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《正弦定理》教學設計 一、教學目標分析 1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。 2、過程與方法：讓學生從實際問題出發(fā)，結合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應用；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。 3、情感態(tài)度與價值觀：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗數(shù)學的探索性與創(chuàng)造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發(fā)學生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學生處理解三角形問題的運算能力和探索數(shù)學規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。 二、教學重點、難點分析 重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。 難點：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數(shù)的判斷。 三、教法與學法分析 本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數(shù)相關知識。在教法上，根據(jù)教材的內容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設計恰當?shù)膯栴}情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯(lián)系，通過學生自己的親身體驗，使學生經歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學生的求知欲，調動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應用，引導學生主動思考、總結、歸納解答過程中的內在規(guī)律，形成一般結論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結合的方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數(shù)學知識的內在聯(lián)系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數(shù)學思維能力，形成實事求是的科學態(tài)度和嚴謹求真的學習習慣。 四、學情分析 對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。 五、教學工具 多媒體課件 六、教學過程 創(chuàng)設情境，導入新課 興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題： 工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長 是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？ 教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決 　　　這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發(fā)言） 學生活動一: （教師提示）把這個實際問題抽象為數(shù)學模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉化為直角三角形”，也就是要“作高”。 學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D 然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。 教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才 （同時再一次回顧該同學具體的做法） 教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？ 學生：可以 教師：那么具體應該怎么做呢？ 學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖： 接下來，只需要將相關的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長度 教師：總結學生的做法 通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來 接下來，只需要將題目中的相關數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。 定理的發(fā)現(xiàn)： 教師：如果把本題目中的有關數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50o，B＝80o大家又該怎么做 呢？ 學生1：同樣的做法（仍得作高） 學生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用 教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問 題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以 教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個 等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式 并進行代入求值即可。 教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？ 學生：不容易 教師：能否美化這個形式呢？ 學生：美化之后可以得到： （定理） 教師：銳角三角形中的這個結論，到底表達的是什么意思呢？ 學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等 教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就 讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。 定理的探索： 教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則： 所以： 故： 即： 在直角三角形中也成立 教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。 學生活動二：驗證 在鈍角三角形中是否成立 教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值 必須把A、B放在直角三角形中 即就是要作高（可利用誘導公式將轉化為） 學生：學生可分小組進行完成，最終可由各小組組長 匯報本小組的思路和做法。（結論成立） 教師：我們在銳角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對 它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結果發(fā)現(xiàn)，這個等式對于 任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這 個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以 教師：這就是我們這節(jié)課要學習的《正弦定理》（引出課題） 定理的證明 教師：展示正弦定理的證明過程 證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊 上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖： 同理可得： 所以易得 （2）當三角形是直角三角形時； 在直角三角形ABC中：若 因為： 所以： 故： 即： （3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角） 過點A作BC邊上的高線，垂直記作D 由三角形ABC的面積可得 即： 故： 所以，對于任意的三角形都有 成立。 教師：這就是本節(jié)課我們學習的正弦定理（給出定理的內容） （解釋定理的結構特征） 思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應用 教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦 定理解決）（板書步驟） 隨堂訓練 學生：獨立完成后匯報結果或快速搶答 教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應用，其實正弦定理的應用相 當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測 高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.” 以這四句話把正弦定理的廣泛應用推向高潮） 課堂小結： 1、知識方面：正弦定理： 2、其他方面： 過程與方法：發(fā)現(xiàn) 推廣 猜想 驗證 證明 （這是一種常用的科學研究問題的思路與方法，希望同學們在今 后的學習中一定要注意這樣的一個過程） 數(shù)學思想：轉化與化歸、分類討論、從特殊到一般 作業(yè)布置： ①書面作業(yè)：P527 ②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等） ③思考、探究：若將隨堂訓練中的已知條件改為以下幾種情況，結果如何？ 板書設計： 1、定理： 2、探索： 3、證明： 4、應用： 檢測評估：