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2018年普通高等學招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）理科數(shù)學
參考答案與解析
一、選擇題：本題有12小題，每小題5分，共60分。
1、設z=，則|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由題可得，所以|z|=1
【考點定位】復數(shù)
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，則A=
A、{x|-1
2}
D、{x|x-1}∪{x|x2}
【答案】B
【解析】由題可得CRA={x|x2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}
【考點定位】集合
3、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：
則下面結(jié)論中不正確的是：
A、新農(nóng)村建設后，種植收入減少。
B、新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上。
C、新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍。
D、新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半。
【答案】A
【解析】由題可得新農(nóng)村建設后，種植收入37%*200%=74%>60%，
【考點定位】簡單統(tǒng)計
4、記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=
A、-12
B、-10
C、10
D、12
【答案】B
【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=( a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:
2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10
【考點定位】等差數(shù)列 求和
5、設函數(shù)f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為：
A、y=-2x
B、y=-x
C、y=2x
D、y=x
【答案】D
【解析】f（x）為奇函數(shù)，有f（x）+f（-x）=0整理得:
f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1
f（x）=x3+x
求導f‘（x）=3x2+1
f‘（0）=1 所以選D
【考點定位】函數(shù)性質(zhì)：奇偶性；函數(shù)的導數(shù)
6、在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=
A、--
B、--
C、-+
D、-
【答案】A
【解析】AD為BC邊∴上的中線 AD=
E為AD的中點∴AE=
EB=AB-AE=
【考點定位】向量的加減法、線段的中點
7、某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為11A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為
A、
B、
C、3
D、2
【答案】B
A
A
【解析】將圓柱體的側(cè)面從A點展開：注意到B點在圓周處。
B
∴最短路徑的長度為AB=22+42
【考點定位】立體幾何:圓柱體的展開圖形，最短路徑
8.設拋物線C：y=4x的焦點為F，過點（-2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【解析】
拋物線C：y=4x的焦點為F(1,0)
直線MN的方程:
消去x整理得：y2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4
M、N 的坐標（1，2），（4，4）
則=(0,2)(3,4)=0*3+2*4=8
【考點定位】拋物線焦點 向量的數(shù)量積
如果消去Ｘ，計算量會比較大一些，您不妨試試。
9.已知函數(shù)f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是
A. [-1，0）
B. [0，+∞）
C. [-1，+∞）
D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】
根據(jù)題意：f(x)+x+a=0 有兩個解。令M(x)=-a,
N(x)=f(x)+x =ex+x x≤0lnx+x x>0
分段求導：N‘(x)=f(x)+x =ex+1>0 x≤01x+1>0 x>0 說明分段是增函數(shù)?？紤]極限位置，圖形如下：
M(x)=-a 在區(qū)間(-∞，+1]上有2個交點。
∴a的取值范圍是C. [-1，+∞）
【考點定位】分段函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)、分離參數(shù)法
10.下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為。直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC. △ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
整個區(qū)域的面積： S1+S半圓BC= S半圓AB+ S半圓AC+S△ABC
根據(jù)勾股定理，容易推出S半圓BC= S半圓AB+ S半圓AC
∴S1= S△ABC 故選A
【考點定位】古典概率、 不規(guī)則圖形面積
11.已知雙曲線C： -y=1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N. 若△OMN為直角三角形，則∣MN∣=
A.
B.3
C.
D.4
M
F
N
o
【答案】B
【解析】
右焦點,OF=3+1==2，
漸近線方程y=33x ∴∠NOF=∠MOF =30
在Rt△OMF中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=303
在Rt△OMN中，MN=OM*tan∠NOM=3*tan(30+30)=3
【考點定位】雙曲線漸近線、焦點
概念清晰了，秒殺！有時簡單的“解三角”也行，甚至雙曲線都不用畫出來。 如果用解方程，計算量很大。
12.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如圖平面α截正方體所得截面為正六邊形，此時，截面面積最大，其中邊長GH=22
截面面積S=634（22）2=
【考點定位】立體幾何 截面
【盤外招】交并集理論：ABD交集為3，AC交集為 34，選A
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.若x，y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為 .
【答案】6
【解析】
當直線z=3x+2y經(jīng)過點（2，0）時，Zmax=3*2+0=6
【考點定位】線性規(guī)劃（頂點代入法）
14.記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.若Sn=2an+1，則S6= .
【答案】-63
【解析】
S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1
n>1時，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 兩式相減：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1 ∴an=2an-1
an=a12n-1= （-1）2n-1
∴S6=（-1）（26-1）=-63
【考點定位】等比數(shù)列的求和
15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種.（用數(shù)字填寫答案）
【答案】16
【解析】
C21C42+C22C41=26+14=16
【考點定位】排列組合
16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是 .
【答案】-332
【解析】
f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)
考慮到f（x）為奇函數(shù)，可以求f（x）最大值.將f（x）平方：
f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)（（3-3cosx）+3(1+cosx))/4）4= （）4=
當3-3cosx=1+cosx 即cosx=12時，f2（x）取最大值
f（x）min=-332
【考點定位】三角函數(shù)的極值，基本不等式的應用
【其他解法】：１．求導數(shù)解答
?。玻甪（x）=2sinx(1+cosx)看成單位圓中一個三角形面積求解。
三.解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17.（12分）
在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=，求BC.
