《2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊六 概率與統(tǒng)計(jì) 第20講 概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊六 概率與統(tǒng)計(jì) 第20講 概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案 理（20頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第20講　概率與統(tǒng)計(jì) 1.[2018·全國卷Ⅰ]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

2、賠償費(fèi)用. (i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX. (ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)? [試做]? ? ? 2.[2018·全國卷Ⅱ]圖M6-20-1是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖. 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…

3、,7)建立模型②:y=99+17.5t. 圖M6-20-1 (1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值. (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說明理由. [試做]? ? ? 3.[2017·全國卷Ⅱ]海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如圖M6-20-2所示: 圖M6-20-2 (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計(jì)A的概率; (2)填寫下面列

4、聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān); 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01). 附:P(K2≥k)k　0.050　　0.010　　0.001　3.841　　6.635　10.828　, K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). [試做]? ? ? 命題角度　概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際問題 ①求隨機(jī)變量分布列的主要步驟: a.明確隨機(jī)變量的取值,并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布; b.求隨機(jī)變量取每一

5、個(gè)值的概率; c.列成表格. ②求離散型隨機(jī)變量均值的一般步驟: a.理解隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值; b.求X取每個(gè)值的概率; c.寫出X的分布列; d.由均值定義求出E(X). ③解決線性回歸方程的求解與應(yīng)用問題,一般是根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程,再根據(jù)所給變量求出預(yù)測(cè)值.注意:回歸直線方程y=bx+a必過樣本點(diǎn)的中心(x,y). ④由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí),要注意: a.頻率分布表中各組的頻率之和為1; b.頻率組距×組距=頻率; c.頻數(shù)樣本容量=頻率. ⑤獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度.具體

6、做法是根據(jù)公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值k,k越大,說明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大. 解答1以互斥或獨(dú)立事件為背景的期望與方差 1 某智能共享單車公司備有A,B兩種車型,采用分段計(jì)費(fèi)的方式營運(yùn):A型單車每30分鐘收費(fèi)0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算),B型單車每30分鐘收費(fèi)1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙、丙三人,分別相互獨(dú)立地到租車點(diǎn)租車騎行(各租一車一次).已知甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為34,23,12,且這三人每人租車的時(shí)間都不會(huì)超過60分鐘,甲、乙均租用A型單車,丙租用B型

7、單車. (1)求甲、乙兩人所付費(fèi)用之和等于丙所付費(fèi)用的概率; (2)設(shè)甲、乙、丙三人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. [聽課筆記] ? ? ? 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 求解與獨(dú)立事件有關(guān)的期望或方差問題,關(guān)鍵是計(jì)算相應(yīng)事件的概率,通常結(jié)合題意,并利用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解. 【自我檢測(cè)】 經(jīng)銷商第一年購買某工廠商品的單價(jià)為a(單位:元),在下一年購買時(shí),購買單價(jià)與其上年度銷售額(單位:萬元)相聯(lián)系,銷售額越多,得到的優(yōu)惠力度越大,具體情況如下表: 上一年度銷 售額/萬元 [0, 100) [100, 200) [200,

8、 300) [300, 400) [400, 500) [500, +∞) 商品單價(jià)/元 a 0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a 為了研究該商品購買單價(jià)的情況,調(diào)查并整理了50個(gè)經(jīng)銷商一年的銷售額,得到如圖M6-20-3所示的統(tǒng)計(jì)圖. 圖M6-20-3 已知某經(jīng)銷商下一年購買該商品的單價(jià)為X(單位:元),且以經(jīng)銷商在各段銷售額的頻率作為概率. (1)估計(jì)X的平均值h. (2)該工廠針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:經(jīng)銷商購買單價(jià)不高于h的獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),高于h的獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次抽獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)金額和對(duì)應(yīng)的概率為 獲獎(jiǎng)金額/元 5

