《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第10講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
【課程要求】
1.理解對數(shù)的概念,掌握指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化,會運用指數(shù)、對數(shù)運算法則進(jìn)行有關(guān)運算.
2.掌握對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用.
3.掌握以對數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).
4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)的關(guān)系(a>0且a≠1).
對應(yīng)學(xué)生用書p25
【基礎(chǔ)檢測】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.( )
(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞
2、)上是增函數(shù).( )
(3)函數(shù)y=ln與y=ln(1+x)-ln(1-x)的定義域相同.( )
(4)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1),,函數(shù)圖象只在第一、四象限.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.[必修1p68T4]log29·log34·log45·log52=____________.
[解析]原式=2log23·log34·log45·log52=2····=2.
[答案]2
3.[必修1p82A組T6]已知a=2-,b=log2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為__________
3、__.
[解析]∵01,∴c>a>b.
[答案]c>a>b
4.[必修1p74A組T7]函數(shù)y=的定義域是__________.
[解析]由log(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1.
∴0,log5b=a,lgb=c,5d=10,則下列等式一定成立的是( )
A.d=acB.a(chǎn)=cd
C.c=adD.d=a+c
[解析]由log5b=a知b=5a,由lgb=c知c=lg5a=alg5,由5d=10知d=log510==,∴cd=alg5·=a,故選B.
[答案]B
4、
6.已知a>0,a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是( )
[解析]函數(shù)y=loga(-x)的圖象與y=logax的圖象關(guān)于y軸對稱,符合條件的只有B.
[答案]B
【知識要點】
1.對數(shù)
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的__對數(shù)__,記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),logaN叫做對數(shù)式
性質(zhì)
對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax=N?__x=logaN__
loga1=0,logaa=1,alogaN=__N__
運算
法則
loga(M·N)=__logaM+logaN_
5、_
loga=__logaM-logaN__
logaMn=__nlogaM__(n∈R)
a>0,且a≠1,
M>0,N>0
換底
公式
換底公式:logab=(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y=logax(a>0,且a≠1)
圖象
a>1
0<a<1
圖象
特征
在y軸__右側(cè)__,過定點(1,0)
當(dāng)x逐漸增大時,圖象是__上升__的
當(dāng)x逐漸增大時,圖象是__下降__的
性
質(zhì)
定義域
(0,+∞)
值
6、域
R
單調(diào)性
在(0,+∞)上是__增函數(shù)__
在(0,+∞)上是__減函數(shù)__
函數(shù)值
變化
規(guī)律
當(dāng)x=1時,__y=0__
當(dāng)x>1時,__y>0____;當(dāng)01時,__y<0__;當(dāng)00__
3.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線__y=x__對稱.
【知識拓展】
1.換底公式的兩個重要結(jié)論
(1)logab=;
(2)logambn=logab.
其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.
2.對數(shù)函
7、數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0
8、中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)( )
A.1033B.1053
C.1073D.1093
[解析]由題意,lg=lg=lg3361-lg1080
=361lg3-80lg10≈361×0.48-80×1=93.28.
又lg1033=33,lg1053=53,lg1073=73,lg1093=93,
故與最接近的是1093.
故選D.
[答案]D
[小結(jié)]對數(shù)運算的一般思路
(1)拆:首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后利用對
9、數(shù)運算性質(zhì)化簡合并.
(2)合:將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.
1.設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m等于( )
A.B.10C.20D.100
[解析]由已知,得a=log2m,b=log5m,
則+=+=logm2+logm5=logm10=2.
解得m=.
[答案]A
2.已知函數(shù)f(x)=則f(f(1))+f的值是__________.
[解析]因為f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.
因為log3<0,
所以f=3-log3+1=3log32+1=2+1=3.
所
10、以f(f(1))+f=2+3=5.
[答案]5
3.求值:2log3-log3-31+log32=________.
[解析]2log3-log3-31+log32
=2(log32-1)-(log34-3)-3log36
=2log32-2-2log32+3-6
=-5.
[答案]-5
對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2 (1)函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的圖象大致為( )
[解析]由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.設(shè)g(x)=loga|x|,先畫出x>0時,g(x)的圖象,然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出x<0時g(
11、x)的圖象,最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x)的圖象,結(jié)合圖象知選A.