【答案】
【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB
∴sin∠ADB =ABsin∠ADB/BD=25
由題設可知，∠ADB<90∴ cos∠ADB=1-225=235
(2)由題設及（1）可知cos∠BDC= sin∠ADB =25
在△BCD中，由余弦定理得
BC2=BD2+DC2-2BDDCcos∠BDC
=25+8-2525=25
∴BC=5
【考點定位】正弦定理 余弦定理
18.（12分）
如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把?DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.
【答案】
【解析】（1）由已知可得PF⊥BF ，BF⊥EF ∴BF⊥平面PEF
又BF在平面ABFD上 ∴平面PEF⊥平面ABFD
(2) PH⊥EF，垂足為H，由（1）可得，PH⊥平面ABFD ∴DP與平面ABFD所成角就是∠PDH.
CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2= DE2+（EF-HF）2+PH2
CF2=PF2=HF2+PH2
設正方形ABCD的邊長為2.上面兩個等式即是：
22=12+（2-HF）2+PH2
12=HF2+PH2
∴解方程得HF=12 PH=32
在Rt△PHD中, sin∠PDH=PH/PD=32/2=34.
【考點定位】立體幾何 點、直線、面的關(guān)系
19.（12分）
設橢圓C： +y=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.
（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.
【答案】
【解析】（1）由已知可得F（1，0） ，直線l的方程為x=1
由已知可得, 點A的坐標為（1，22）或（1，— 22）
∴直線AM的方程為y=— 22x+2 或 y= 22x—2
(2)當l與x軸重合，.∠OMA=∠OMB=00
當l與x軸垂直，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB
當l與x軸不重合且不垂直，設直線l的方程為y=k(x-1) (k≠0)
點A(x1,y1), B(x2,y2) ，x1<2,X2<2, 則直線MA、MB的斜率之和
KMA+KMB=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-1)x1-2+k(x2-1)x2-2=2kx1x2-3kx1+x2+4k(x1-2)(x2-2)
將y=k(x-1)代入橢圓C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0
x1∴+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1
2kx1x2-3kx1+x2+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0
從而 KMA+KMB=0 MA、MB的傾斜角互補，∴∠OMA=∠OMB
綜上所述，∠OMA=∠OMB
【考點定位】圓錐曲線
20、（12分）
某工廠的某、種、產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的ｋ概率都為P（0400, ∴應該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗。
【考點定位】隨機變量及分布：二項分布最值（基本不等式）、數(shù)學期望
21、（12分）
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點, ,證明： .
【答案】
【解析】（1）f（x）的定義域為（0，+∞）
f’（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2
△=a2-4
(i)若a≤2,則f’（x）≤0，當且僅當a=2,x=1時f’（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減。
(i)若a>2,令f’（x）=0得到，x=aa2-42
當x∈（0，a-a2-42）∪（a+a2-42，+∞）時，f’（x）<0
當x∈（a-a2-42,a+a2-42）時，f’（x）>0
∴f（x）在x∈（0，a-a2-42）,（a+a2-42，+∞）單調(diào)遞減, 在（a-a2-42,a+a2-42）單調(diào)遞增。
(2)由(1)可得f(x)存在2個極值點當且僅當a>2
由于f(x)的極值點x1,x2滿足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨設x11 由于
fx1-f(x2）x1-x2=1x1x2-1+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+a-2Lnx21/x2-x2
等價于1x2-x2+2lnx2<0
設g(x)= 1x-x+2lnx 由(1)可知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，又g(1)=0,從而當x∈（1，+∞）時g(x)<0
∴1x2-x2+2lnx2<0 即
【考點定位】函數(shù)導數(shù)的應用
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22. [選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]、（10分）
在直角坐標系xOy中，曲線C?的方程為y=k∣x∣+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C?的極坐標方程為p+2p-3=0.
（1） 求C?的直角坐標方程:
（2） 若C?與C?有且僅有三個公共點，求C?的方程.
【答案】
【解析】（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C?的直角坐標方程：
x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4
(2)由（1）可知C2是圓心為A（-1,0），半徑為2的圓。
由題設可知，C1是過點B（0，2）且關(guān)于Y軸對稱的兩條射線，且
C1：=kx+2 x>0-kx+2 x≤0
顯然，K=0時，C1與C2相切，只有一個交點。
K>0時，C1與C2沒有交點。
∴C1與C2有且僅有三個交點，則必須滿足K<0且y=kx+2(x>0) 與C2相切,圓心到射線的距離d= |-k+2|k2+1=2 故K=-4/3或K=0.
經(jīng)檢驗，因為K<0，所以K=-4/3。
綜上所述，所求 C?的方程y=-43∣x∣+2.
【考點定位】極坐標與參數(shù)方程 直線與圓的關(guān)系
23. [選修4-5：不等式選講]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1） 當a=1時， 求不等式f（x）﹥1的解集；
（2） 當x∈（0，1）時不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范圍.
【答案】
【解析】（1）當a=1時， f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣=-2 x≤-12x -11
∴不等式f（x）﹥1的解集為{x|x>12}
(2) 當x∈（0，1）時不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等價于∣ax-1∣<1成立
若a≤0，當x∈（0，1）時∣ax-1∣≧1
若a>0，當x∈（0，1）時∣ax-1∣<1的解集為0=1 故0
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