《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率、統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 高考熱點(diǎn)追蹤（六）學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 概率、統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 高考熱點(diǎn)追蹤（六）學(xué)案 文 蘇教版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考熱點(diǎn)追蹤(六) “交融”在本質(zhì) 高考對(duì)復(fù)數(shù)要求不高，但仍是常考內(nèi)容．縱觀各地模擬試題，復(fù)數(shù)知識(shí)時(shí)常與其他知識(shí)交融在一起，這些試題從形式上看很“新”，但是不是很難呢？我們?nèi)绾稳シ治鼋鉀Q呢？請(qǐng)同學(xué)們看下面三個(gè)例題． (2019·南京模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若1＋z2是實(shí)數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積． 【解】　(1)因?yàn)?＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是實(shí)數(shù)， 所以a2＋2a－15＝0． 所以a＝3，a＝－

2、5(舍去)．故a＝3． (2)由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i， 所以＝，＝(－1，1)， 所以||＝，||＝， cos〈，〉＝＝＝ ． 所以sin〈，〉＝＝， 所以S?＝||||sin〈，〉＝××＝． 所以平行四邊形的面積為． [名師點(diǎn)評(píng)]　 在復(fù)平面內(nèi)，如果復(fù)數(shù)變量按照某種條件變化，那么對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)就構(gòu)成具有某種特征的點(diǎn)的集合或軌跡，這種數(shù)形有機(jī)結(jié)合使復(fù)數(shù)問題和向量問題構(gòu)成了天然聯(lián)系． 已知a，b，c，d∈R，對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi，有z(4－i)是純虛數(shù)，(z＋2)(1－4i) 是實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0處有極值－2． (1)求f(x

3、)的單調(diào)區(qū)間； (2)是否存在整數(shù)m，使得方程f(x)＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．若存在，求出所有m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解】　(1)因?yàn)閦(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i是純虛數(shù)， (z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i是實(shí)數(shù)，且a，b∈R， 所以解得 又因?yàn)閒(x)在x＝0處有極值－2，所以f′(0)＝0，f(0)＝－2， 得到c＝0，d＝－2， 所以f(x)＝－x3＋4x2－2， 則f′(x)＝－3x2＋8x＝－3x， f′(x)>0?0． 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單

4、調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和． (2)由(1)知：當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值－2<0；當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極大值>0，而當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，則方程f(x)＝0在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(－∞，0)，，上必各有且僅有一個(gè)根． 因?yàn)閒(1)＝1>0，f(0)<0，所以方程f(x)＝0在(0，1)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 同理可得方程f(x)＝0在(3，4)，(－1，0)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根． 則m的值為0，3和－1． [名師點(diǎn)評(píng)]　本題是復(fù)數(shù)問題與導(dǎo)數(shù)問題交匯在一起考查，實(shí)際我們只需要利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求出a，b．后面的問題用導(dǎo)數(shù)知識(shí)不難解決． (

5、2019·蘇州期末)對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，定義g(z)＝3x(cos y＋isin y)． (1)若g(z)＝3，求相應(yīng)的復(fù)數(shù)z； (2)若z＝a＋bi(a，b∈R)中的a為常數(shù)，則令g(z)＝f(b)，對(duì)任意b，是否一定有常數(shù)m(m≠0)使得f(b＋m)＝f(b)？這樣的m是否唯一？說明理由． (3)計(jì)算g，g，g，由此發(fā)現(xiàn)一個(gè)一般的等式，并證明． 【解】　(1)由得則 故z＝1＋2kπi，k∈Z． (2)由f(b＋m)＝f(b)，得 即 所以m＝2kπ，k∈Z，所以m是不唯一的． (3)g＝9，g＝，g＝3i， 所以gg＝g． 一般地，對(duì)任意復(fù)數(shù)z

6、1、z2， 有g(shù)(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)． 證明如下：設(shè)z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，2，y1，2∈R)， g(z1)＝3x1(cos y1＋isin y1)，g(z2)＝3x2 (cos y2＋isin y2)，g(z1＋z2)＝3x1＋x2 [cos(y1＋y2)＋isin(y1＋y2)]， 所以g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)． [名師點(diǎn)評(píng)]　對(duì)于第(1)，(2)問都是利用復(fù)數(shù)相等解決． 復(fù)數(shù)相等是化“虛”為“實(shí)”的最重要方法，第(3)問是以復(fù)數(shù)為載體考查了簡(jiǎn)單的歸納推理，情景新，做法易． 通過以上三例同學(xué)們可以看到其實(shí)新考題，再新也得在高中

