2019年高考真題——文科數(shù)學(xué)(天津卷)解析版[檢測復(fù)習(xí)]
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絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷) 數(shù) 學(xué)(文史類) 本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至5頁。 答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利 第Ⅰ卷 注意事項(xiàng): 1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。 2.本卷共8小題,每小題5分共40分。 參考公式: 如果事件A,B互斥,那么. 圓柱的體積公式,其中表示圓柱的底面面積,表示圓柱的高 棱錐的體積公式,其中表示棱錐的底面面積,表示棱錐的高 一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)集合, , ,則 A. {2} B. {2,3} C. {-1,2,3} D. {1,2,3,4} 【答案】D 【解析】 【分析】 先求,再求。 【詳解】因?yàn)椋? 所以. 故選D。 【點(diǎn)睛】集合的運(yùn)算問題,一般要先研究集合中元素的構(gòu)成,能化簡的要先化簡,同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合,即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運(yùn)算. 2.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 畫出可行域,用截距模型求最值。 【詳解】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距, 故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值。 由,得, 所以。 故選C。 【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域,分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍.即:一畫,二移,三求. 3.設(shè),則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 求出的解集,根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定. 【詳解】等價(jià)于,故推不出; 由能推出。 故“”是“”的必要不充分條件。 故選B。 【點(diǎn)睛】充要條件的三種判斷方法: (1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷; (2)集合法:根據(jù)由p,q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷; (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性,把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題. 4.閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的值為 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)程序框圖,逐步寫出運(yùn)算結(jié)果。 【詳解】, 結(jié)束循環(huán),故輸出。 故選B。 【點(diǎn)睛】解答本題要注意要明確循環(huán)體終止的條件是什么,會判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體. 5.已知,,,則的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小。 【詳解】; ; 。 故。 故選A。 【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待。 6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且(為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把用表示出來,即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。 【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為, 雙曲線的漸近線方程為, 則有 ∴,,, ∴。 故選D。 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解,解題關(guān)鍵是求出AB的長度。 7.已知函數(shù)是奇函數(shù),且的最小正周期為,將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若,則 A. -2 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。 【詳解】為奇函數(shù),可知, 由可得; 把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍,得, 由的最小正周期為可得, 由,可得, 所以,。 故選C。 8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 畫出圖象及直線,借助圖象分析。 【詳解】如圖,當(dāng)直線位于點(diǎn)及其上方且位于點(diǎn)及其下方, 或者直線與曲線相切在第一象限時(shí)符合要求。 即,即, 或者,得,,即,得, 所以的取值范圍是。 故選D。 【點(diǎn)睛】根據(jù)方程實(shí)根個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍,常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù),特別是其中一條為直線時(shí)常用此法。 絕密★啟用前 第Ⅱ卷 注意事項(xiàng): 1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2.本卷共12小題,共110分。 二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。 9.是虛數(shù)單位,則的值為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化簡復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模。 【詳解】。 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題. 10. 設(shè),使不等式成立的取值范圍為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 通過因式分解,解不等式。 【詳解】, 即, 即, 故的取值范圍是。 【點(diǎn)睛】解一元二次不等式的步驟:(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);(2)解相應(yīng)的一元二次方程;(3)根據(jù)一元二次方程的根,結(jié)合不等號的方向畫圖;(4)寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有:①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正,對應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式;②解方程出錯(cuò);③結(jié)果未按要求寫成集合. 11. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率,再用點(diǎn)斜式寫出切線方程。 【詳解】, 當(dāng)時(shí)其值為, 故所求的切線方程為,即。 【點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法: (1)以曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟: ①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x); ②求切線的斜率f′(x0); ③寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化簡. (2)如果已知點(diǎn)(x1,y1)不在曲線上,則設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),解方程組得切點(diǎn)(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程. 12.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形,側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)棱錐結(jié)構(gòu)特點(diǎn),確定所求的圓柱的高和底面半徑。 【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形,側(cè)棱長均為,借助勾股定理,可知四棱錐的高為,.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),故圓柱的高為,一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,圓柱的底面半徑為,故圓柱的體積為。 【點(diǎn)睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半。 13. 設(shè),,,則的最小值為__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 把分子展開化為,再利用基本不等式求最值。 【詳解】, 等號當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立。 故所求的最小值為。 【點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號是否能夠成立。 14. 在四邊形中,, , , ,點(diǎn)在線段的延長線上,且,則__________. 【答案】. 【解析】 【分析】 建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別寫出向量而求解。 【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,。 因?yàn)椤?,,所以? 因?yàn)?,所以? 所以直線斜率為,其方程為, 直線的斜率為,其方程為。 由得,, 所以。 所以。 【點(diǎn)睛】平面向量問題有兩大類解法:基向量法和坐標(biāo)法,在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用坐標(biāo)方法更為方便。 