9、000 10 000 概率 34 14 記Y(單位:元)表示某經(jīng)銷商參加這次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲獎(jiǎng)的金額,求Y的分布及數(shù)學(xué)期望. ? ? 解答2以二項(xiàng)分布為背景的期望與方差 2 為了了解校園噪音情況,學(xué)校環(huán)保協(xié)會(huì)對(duì)校園噪音值(單位:分貝)進(jìn)行了50天的監(jiān)測(cè),得到如下統(tǒng)計(jì)表: 噪音值 (單位:分貝) [55, 57] (57, 59] (59, 61] (61, 63] (63, 65] (65, 67] 頻數(shù) 1 4 12 20 8 5 (1)根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表,求這50天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一分組的數(shù)據(jù)用該分組區(qū)間的中點(diǎn)值代表). (2)

10、根據(jù)相關(guān)規(guī)定,“環(huán)境噪音值超過65分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超過59分貝,視為輕度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計(jì)表計(jì)算得到的頻率視作概率,回答下列問題: ①求周一到周五的5天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余3天都是輕度噪音污染的概率. ②學(xué)校要舉行為期3天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這3天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X,求X的分布列和方差D(X). [聽課筆記] ? ? ? 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 利用二項(xiàng)分布解題的一般步驟:①根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量,②分析隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,③找到參數(shù)n,p,④寫出二項(xiàng)分布的概率表達(dá)式,⑤求解相關(guān)概率. 【自我檢測(cè)】 在某校舉行的

11、航天知識(shí)競(jìng)賽中,參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3,且成績(jī)(單位:分)分布在[40,100]內(nèi),規(guī)定成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的同學(xué)獲獎(jiǎng),按文理科用分層抽樣的方法抽取了200人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖M6-20-4所示. (1)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有超過95%的把握認(rèn)為是否獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)? (2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從參賽學(xué)生中,任意抽取3名學(xué)生,記“獲獎(jiǎng)”學(xué)生的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 文科生 理科生 總計(jì) 獲獎(jiǎng) 5 不獲獎(jiǎng) 總計(jì) 200 附:K2=n(ad-bc)2

12、(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 圖M6-20-4 [聽課筆記] ? ? ? 解答3以超幾何分布為背景的期望與方差 3 某高中組織高一年級(jí)學(xué)生開展了一次“百里遠(yuǎn)足”活動(dòng).本次遠(yuǎn)足活動(dòng)結(jié)束后,該校課外興趣小組在高一某班進(jìn)行了對(duì)“本次遠(yuǎn)足活動(dòng)同學(xué)們的表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種),按分層抽樣的方法從被調(diào)查的

13、學(xué)生中隨機(jī)抽取了11人,具體調(diào)查結(jié)果如下表: 滿意 不滿意 男生 2 3 女生 4 2 (1)若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多4,求該班男生人數(shù)和女生人數(shù); (2)在該班隨機(jī)抽取一名學(xué)生,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該同學(xué)持滿意態(tài)度的概率; (3)若從該班抽出的11名學(xué)生中任選2人,記選中的2人中對(duì)“本次遠(yuǎn)足活動(dòng)同學(xué)們的表現(xiàn)”滿意的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. [聽課筆記] ? ? ? 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 求超幾何分布的分布列的一般步驟:①確定參數(shù)N,M,n的值;②明確隨機(jī)變量的所有可能取值,并求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率;③列出分布列. 解答4統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)

14、計(jì)案例的交匯問題 4 為了響應(yīng)中國大豆參與世界貿(mào)易的號(hào)召,農(nóng)科院積極研究,加大優(yōu)良大豆品種的培育工作,其中一項(xiàng)基礎(chǔ)工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系,為此科研人員分別記錄了5天中每天100粒大豆的發(fā)芽數(shù),得如下數(shù)據(jù): 日期 4月4日 4月5日 4月6日 4月7日 4月8日 溫差x(℃) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)y(粒) 23 26 32 26 16 科研人員確定的研究方案是從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用求得的回歸方程對(duì)剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn). (1)求剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率. (2)若選取的是4

15、月5日、6日、7日三天的數(shù)據(jù),據(jù)此求y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a. (3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差的絕對(duì)值均不超過1,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,請(qǐng)檢驗(yàn)(2)中得到的線性回歸方程是否可靠? 注:b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx. [聽課筆記] ? ? ? 5 為了推行“智慧課堂”教學(xué),某老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“智慧課堂”教學(xué)兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表: 分?jǐn)?shù) [50,60) [60,70)