7、生“力所能及”的范圍內(nèi)出題，不然要背負(fù)“超綱”的嫌疑．因此命題人得想盡辦法讓考題從形式上看很“新”，而其考查的內(nèi)容仍在教綱和考綱要求范圍之內(nèi)，仍是所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)運(yùn)用． 歸納推理大排隊(duì) 歸納推理思想就是在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論．這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納． 一、等式中的歸納推理 (2019·揚(yáng)州期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f

8、2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________． 【解析】　觀察知：四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以歸納出分母為fn(x)＝f(fn－1(x))的分母為(2n－1)x＋2n，故當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝． 【答案】　 [名師點(diǎn)評(píng)]　本題各式的分子相同，關(guān)鍵是如何歸納分母特征． 二、圖形中的歸納推理 將正△ABC分割成n2

9、(n≥2，n∈N*)個(gè)全等的小正三角形(圖1，圖2分別給出了n＝2，3的情形)，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)＝2，f(3)＝________，…，f(n)＝______________． 【解析】　 當(dāng)n＝3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a， x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，

10、2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y(tǒng)1＋z2， 6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2， 即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝． 進(jìn)一步可求得f(4)＝5．由上知f(1)中有3個(gè)數(shù)相加，f(2)中有6個(gè)數(shù)相加，f(3)中有10個(gè)數(shù)相加 ，f(4)中有15個(gè)數(shù)相加，…，若f(n－1)中有an－1(n>1)個(gè)數(shù)相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)個(gè)數(shù)相加，且由 f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，… 可得f(n)＝f(n－1)＋， 所以f(n)＝f(n－1)＋＝

11、f(n－2)＋＋＝…＝＋＋＋…＋＋f(1) ＝＋＋＋…＋＋＋ ＝(n＋1)(n＋2)． 【答案】　　(n＋1)(n＋2) [名師點(diǎn)評(píng)]　本題的歸納實(shí)際用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法． 1．復(fù)數(shù)(a>0)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限． [解析] (a>0)＝a－i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a，－1)在第四象限． [答案] 四 2．(2019·南通市高三模擬)電視臺(tái)組織中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)有5類試題，主題分別是：立德樹人、社會(huì)主義核心價(jià)值觀、依法治國(guó)理念、中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、創(chuàng)新能力．某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)主題作答，則“立德樹人”主題被該隊(duì)選中的概率是________． [解析]

12、 依次記5類試題為A，B，C，D，E，則共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10個(gè)事件，其中4個(gè)事件中含有“立德樹人”主題，故所求概率P＝＝． [答案] 3．(2019·南京調(diào)研)某校為了解高三同學(xué)暑假期間的學(xué)習(xí)情況，抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間，繪成頻率分布直方圖(如圖)，則這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6～8小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為________． [解析] 由直方圖知，學(xué)習(xí)時(shí)間在6～8小時(shí)內(nèi)的頻率為1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6～8小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為0．3×100＝30． [答案]

13、30 4．(2019·成都質(zhì)檢改編)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為________． [解析] 第一次循環(huán)結(jié)束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循環(huán)結(jié)束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循環(huán)結(jié)束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循環(huán)結(jié)束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝17>10，此時(shí)退出循環(huán)．故輸出s的值為19． [答案] 19 5．已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，…，根據(jù)這些結(jié)果，猜想出的一般結(jié)論是________． [答案] coscos…cos＝ 6．(2019·南通市高三模擬)將一顆骰子連續(xù)拋擲2

14、次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則點(diǎn)P(m，n)在直線y＝x下方的概率為________． [解析] 點(diǎn)P(m，n)所有的結(jié)果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種，其中在直線y＝x下方的情況有(3

15、，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6種，則所求概率為＝． [答案] 7．(2019·蘇州質(zhì)檢)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________． [解析] 由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． [答案] －g(x) 8．(2019·江蘇四星級(jí)學(xué)校聯(lián)考)設(shè)A，B兩名學(xué)生均從兩位數(shù)學(xué)教師和兩位英語(yǔ)教師中選擇一位教師給自己補(bǔ)課，若A，B不選同一位教師，則學(xué)生A選擇數(shù)學(xué)教師，學(xué)生B選