三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 15.2019年,我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況. (Ⅰ)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人? (Ⅱ)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為.享受情況如右表,其中“”表示享受,“”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪. 員工 項(xiàng)目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ ○ ○ 繼續(xù)教育 ○ ○ ○ 大病醫(yī)療 ○ 住房貸款利息 ○ ○ ○ ○ 住房租金 ○ 贍養(yǎng)老人 ○ ○ ○ (i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果; (ii)設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件發(fā)生的概率. 【答案】(I)6人,9人,10人; (II)(i)見解析;(ii). 【解析】 【分析】 (I)根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù),求得人數(shù)比,利用分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的,結(jié)合樣本容量求得結(jié)果; (II)(I)根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人,將所有的結(jié)果一一列出; (ii)根據(jù)題意,找出滿足條件的基本事件,利用公式求得概率. 【詳解】(I)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為, 由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工, 因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人. (II)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為 ,,,,共15種; (ii)由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種, 所以,時(shí)間M發(fā)生的概率. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型即其概率計(jì)算公式等基本知識,考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力. 16. 在中,內(nèi)角所對的邊分別為.已知,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系,然后利用余弦定理可得的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值,然后利用兩角和的正弦公式可得的值. 【詳解】(Ⅰ)在中,由正弦定理得, 又由,得,即. 又因?yàn)椋玫剑? 由余弦定理可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, 從而,. 故. 【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計(jì)算求解能力. 17. 如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,為等邊三角形,平面平面,,,, (Ⅰ)設(shè)分別為的中點(diǎn),求證:平面; (Ⅱ)求證:平面; (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(I)見解析;(II)見解析;(III). 【解析】 【分析】 (I)連接,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),以及三角形中位線的性質(zhì),得到,利用線面平行的判定定理證得結(jié)果; (II)取棱的中點(diǎn),連接,依題意,得,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到,利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果; (III)利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角,放在直角三角形中求得結(jié)果. 【詳解】(I)證明:連接,易知,, 又由,故, 又因?yàn)槠矫?,平面? 所以平面. (II)證明:取棱的中點(diǎn),連接,依題意,得, 又因平面平面,平面平面, 所以平面,又平面,故, 又已知,, 所以平面. (III)解:連接,由(II)中平面, 可知為直線與平面所成的角. 因?yàn)闉榈冗吶切危覟榈闹悬c(diǎn), 所以,又, 在中,, 所以,直線與平面所成角的正弦值為. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和推理能力. 18. 設(shè)是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,公比大于,已知, ,. (Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足求. 【答案】(I),; (II) 【解析】 【分析】 (I)首先設(shè)出等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比,根據(jù)題意,列出方程組,求得,進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式; (II)根據(jù)題中所給的所滿足的條件,將表示出來,之后應(yīng)用分組求和法,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,以及錯(cuò)位相減法求和,最后求得結(jié)果. 【詳解】(I)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為, 依題意,得,解得, 故,, 所以,的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為; (II) , 記 ① 則 ② ②①得,, 所以 . 【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題目. 19. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,頂點(diǎn)為B.已知(為原點(diǎn)). (Ⅰ)求橢圓的離心率; (Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為,圓同時(shí)與軸和直線相切,圓心在直線上,且,求橢圓的方程. 【答案】(I)首先設(shè)橢圓的半焦距為,根據(jù)題意得到,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,得到,化簡得出,從而求得其離心率; (II)結(jié)合(I)的結(jié)論,設(shè)出橢圓的方程,寫出直線的方程,兩個(gè)方程聯(lián)立,求得交點(diǎn)的坐標(biāo),利用直線與圓相切的條件,列出等量關(guān)系式,求得,從而得到橢圓的方程. 【解析】 【分析】 (I); (II). 【詳解】(I)解:設(shè)橢圓的半焦距為,由已知有, 又由,消去得,解得, 所以,橢圓的離心率為. (II)解:由(I)知,,故橢圓方程為, 由題意,,則直線的方程為, 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,消去并化簡,得到, 解得, 代入到的方程,解得, 因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方,所以, 由圓心在直線上,可設(shè),因?yàn)椋? 且由(I)知,故,解得, 因?yàn)閳A與軸相切,所以圓的半徑為2, 又由圓與相切,得,解得, 所以橢圓的方程為:. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力. 20. 設(shè)函數(shù),其中. (Ⅰ)若,討論的單調(diào)性; (Ⅱ)若, (i)證明恰有兩個(gè)零點(diǎn) (ii)設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,證明. 【答案】(I)在內(nèi)單調(diào)遞增.; (II)(i)見解析;(ii)見解析. 【解析】 【分析】 (I);首先寫出函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號,從而得到結(jié)果; (II)(i)對函數(shù)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性,求得極值的符號,從而確定出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),得到結(jié)果; (ii)首先根據(jù)題意,列出方程組,借助于中介函數(shù),證得結(jié)果. 【詳解】(I)解:由已知,的定義域?yàn)椋? 且, 因此當(dāng)時(shí),,從而, 所以在內(nèi)單調(diào)遞增. (II)證明:(i)由(I)知,, 令,由,可知在內(nèi)單調(diào)遞減, 又,且, 故在內(nèi)有唯一解, 從而在內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為, 則,當(dāng)時(shí),, 所以在內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),, 所以在內(nèi)單調(diào)遞減, 因此是的唯一極值點(diǎn). 令,則當(dāng)時(shí),,故在內(nèi)單調(diào)遞減, 從而當(dāng)時(shí),,所以, 從而, 又因?yàn)椋栽趦?nèi)有唯一零點(diǎn), 又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而,在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn). (ii)由題意,,即, 從而,即, 以內(nèi)當(dāng)時(shí),,又,故, 兩邊取對數(shù),得, 于是,整理得, 【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法,考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查綜合分析問題和解決問題的能力.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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