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(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第34講 數(shù)列求和 【課程要求】 1.熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式. 2.熟練掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種方法,如錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消以及分組求和等. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p91 【基礎(chǔ)檢測】 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.(  ) (2)當(dāng)n≥2時(shí),=2.(  ) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時(shí),只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(  ) (4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2+.(  ) (5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此

2、法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(  ) (6)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)).(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2.[必修5p61A組T4(3)]1+2x+3x2+…+nxn-1=________(x≠0且x≠1). [解析]設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,① 則xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,② ①-②得(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn =-nxn, ∴Sn=-. [答案]

3、- 3.[必修5p61A組T5]一個(gè)球從100m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下,當(dāng)它第10次著地時(shí),經(jīng)過的路程是(  ) A.100+200(1-2-9) B.100+100(1-2-9) C.200(1-2-9) D.100(1-2-9) [解析]第10次著地時(shí),經(jīng)過的路程為100+2(50+25+…+100×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+…+2-9)=100+200×=100+200(1-2-9). [答案]A 4.++++…+=(  )                     A.B. C.D. [解析]因?yàn)椋?/p>

4、 = = = =. [答案]C 5.設(shè)f(x)=,利用倒序相加法,則f+f+f+…+f=________. [解析]當(dāng)x1+x2=1時(shí),f(x1)+f(x2)=+===1. 設(shè)S=f+f+f+…+f, 倒序相加有 2S=++…+=2020,即S=1010. [答案]1010 6.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=ncos,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2019=________. [解析]因?yàn)閿?shù)列an=ncos呈周期性變化,觀察此數(shù)列規(guī)律如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4. 故S4=a1+a2+a3+a4=2. ∴S2019=S2020-a2020=505×2-2

5、020·cosπ =-1010. [答案]-1010 【知識(shí)要點(diǎn)】 求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法 (1)公式法 數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列時(shí)直接運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式求和. 若{an}為等差數(shù)列,則Sn==__na1+d__. 若{an}為等比數(shù)列,其公比為q, 則當(dāng)q=1時(shí),Sn=__na1__({an}為常數(shù)列); 當(dāng)q≠1時(shí),Sn=____=____. (2)裂項(xiàng)相消求和法 數(shù)列{an}滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差,且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和. (3)倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前

6、n項(xiàng)的和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的. (4)錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的. (5)分組轉(zhuǎn)化求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和然后相加減. (6)并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱為并項(xiàng)求和法.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+9

7、7)+…+(2+1)=5050. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p92 分組轉(zhuǎn)化法求和 例1 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.若a1=b1=3,a4=b2,S4-T2=12. (1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. [解析] (1)由a1=b1,a4=b2, 則S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12, 設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 則a2+a3=2a1+3d=6+3d=12,所以d=2. 所以an=3+2(n-1)=2n+1. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題b2=a4=9, 即b2=b1q=3q=9,所以q=3. 所

8、以bn=3n. (2)an+bn=(2n+1)+3n, 所以的前n項(xiàng)和為 (a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn) =(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n) =+=n(n+2)+. [小結(jié)]一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列構(gòu)成可以用分組求和法,分別求和再相加減. 1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)令cn=設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求T2n. [解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的

9、公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q, 由得解得 ∴an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1. (2)由a1=3,an=2n+1得Sn==n(n+2), 則cn= 即cn= ∴T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n) =+ (2+23+…+22n-1) =1-+=+(4n-1). 錯(cuò)位相減法求和 例2 (2017·山東理)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [

10、解析] (1)設(shè){an}的公比為q, 由題意知a1(1+q)=6,aq=a1q2. 又an>0,解得a1=2,q=2, 所以an=2n. (2)由題意知, S2n+1==(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以bn=2n+1. 令cn=,則cn=, 因此Tn=+++…++, 又Tn=+++…++, 兩式相減得 Tn=+- =+1-- =-, 所以Tn=5-. [小結(jié)]用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題 (1)要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以

11、便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式. (3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 2.化簡Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的結(jié)果是(  ) A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2 C.2n-n-2D.2n+1-n-2 [解析]因?yàn)镾n=n+(n-1)×2+…+2×2n-2+2n-1,① 2Sn=n×2+(n-1)×22+…+2×2n-1+2n,② 所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-2. [答案]D 裂項(xiàng)相消法求和

12、 例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=2an-n+1,數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=bn+an-n,n∈N*. (1)證明:{an-n}為等比數(shù)列; (2)數(shù)列{cn}滿足cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [解析] (1)因?yàn)閍n+1=2an-n+1,所以an+1-(n+1)=2(an-n). 又a1=3,所以a1-1=2, 所以數(shù)列{an-n}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知,an-n=2·2n-1=2n,an=2n+n, 所以bn+1=bn+an-n=bn+2n,即bn+1-bn=2n. b2-b1=21,b3-b2=22,b4-b

13、3=23,…,bn-bn-1=2n-1. 以上式子相加,得bn=2+=2n(n≥2). 當(dāng)n=1時(shí),b1=2,滿足bn=2n, 所以bn=2n. 所以cn===-. 所以Tn=-+-+…+-=-. [小結(jié)]常見的拆項(xiàng)公式有: (1)=-. (2)=. (3)=. (4)=(-). (5)C=C-C. (6)n·n?。?n+1)?。璶!. (7)an=Sn-Sn-1(n≥2). 3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a+2an=4Sn. (1)求Sn; (2)設(shè)bn=(+)·,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解析] (1)由題意得 兩式作差得(a

14、n+1+an)(an+1-an-2)=0, 又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),所以an+1-an-2=0, 即an+1-an=2. 當(dāng)n=1時(shí),有a+2a1=4S1=4a1,得a1(a1-2)=0,則a1=2, 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列, 所以Sn=na1+d=n2+n. (2)=·==-, 所以Tn===1-. 并項(xiàng)法求和 例4 已知數(shù)列滿足a1=1,2anan+1+3an+1=3an. (1)求的通項(xiàng)公式; (2)若cn=,求的前2n項(xiàng)的和T2n. [解析] (1)由2anan+1+3an+1=3an,得=+, 所以-=, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差

15、為的等差數(shù)列, 所以=1+=n+,即an=. (2)設(shè)c2n-1+c2n=-=, 因?yàn)椋剑?,所以c2n-1+c2n=-·, T2n=-+-+…+- =- =-×=-n2-n. [小結(jié)]用并項(xiàng)法求和時(shí),要注意可能要分類討論. 4.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,其前n項(xiàng)和為Sn,且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解析] (1)∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,且=a1=1, ∴=1+(n-1)×2=2n-1, ∴Sn=2n2-n ∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1 =2n2-n-=4n-3

16、. ∵a1=1符合an=4n-3, ∴an=4n-3. (2)由(1)可得bn=an=·. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=++…+=4×=2n; 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1為偶數(shù), Tn=Tn+1-bn+1=2-=-2n+1. 綜上所述,Tn= 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p94 1.(2017·全國卷Ⅱ理)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=________. [解析]設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d, 由題意有:解得 數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+d=n×1+×1=. 裂項(xiàng)有:==2, 據(jù)此:=2 =2=. [答案] 2.(2019·天津理)設(shè)是等差數(shù)列,是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求和的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列滿足c1=1,cn=其中k∈N*. (i)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (ii)求a2i =+ =+9×-n =27×22n-1+5×2n-1-n-12. 11

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