16、 [70,80) [80,90) [90,100] 甲班頻數(shù) 5 6 4 4 1 乙班頻數(shù) 1 3 6 5 5 記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”. (1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷“成績(jī)是否優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”? 甲班 乙班 總計(jì) 成績(jī)優(yōu)良 成績(jī)不優(yōu)良 總計(jì) (2)現(xiàn)從上述40人中,按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核.在這8人中隨機(jī)抽取3人,記成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 附:K2=n(ad-bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d),其中n=a

17、+b+c+d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 [聽課筆記] ? ? ? 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】 (1)解決回歸分析問題要注意:①回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心(x ,y);②利用回歸直線方程只能進(jìn)行預(yù)測(cè)與估計(jì),而得不到準(zhǔn)確數(shù)值.(2)解決統(tǒng)計(jì)案例問題關(guān)鍵是過好三關(guān):①假設(shè)關(guān),即假設(shè)兩個(gè)分類變量無關(guān);②應(yīng)用公式關(guān),把相關(guān)數(shù)據(jù)代入獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求出K2的觀測(cè)值k;③對(duì)比關(guān),將k與臨界值進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)而作出判斷. 【自我檢測(cè)】 某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩個(gè)班級(jí)一模的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分,滿分150),得到

18、如圖M6-20-5所示的莖葉圖. 圖M6-20-5 (1)根據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù),并將乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖(如圖M6-20-6所示)填充完整; 圖M6-20-6 (2)根據(jù)莖葉圖比較在一?？荚囍屑?、乙兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均水平和成績(jī)的分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可); (3)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在[100,120)內(nèi)的成績(jī)?yōu)榱己?分?jǐn)?shù)在[120,150)內(nèi)的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,現(xiàn)從甲、乙兩班成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生中,按照各班成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)比例用分層抽樣的方法,共選出12位學(xué)生參加數(shù)學(xué)提優(yōu)培訓(xùn),求這12位學(xué)生中恰含甲、乙兩班所有140分以上的學(xué)

19、生的概率. ? 第20講　概率與統(tǒng)計(jì) 典型真題研析 1.解:(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)18, 因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p). 令f'(p)=0,得p=0.1. 當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f'(p)>0; 當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f'(p)<0. 所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1. (

20、i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. (ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元. 由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 2.解:(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=-30.4+13.5×19=226.1(億元). 利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=99+17.5×9=256.5(億元). (2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下: (

21、i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. (ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施

22、投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. (以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可) 3.解:(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”. 由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P(B)的估計(jì)值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068+0.046

23、+0.010+0.008)×5=0.66, 故P(C)的估計(jì)值為0.66. 因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66=0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表: 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0

24、.5, 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為 50+0.5-0.340.068≈52.35(kg). 考點(diǎn)考法探究 解答1 例1　解:(1)由題意,甲、乙、丙三人在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為14,13,12. 設(shè)“甲、乙兩人所付費(fèi)用之和等于丙所付費(fèi)用”為事件M, 則P(M)=34×23×12+14×13×12=724. (2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為2,2.5,3,3.5,4. 由題意知P(ξ=2)=34×23×12=14,P(ξ=2.5)=3

25、4×13×12+14×23×12=524, P(ξ=3)=34×23×12+14×13×12=724,P(ξ=3.5)=34×13×12+14×23×12=524, P(ξ=4)=14×13×12=124, 所以甲、乙、丙三人所付費(fèi)用之和ξ的分布列為 ξ 2 2.5 3 3.5 4 P 14 524 724 524 124 所以E(ξ)=2×14+2.5×524+3×724+3.5×524+4×124=6724. 【自我檢測(cè)】 解:(1)由題可知: 商品單價(jià)/元 a 0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a 頻率 0.2 0.

