《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理（含解析）新人教A版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù) 2019考綱考題考情 1．冪函數(shù) (1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α是常數(shù)。 (2)冪函數(shù)的圖象比較： 2．二次函數(shù) (1)解析式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。 頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)。 兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。 (2)圖象與性質(zhì)： 與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是 (3)a≥f(x)恒成立?a

2、≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min。 一、走進(jìn)教材 1．(必修1P79習(xí)題T1改編)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α＝(　　) A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2 解析　因?yàn)閒(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1。又f(x)的圖象過點(diǎn)，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝。故選C。 答案　C 2．(必修1P38B組T1改編)函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，則y的最小值為________。 解析　函數(shù)y＝2x2－6x＋3＝22－的圖象的對稱軸為直線x＝>1，所以函數(shù)y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，

3、所以ymin＝2－6＋3＝－1。 答案　－1 二、走近高考 3．(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān) C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān) 解析　設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b。所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān)。故選B。 答案　B 三、走出誤區(qū) 微提醒：①二次函數(shù)解析式形式選擇不恰當(dāng)，致使運(yùn)算量偏大；②冪函數(shù)定義不清晰，導(dǎo)致出

4、錯(cuò)；③二次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問題忽視給定區(qū)間的作用致誤。 4．已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝2x2的圖象的形狀一樣，開口方向相反，且其頂點(diǎn)為(－1,3)，則此函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 解析　設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由題意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3。故選D。 答案　D 5．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為________；在區(qū)間________上遞減。 解析　設(shè)y＝f(x)＝x

5、α，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，代入解析式得α＝－，則y＝x－，由性質(zhì)可知函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上遞減。 答案　y＝x－　(0，＋∞) 6．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。 解析　f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可。因?yàn)間(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝－m－

6、1。由－m－1>0，得m<－1。因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)。 答案　(－∞，－1) 考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 【例1】　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析　(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意。故選B。 答案　(1)B　(2)D 1．對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)

7、域。根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定。 2．在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較。 【變式訓(xùn)練】　已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3是冪函數(shù)，且x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則m的值為(　　) A．－1 B．2 C．－1或2 D．3 解析　由題意知，解得 所以m＝2，故選B。 答案　B 考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式 【例2】　(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________。

8、 (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________。 解析　(1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1。 (2)因?yàn)閒(2－x)＝f(2＋x)對任意x∈R恒成立，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2。又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3。設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，所以3

9、a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3。 答案　(1)x2＋2x＋1　(2)x2－4x＋3 求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：(1)已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，宜選用一般式；(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；(3)已知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用兩根式。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________。 (2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式為f(x)＝_

10、_______。 解析　(1)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x。 解析：由二次函數(shù)f(x)與x軸交于(0,0)，(－2,0)，知f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對稱。設(shè)f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x。 (2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以－a＝－，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4。 答案　(1)x2＋2x　

11、(2)－2x2＋4 考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)微點(diǎn)小專題 方向1：二次函數(shù)的圖象 【例3】　對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 解析　當(dāng)01時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，y＝(a－1)x2－x的圖象開口向上，其對稱軸為直線x＝>0，排除B。故選A。 答案　A 確定二次函數(shù)的圖象從三方面入手 1．開口方向；2.對稱軸；3.特殊點(diǎn)。

12、 方向2：二次函數(shù)的單調(diào)性 【例4】　函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意。當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知解得－3≤a<0。綜上，a的取值范圍為[－3,0]。 答案　D 【互動(dòng)探究】　若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a的取值為________。 解析　由題意知，f(x)必為二次

13、函數(shù)且a<0，又＝－1，所以a＝－3。 答案　－3 1．對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是看圖象的開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解。 2．利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的圖象的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較。 方向3：二次函數(shù)的最值 【例5】　已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x(a>0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值。 解　因?yàn)閍>0，所以f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向上，且對稱軸為直線x＝。 ①當(dāng)<2，即a>時(shí)，∈(0,2)， 所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以f(x)

14、min＝f＝－＝－。 ②當(dāng)≥2，即00，則函數(shù)y＝ax2＋bx的大致圖象是________(填序號)。 ①　　　　　　　　　?、? ③　　　

15、　　　　　　　④ 解析　函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸方程為x＝－>0，且過原點(diǎn)，故大致圖象是③。 答案?、? 2．(方向2)若函數(shù)y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________。 解析　當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，圖象對稱軸為x＝－≤－2，得m≤，又m>0，因此0

16、] 解析　依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2。故選D。 答案　D 1．(配合例2使用)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿足條件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③對任意實(shí)數(shù)x，f(x)≥－恒成立，則其解析式為f(x)＝________。 解析　依題意可設(shè)f(x)＝a2＋k，由f(1)＝a＋k＝0，得k＝－a，從而f(x)＝a2－≥－恒成立，則－≥－，且a>0，即＋－≤0，即≤0，且a>0

17、，所以a＝1。從而f(x)＝2－＝x2－3x＋2。 答案　x2－3x＋2 2．(配合例3使用)設(shè)b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為(　　) ①　　　?、凇　　　、邸　　　、? A． B． C．1 D．－1 解析　因?yàn)閎>0，故對稱軸不可能為y軸，由給出的圖可知對稱軸在y軸右側(cè)，故a<0，所以二次函數(shù)的圖象為第三個(gè)圖，圖象過原點(diǎn)，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1。故選D。 答案　D 3．(配合例4使用)函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2]時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為(　　) A．－3 B．13 C．7 D．5 解析　函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3圖象的對稱軸為直線x＝，由函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間可知＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13。故選B。 答案　B 4．(配合例5使用)若函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a的值為________。 解析　函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，所以函數(shù)f(x)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。因?yàn)閒(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1。 答案　1 10