10、＝－2，∴a1＝4，
∴an＝5－n，從而Sn＝(n∈N*)．
(2)由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則q＝＝，
∴Tm＝＝8，
∵m隨m的增加而減少，
∴{Tm}為遞增數(shù)列，得4≤Tm<8.
又Sn＝＝－(n2－9n)
＝－，
故(Sn)max＝S4＝S5＝10，
若存在m∈N*，使得對(duì)任意n∈N*，總有Sn2.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(2，＋∞)．
思維升華 (1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．
(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n
11、的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題．
(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解．
跟蹤演練3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an＋1＝，若bn≤t對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 (1)由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，得a1＝1，
又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an，
得an＋1＝an，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以an＝n－1(n∈N*)．
(2)由an＋1＝，
得bn＝＝n－1
＝n
12、·n－1，
所以bn＋1－bn＝(n＋1)·n－n·n－1
＝(2－n)，
所以(bn)max＝b2＝b3＝，所以t≥.
即t的取值范圍為.
真題體驗(yàn)
1．(2017·全國(guó)Ⅰ改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________．
答案 4
解析 設(shè){an}的公差為d，
由得
解得d＝4.
2．(2017·浙江改編)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的________條件．
答案 充要
解析 方法一 ∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，
∴S4＝4a1＋6d，
13、S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，則21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，則10a1＋21d>10a1＋20d，
即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充要條件．
方法二 ∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0.
∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充要條件．
3．(2017·北京)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4
14、＝b4＝8，則＝________.
答案 1
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
則由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3，得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
4．(2017·江蘇)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝________.
答案 32
解析 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，
則解得
所以a8＝×27＝25＝32.
押題預(yù)測(cè)
1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
15、A．6 B．7 C．12 D．13
押題依據(jù) 等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，可以考查學(xué)生靈活變換的能力．
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.
2．在等比數(shù)列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，則{an}的公比等于( )
A．3 B．2或3
C．2 D．6
押題依據(jù) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈
16、活性，是高考出題的重點(diǎn)．
答案 C
解析 設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，可得10a4＝12a3＋2a5，10a3q＝12a3＋2a3q2，得10q＝12＋2q2，解得q＝2或3.又a3－3a2＝2，所以a2q－3a2＝2，即a2(q－3)＝2，所以q＝2.
3．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項(xiàng)am，an使得 ＝4a1，則＋的最小值為( )
A. B.
C. D.
押題依據(jù) 本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向．
答案 A
解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋
17、2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(不合題意，舍去)，
又由＝4a1，得aman＝16a，
即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，
亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)
＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝2m＝4時(shí)取等號(hào)．
4．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝； ④f(x)＝ln|x|.
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為(
18、 )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
押題依據(jù) 先定義一個(gè)新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺．
答案 C
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得，anan＋2＝a.
①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝[f(an＋1)]2；
②f(an)f(an＋2)＝＝≠＝[f(an＋1)]2；
③f(an)f(an＋2)＝＝＝[f(an＋1)]2；
④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝[f(
19、an＋1)]2.
A組 專題通關(guān)
1．(2018·大慶質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}中，a4＝9，S4＝24，則a7等于( )
A．3 B．7
C．13 D．15
答案 D
解析 由于數(shù)列為等差數(shù)列，依題意得
解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝9＋6＝15.
2．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3，則 等于( )
A．－9 B．9
C．－81 D．81
答案 B
解析 根據(jù)題意可知＝q2＝3，
而＝＝a5＝a1·q4＝1×32＝9.
3．(2017·全國(guó)Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等
20、比數(shù)列，則{an}的前6項(xiàng)和為( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
答案 A
解析 由已知條件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2或d＝0(舍)．
所以S6＝6×1＋＝－24.
4．一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為2，最后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是( )
A．13 B．12
C．11 D．10
答案 B
解析 設(shè)等比數(shù)列為{an}，其前n項(xiàng)積為Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，
∵Tn＝a1a2…an
21、，∴T＝(a1a2…an)2
＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，
∴n＝12.
5．(2018·荊州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則(a5＋a7＋a9)等于( )
A．－3 B．3 C．－ D.
答案 A
解析 ∵＝25·＝，
∴an＋1＝an＋2，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差為2.
∵a2＋a4＋a6＝9，
∴3a4＝9，a4＝3.
∴＝＝＝＝－3.