26、3 0.24 0.12 0.1 0.04 所以估計(jì)X的平均值h=a×0.2+0.9a×0.3+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a. (2)經(jīng)銷商購買單價(jià)不高于h的概率為0.24+0.12+0.1+0.04=12,高于h的概率為0.2+0.3=12. Y的可能取值為5000,10 000,15 000,20 000. 則P(Y=5000)=12×34=38, P(Y=10 000)=12×14+12×34×34=1332, P(Y=15 000)=12×C21×14×34=316, P(Y=20 000)=12×1

27、4×14=132. 所以Y的分布列為 Y 5000 10 000 15 000 20 000 P 38 1332 316 132 E(Y)=5000×38+10 000×1332+15 000×316+20 000×132=9375. 解答2 例2解:(1)由題意可知,樣本平均值x=56×1+58×4+60×12+62×20+64×8+66×550=61.8. (2)①由題意得,校園某天出現(xiàn)重度噪音污染的概率為110,出現(xiàn)輕度噪音污染的概率為110. 設(shè)事件A為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”, 則P(A)=C521

28、102×1103=110 000. ②由題意得X~B3,110, 則P(X=k)=C3k110k9103-k,k=0,1,2,3. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 7291000 2431000 271000 11000 D(X)=np(1-p)=27100. 【自我檢測(cè)】 解:(1)完整的2×2聯(lián)表如下: 文科生 理科生 總計(jì) 獲獎(jiǎng) 5 35 40 不獲獎(jiǎng) 45 115 160 總計(jì) 50 150 200 由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀測(cè)值k=200×(5×115-35×45)240×160×50×150=256≈4.167

29、>3.841, 所以有超過95%的把握認(rèn)為是否獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān). (2)由表中數(shù)據(jù)可知,抽到獲獎(jiǎng)學(xué)生的概率為15, 將頻率視為概率,所以X可取0,1,2,3且X~B3,15, 則P(X=k)=C3k15k1-153-k(k=0,1,2,3), 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 E(X)=np=3×15=35. 解答3 例3　解:(1)設(shè)該班男生人數(shù)為x,則女生人數(shù)為x+4,由條件可得x2x+4=511, 解得x=20,故該班男生有20人,女生有24人. (2)由條件知在該班隨機(jī)抽取一名學(xué)生,估計(jì)該

30、同學(xué)持滿意態(tài)度的概率為611. (3)由題意知ξ的可能取值為0,1,2,ξ服從超幾何分布, 則P(ξ=0)=C60C52C112=211,P(ξ=1)=C61C51C112=611,P(ξ=2)=C62C50C112=311, 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 211 611 311 E(ξ)=0×211+1×611+2×311=1211. 解答4 例4　解:(1)剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是1-4C52=35. (2)由已知數(shù)據(jù)得∑i=13xiyi=11×26+13×32+12×26=1014,x=13×(11+13+12)=12,y=13×

31、(26+32+26)=28,3xy=3×12×28=1008,∴∑i=13xiyi-3xy=1014-1008=6.∵∑i=13xi2=112+132+122=434,3x2=3×122=432,∴∑i=13xi2-3x2=434-432=2,∴b=∑i=13xiyi-3xy∑i=13xi2-3x2=62=3,∴a=y-bx=28-3×12=-8.故y關(guān)于x的線性回歸方程為y=3x-8. (3)當(dāng)x=10時(shí),y =3x-8=3×10-8=22,|22-23|≤1; 當(dāng)x=8時(shí),y =3x-8=3×8-8=16,|16-16|≤1.故(2)中得到的線性回歸方程是可靠的. 例5　解:(1)2

32、×2列聯(lián)表如下: 甲班 乙班 總計(jì) 成績(jī)優(yōu)良 9 16 25 成績(jī)不優(yōu)良 11 4 15 總計(jì) 20 20 40 根據(jù)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測(cè)值k=40×(9×4-16×11)225×15×20×20≈5.227>5.024, ∴在犯錯(cuò)的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“成績(jī)是否優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”. (2)由表可知在8人中成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)約為1540×8=3,則X的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=C53C83=528,P(X=1)=C31C52C83=1528, P(X=2)=C32C51C83=1556,P(X=3)=C33C83=15

33、6. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P 528 1528 1556 156 E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98. 【自我檢測(cè)】 解:(1)甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為122+1142=118, 乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為128+1282=128. 補(bǔ)充完整的乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示. (2)由莖葉圖可知,乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均水平.甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分散程度. (3)由莖葉圖可知,甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)分別為10,14.若從中用分層抽