16、擇英語(yǔ)教師的概率為________． [解析] 設(shè)兩位數(shù)學(xué)教師用1，2表示，兩位英語(yǔ)教師用3，4表示，不妨讓A先選，B后選(不重復(fù))，則他們所有的選擇結(jié)果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12種情況，其中學(xué)生A選擇數(shù)學(xué)教師，學(xué)生B選擇英語(yǔ)教師(數(shù)學(xué)在前，英語(yǔ)在后)的結(jié)果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)共4種情況，所以所求概率為P＝． [答案] 9．(2019·泰州期末)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列： ，，，，，，，，

17、，，，… 若存在整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝________． [解析] 由題目可以看出同分母的和依次成等差數(shù)列，且公差為．又＋1＋＋2＋＋3＝10．5>10，此時(shí)最后一列數(shù)的分母為7，而10．5－<10，故ak＝． [答案] 10．(2019·瀘州模擬)學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%的可能改選B菜；而選B菜的，下星期一會(huì)有30%的可能改選A菜．用an表示第n個(gè)星期一選A菜的人數(shù)，如果a1＝428，則a6的值為________． [解析] 依題意有：an＝an－1＋(500－

18、an－1) ＝an－1＋150(n≥2，n∈N*)， 即an－300＝(an－1－300)(n≥2，n∈N*)， an＝128·＋300． 因此a6＝128·＋300＝304． [答案] 304 11．隨機(jī)抽取某中學(xué)高三年級(jí)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量出他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，其中甲班有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損． (1)若已知甲班同學(xué)身高平均數(shù)為170 cm，求污損處的數(shù)據(jù)； (2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高176 cm的同學(xué)被抽中的概率． [解] (1)甲班同學(xué)身高的平均數(shù)＝ ＝170． 解得a＝179，

19、所以污損處是9． (2)設(shè)“身高176 cm的同學(xué)被抽中”的事件為A， 從乙班10名同學(xué)中抽取2名身高不低于173 cm的同學(xué)有{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}，10個(gè)基本事件． 而事件A含有4個(gè)基本事件， 所以P(A)＝＝． 12．觀察下列三角形數(shù)表，假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)． (1)依次寫出第六行的所有6個(gè)數(shù)字； (2)歸納出an＋1與an的關(guān)系式并求出an的通項(xiàng)公式． [解] (1)

20、第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別是6，16，25，25，16，6． (2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋． 所以an＝n2－n＋1(n≥2)． 13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值為2，最小值為－．求證：a≠0且<2． [證明] 假設(shè)a＝0或≥2． (1)當(dāng)a＝0時(shí)，由a＋c＝0， 得f(x)＝bx，顯然b≠0． 由題意得f(x)＝bx在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)， 所以f(x)的最大值為|b|，最小值為－|b|． 由已

21、知條件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－， 這與|b|＋(－|b|)＝0相矛盾， 所以a≠0． (2)當(dāng)≥2時(shí)，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝－， 知f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，故其最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得． 所以 或 又a＋c＝0，則此時(shí)b無解， 所以<2． 由(1)(2)，得a≠0且<2． 14．定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)任意x∈(0，＋∞)，恒有f(kx)＝kf(x)(k≥2，k∈N*)成立，則稱f(x)為k階縮放函數(shù)． (1)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，f(x)＝1＋logx，求f(2)的值； (2)已知函數(shù)f(x)為二

22、階縮放函數(shù)，且當(dāng)x∈(1，2]時(shí)，f(x)＝，求證：函數(shù)y＝f(x)－x在(1，8)上無零點(diǎn)． [解] (1)由∈(1，2]得，f()＝1＋log＝， 由題中條件得f(2)＝2f()＝2×＝1． (2)證明：當(dāng)x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)時(shí)，∈(1，2]， 依題意可得： f(x)＝2f＝22f＝…＝2if＝2i＝． 方程f(x)－x＝0?＝x?x＝0或x＝2i，0與2i均不屬于(2i，2i＋1](i＝0，1，2)， 當(dāng)x∈(2i，2i＋1](i＝0，1，2)時(shí)，方程f(x)－x＝0無實(shí)數(shù)解． 注意到(1，8)＝(20，21]∪(21，22]∪(22，23)，所以函數(shù)y＝f(x)－x在(1，8)上無零點(diǎn)． - 11 -