[答案]A
(2)已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析]如圖,在同一坐標(biāo)系中分別作出y=f(x)與y=-x+a的圖象,其中a表示直線在y軸上的截距.由圖可知,當(dāng)a>1時,直線y=-x+a與y=log2x只有一個交點.
[答案] (1,+∞)
[小結(jié)](1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
(2)一些對數(shù)型方程、不
12、等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.
4.已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象交于點P(x0,y0),如果x0≥2,那么a的取值范圍是( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.[8,+∞) D.[16,+∞)
[解析]由已知中兩函數(shù)的圖象交于點P(x0,y0),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,若x0≥2,則01且≥x0≥2,解得a≥16.
[答案]D
5.當(dāng)0
13、,當(dāng)01時,不符合題意,舍去.
所以實數(shù)a的取值范圍是.
[答案]B
對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
例3 (1)設(shè)a=log412,b=log515,c=log618,則( )
A.a(chǎn)>b>cB.b>c>a
C.a(chǎn)>c>bD.c>b>a
[解析]a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,
∵log43
14、>log53>log63,∴a>b>c.
[答案]A
(2)若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax-3a)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,-4)∪[-2,+∞) D.[-4,4)
[解析]由題意得x2-ax-3a>0在區(qū)間(-∞,-2]上恒成立且函數(shù)y=x2-ax-3a在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,則≥-2且(-2)2-(-2)a-3a>0,解得實數(shù)a的取值范圍是[-4,4),故選D.
[答案]D
(3)若函數(shù)f(x)=loga(a>0,a≠1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(
15、)
A.(0,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.
[解析]令M=x2+x,當(dāng)x∈時,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函數(shù)y=logaM為增函數(shù),又M=-,
因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為.
又x2+x>0,所以x>0或x<-,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
[答案]A
[小結(jié)](1)在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時,要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.在利用單調(diào)性時,一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響,及真數(shù)必須為正的限制條件.
(2)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用多用在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性上,即求形如y=logaf(x)的復(fù)
16、合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其一般步驟為:①求定義域,即滿足f(x)>0的x的取值集合;②將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=logau及u=f(x);③分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;④若這兩個函數(shù)同增或同減,則y=logaf(x)為增函數(shù),若一增一減,則y=logaf(x)為減函數(shù),即“同增異減”.
例4 已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當(dāng)x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
[解析] (1)h(x)=(4-2log2x)·log2
17、x=-2(log2x-1)2+2,
因為x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],
故函數(shù)h(x)的值域為[0,2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,
令t=log2x,因為x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·t對一切t∈[0,2]恒成立,
①當(dāng)t=0時,k∈R;
②當(dāng)t∈(0,2]時,k<恒成立,即k<4t+-15,
因為4t+≥12,當(dāng)且僅當(dāng)4t=,即t=時取等號,
所以4t+-15的最小值為-3.
綜上,實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-3).
[小結(jié)]1
18、.無論題型如何變化,都是圍繞對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,變換不同的角度來應(yīng)用.例3(1)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用,利用單調(diào)性來比較大小、解不等式;例3(2),(3)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性來求參數(shù)的范圍,所以弄清對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,并注意有時需對底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論.
2.與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題多與其定義域和值域有關(guān).對于函數(shù)y=logaf(x)(a>0,且a≠1),若定義域為R,則f(x)>0在R上恒成立;若值域為R,則f(x)能取遍所有正實數(shù).
6.若實數(shù)a,b,c滿足loga2
19、B.b0,a≠1)的定義域、值域都是[1,2],則a+b=________.
20、[解析]當(dāng)01時,易知函數(shù)f(x)為增函數(shù),
由題意有解得a=2,b=1,符合題意,此時a+b=3.
綜上可得:a+b的值為或3.
[答案]或3
對應(yīng)學(xué)生用書p27
(2019·全國卷Ⅱ理)若a>b,則( )
A.ln(a-b)>0B.3a<3b
C.a(chǎn)3-b3>0D.|a|>|b|
[解析]取a=2,b=1,滿足a>b,但ln(a-b)=0,則A錯,排除A;
由9=32>31=3,知B錯,排除B;
取a=1,b=-2,滿足a>b,但|1|<|-2|,則D錯,排除D;
因為冪函數(shù)y=x3是增函數(shù),a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正確.
故選C.
[答案]C
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