34、樣的方法選出12人,則應(yīng)從甲、乙兩班分別選出5人、7人.設(shè)“選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學(xué)生”為事件A, 則P(A)=C22C83C105×C33C114C147=29×552=5234. 所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班所有140分以上的學(xué)生的概率為5234. [備選理由] 所給3個(gè)例題分別圍繞二項(xiàng)分布的期望,超幾何分布的期望,統(tǒng)計(jì)與概率的綜合等知識(shí)展開,旨在強(qiáng)化解題訓(xùn)練,熟悉試題題型與處理方法. 例1　[配例1使用] [2018·北京卷] 電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類

35、 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立. (1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率; (2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率; (3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等,用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,

36、6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系. 解:(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000, 第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50. 故所求概率為502000=0.025. (2)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”, 事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”. 故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B). 由題意知:P(A)估計(jì)為0.25,P(B)估計(jì)為0.2. 故所求概率估計(jì)為0.25×0.8

37、+0.75×0.2=0.35. (3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6. 例2　[配例3使用] 為發(fā)展業(yè)務(wù),某公司市場(chǎng)部準(zhǔn)備從國內(nèi)n(n∈N*)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市,則全是小城市的概率為415. (1)求n的值. (2)若一次抽取4個(gè)城市, ①假設(shè)取出小城市的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望; ②求取出的4個(gè)城市是同一類城市且全為超大城市的概率. 解:(1)從n+8個(gè)城市中取出2個(gè)城市,共有Cn+82種情況,其中全是小城市的情況有C82種, 故全是小城市的概率是C82Cn+82=8

38、×7(n+8)(n+7)=415, ∴(n+8)(n+7)=210=15×14,∴n+7=14,故n=7. (2)①X的可能取值為0,1,2,3,4. 則P(X=0)=C80C74C154=139,P(X=1)=C81C73C154=839,P(X=2)=C82C72C154=2865,P(X=3)=C83C71C154=56195,P(X=4)=C84C70C154=239. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 139 839 2865 56195 239 E(X)=0×139+1×839+2×2865+3×56195+4×239=3215. ②若

39、4個(gè)城市全是超大城市,共有C74=35(種)情況;若4個(gè)城市全是小城市,共有C84=70(種)情況. 故所求概率為C74C84+C74=3570+35=13. 例3　[配例4使用] 某市氣象站觀測(cè)點(diǎn)記錄的連續(xù)4天AQI指數(shù)(空氣質(zhì)量指數(shù))M與當(dāng)天的水平能見度y(單位:km)的情況如表1: 表1 M 400 300 200 100 y 0.5 3.5 6.5 9.5 該市某月AQI指數(shù)的頻數(shù)分布表如表2: 表2 M [0,100] (100,200] (200,300] (300,400] (400,500] 頻數(shù) 3 6 12 6 3 (

40、1)設(shè)x=M100,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程; (參考公式:y=bx+a,其中b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx) (2)小張開了一家洗車店,經(jīng)統(tǒng)計(jì),當(dāng)M不大于200時(shí),洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)M大于200不大于400時(shí),洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)M大于400時(shí),洗車店平均每天收入約7000元.根據(jù)表2估計(jì)小張的洗車店該月平均每天的收入. 解:(1)x=14×(4+3+2+1)=2.5, y=14×(0.5+3.5+6.5+9.5)=5, 則b=4×0.5+3×3.5+2×6.5+1×9.5-4×2.5×542+32+22+1-4×2.52=-3, a=5-(-3)×2.5=12.5, 故y=-3x+12.5. (2)由表2知AQI指數(shù)不大于200的頻率為930=0.3, AQI指數(shù)大于200不大于400的頻率為1830=0.6, AQI指數(shù)大于400的頻率為0.1, 設(shè)洗車店每天的收入為X,則X的分布列為 X -2000 4000 7000 P 0.3 0.6 0.1 則E(X)=-2000×0.3+4000×0.6+7000×0.1=2500. 故小張的洗車店該月平均每天的收入為2500元. 20