6．(2018·吉林調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，a1＝1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，設(shè){an}的前n項(xiàng)和
22、為Sn，則Sn＝________.
答案 (n∈N*)
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，
∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)·(a1＋7d)，
∴(1＋3d)2＝(1＋d)·(1＋7d)，
解得d＝1或d＝0(舍)．
∴Sn＝na1＋d＝(n∈N*)．
7．(2018·資陽(yáng)模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝8，且Sn≤S7，則公差d的取值范圍是________．
答案
解析 ∵a2＝8＝a1＋d，
∴a1＝8－d，
Sn＝na1＋d＝(8－d)n＋d
＝dn2＋n，
對(duì)稱軸為n＝－，
∵Sn≤S7
23、，∴S7為Sn的最大值，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，
得－≤d≤－，
即d的取值范圍是.
8．已知數(shù)列{an}與(n∈N*)均為等差數(shù)列，且a1＝2，則a1＋2＋3＋…＋n＝________.
答案 2n＋1－2
解析 設(shè)an＝2＋(n－1)d，
所以＝
＝，
由于為等差數(shù)列，
所以其通項(xiàng)是一個(gè)關(guān)于n的一次函數(shù)，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2.
所以an＝2＋2(n－1)＝2n，∴＝＝2.
所以a1＋2＋3＋…＋n＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
9．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,
24、55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則b2 017＝________.
答案 1
解析 由題意得引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
此數(shù)列被3 整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，
構(gòu)成以8項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以b2 017＝b1＝1.
10．(2018·天津)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于
25、0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*)，
①求Tn；
②證明：＝－2(n∈N*)．
(1)解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.由q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.
設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.
由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.
由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，從而b1＝1，d＝1，
故bn＝n.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a
26、n＝2n－1(n∈N*)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n(n∈N*)．
(2)①解 由(1)得Sn＝＝2n－1，故
Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n
＝2n＋1－n－2(n∈N*)．
②證明 因?yàn)椋?
＝＝－，
所以＝＋＋…＋＝－2(n∈N*)．
B組 能力提高
11．?dāng)?shù)列{an}是以a為首項(xiàng)，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，數(shù)列滿足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若為等比數(shù)列，則a＋b等于( )
A. B．3 C. D．6
答案 B
解析 由題意知，當(dāng)b＝1時(shí)，{cn}不是等比數(shù)列，
27、所以b≠1.由an＝abn－1，
得bn＝1＋＝1＋－，
則cn＝2＋n－·
＝2－＋n＋，
要使為等比數(shù)列，必有
得a＋b＝3.
12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝15，且滿足an＋1＝an＋4n2－16n＋15，已知n，m∈N*，n>m，則Sn－Sm的最小值為( )
A．－ B．－ C．－14 D．－28
答案 C
解析 根據(jù)題意可知
(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋(2n－5)(2n－3)，
式子的每一項(xiàng)都除以(2n－5)(2n－3)，
可得＝＋1，
即－＝1，
所以數(shù)列是以＝－5為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
所以＝－5＋(n－
28、1)·1＝n－6，
即an＝(n－6)(2n－5)，
由此可以判斷出a3，a4，a5這三項(xiàng)是負(fù)數(shù)，
從而得到當(dāng)n＝5，m＝2時(shí)，Sn－Sm取得最小值，
且Sn－Sm＝S5－S2＝a3＋a4＋a5＝－3－6－5＝－14.
13．已知數(shù)列{an}滿足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an
29、
所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝1＋λ＝λ＋1，
所以an＝λ＋n；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝1＋λ＝λ＋1，
所以an＝λ＋n.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由an－2，若n＝1，則λ∈R；
若n>1，則λ>－，所以λ≥0.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由an－2，所以λ>－，即λ≥0.
綜上，λ的取值范圍為[0，＋∞)．
14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．
(
30、1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和Mn；
(2)是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？并說明理由．
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，a·b＝24，
得a1＋a10＝24，又S11＝143，解得a1＝3，d＝2，
因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1(n∈N*)，
所以＝＝，
所以Mn＝
＝(n∈N*)．
(2)因?yàn)椋溅薚n－(a1－1)(n∈N*)，且a1＝3，
所以Tn＝＋，
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝，
此時(shí)有＝4，若{bn}是等比數(shù)列，
則有＝4，而b1＝，b2＝，彼此相矛盾，
故不存在非零實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理
