-+≥2 。 答案 2 利用均值定理連續(xù)放縮求最值 【典例】 已知a>b>0,那么a2+的最小值為________。 【思路點(diǎn)撥】 先將代數(shù)式中第2項(xiàng)的分母利用基本不等式進(jìn)行變換,再根據(jù)結(jié)構(gòu)特征利

15、用基本不等式可求得結(jié)果。 【解析】 因?yàn)閍>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤2=,所以a2+≥a2+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b且a2=,即a=且b=時(shí)取等號(hào),所以a2+的最小值為4。 【答案】 4 利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)一定要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立,特別是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且注意取等號(hào)的條件的一致性,因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。 【變式訓(xùn)練】 設(shè)a>b>0,則a2++的最小值是 (  ) A.1    B.2 C.3    D.4 解析 因?yàn)閍>b>0,所以a-b>0,所以a2++=(a2-ab)+++ab≥2+2= 4。故選D。 答案 D 9

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