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1、 暑假專題——函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用 重點(diǎn)、難點(diǎn) 數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用 【典型例題】 一. 方程思想的應(yīng)用 例1. 已知點(diǎn)P（x，x+y）與點(diǎn)Q（y+5，x-7）關(guān)于x軸對稱，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為______。 分析：P點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反 構(gòu)造方程組 解得： ∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3） 例2. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，求m的值。 分析：一次函數(shù)條件：x的次數(shù)為1 即： 得： 解得： 而當(dāng) 此時圖像經(jīng)過一、三、四象限 不符合題意，舍去 故m=3 例3. 已知：在△ABC中，，P為AB上一動點(diǎn)（P不與A、B重合）

2、，過點(diǎn)P作PE//BC交AC于E，連結(jié)BE，設(shè)AP=x，△BPE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量x的取值范圍。 分析： ∴知道PE的長、EC的長是關(guān)鍵，而PE、EC與三角形相似有關(guān)。 所以此題借助比例式找出PE、EC與x之間的等量關(guān)系。 即：用含x的式子表示PE、EC，進(jìn)而得到函數(shù)關(guān)系式。 解： 二. 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例1. 一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第_______象限。 分析：充當(dāng)中的k，此時大于0 充當(dāng)中的b，此時小于0 則依據(jù)直線，當(dāng)?shù)膱D象示意圖：可知圖像經(jīng)過一、三、四象限。 例2. 已知反比例函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的三個點(diǎn)，若，

3、試判斷的大小關(guān)系。 分析：反比例函數(shù)的圖像位于二、四象限 只需將在圖像上找到相對應(yīng)的點(diǎn)，則可確定相應(yīng)的函數(shù)值。從而根據(jù)位置判斷大小。 y軸上，越往上數(shù)越大，所以。 例3. 如圖所示，一次函數(shù)的圖像過第一、三、四象限，且與雙曲線的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，是終邊上的一點(diǎn)，若，原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離為 （1）求A點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求反比例函數(shù)的解析式； （3）若，求一次函數(shù)的解析式。 分析：此題關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中借助及，在Rt△中求A點(diǎn)坐標(biāo)。從而進(jìn)一步借助到y(tǒng)軸距離等于，求出b，確定一次函數(shù)的解析式。 解：（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），且 過A作軸交x軸

4、于M 則 在 所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，1） （2）此反比例函數(shù)解析式為 （3），且（OC=|b|，C在x軸下方） ∴一次函數(shù)解析式為： 又∵直線過點(diǎn) ∴一次函數(shù)解析式為 三. 分類討論思想的應(yīng)用 例1. 已知點(diǎn)N在x軸下方，且到x軸距離為2，到y(tǒng)軸距離為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_________。 分析：設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x，y） 由題意得： 則 又∵點(diǎn)N在x軸下方，y<0 例2. 已知直線與直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為9，則直線解析式為__________。 分析：設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為B 則 ∴直線解析式為

5、例3. 已知點(diǎn)A為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第四象限夾角平分線上一點(diǎn)，且OA=5，試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得△AOC為等腰三角形，并寫出C點(diǎn)坐標(biāo)。 分析：首先應(yīng)分別在x軸和y軸上找點(diǎn)C 其次，△AOC應(yīng)分類找：（1）OA為腰；（2）OA為底 當(dāng)C點(diǎn)在x軸上時 當(dāng)C點(diǎn)在y軸上時 四. 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例1. 已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過二、三、四象限，求k的取值范圍。 分析：直線經(jīng)過二、三、四象限 則 得： 所以 例2. 待定系數(shù)解題（轉(zhuǎn)化為方程組） 如：已知與成正比例，其中m，n是常數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，求y與x的函數(shù)關(guān)系。 分析：設(shè) 當(dāng)時，得： 當(dāng)時，

6、得： 解方程組 解得： 所求函數(shù)關(guān)系式為： 例3. 如圖所示，直線與y軸交于點(diǎn)A（0，3）與x軸交于點(diǎn)B，正方形OPQR的兩邊在坐標(biāo)軸上，Q在直線AB上，OP：PB=1：2，求直線的解析式。 分析：求直線AB解析式，需要知道A、B坐標(biāo)。而A點(diǎn)（0，3），則OA=3，求B點(diǎn)即可，即求OB長，此問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。 又知PQRO為正方形，設(shè)正方形邊長為x，則 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0） ∴直線解析式為 五. 幾何解題思想的綜合應(yīng)用 例：已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+1，b+k）兩點(diǎn)。 （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2

7、）如圖所示，已知點(diǎn)A是上述兩個函數(shù)的圖象在第一象限的交點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； （3）利用（2）的結(jié)果，回答：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由。 分析：（1）由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（a，b），（a+1，b+k），代入消去a，b，可得k=2，進(jìn)而可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式。 （2）將聯(lián)立成方程組，易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)； （3）應(yīng)根據(jù)OA為腰和底進(jìn)行分類，結(jié)合（2）探求出點(diǎn)P的存在性。 解：（1）依題意可得： 兩式相減，得 所以反比例函數(shù)的解析式為 （2）由，得， 經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程組的解。 因?yàn)锳點(diǎn)在第一象限，所

8、以A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1） （3），OA與x軸所夾銳角為45° 如圖下所示①，當(dāng)OA為腰時，由OA=OP，得 由，得 ②當(dāng)OA為底時，得 所以這樣的點(diǎn)有4個，分別是、 【模擬試題】（答題時間：30分鐘） 1. 反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，，當(dāng)時，有，則m的取值范圍是_____________。 2. 已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第___________象限。 3. 直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，且y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是__________。 4. 三角形三邊長為3cm，5cm，xcm，則三角形的周長為與的函數(shù)關(guān)系式是________

9、______，自變量x的取值范圍是___________。 5. 當(dāng)m取何值時，函數(shù)是x的一次函數(shù)？它是否是正比例函數(shù)？ 6. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，求m的取值范圍。 7. 直線和直線的交點(diǎn)在第__________象限。 8. 兩個一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B、C，如圖所示，若已知|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且△ABC的面積是16，求兩函數(shù)的解析式。 9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在第二象限，且m為整數(shù)，則過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的解析式為________________。 10. 如果一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積

10、為10，則此一次函數(shù)為_________________。 11. 已知點(diǎn)A是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的交點(diǎn) （1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）如果直線經(jīng)過點(diǎn)A且與x軸交于點(diǎn)C，求b及點(diǎn)C的坐標(biāo)。 12. 如圖所示，在第四象限內(nèi)的矩形OABC，兩邊在坐標(biāo)軸上，一個頂點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，當(dāng)點(diǎn)A從左向右移動時，矩形的周長與面積也隨之發(fā)生變化，設(shè)線段OA長m，矩形的周長為，面積為s。 （1）試分別寫出與m的函數(shù)關(guān)系； （2）能否求出當(dāng)m取何值時，矩形的周長最大？為什么？ （3）你能否估計矩形的面積是否有最大值，簡單說一下你的想法？ 【試題答案】 1. 2. 三 3

11、. 4. 5. 解：， 則 ，它是一次函數(shù)也是正比例函數(shù)。 6. 解：， 7. 三 8. 解：設(shè) ∴直線AB解析式為，直線AC解析式為 9. 10. 11. 解：（1），解得：（不合題意，舍去） （2）經(jīng)過點(diǎn) 則 12. 解：（1）①由題意得， ② （2）周長的一次函數(shù)，且的增大而增大。是否有最大值，關(guān)鍵在于m的取值范圍。與x軸交點(diǎn)為（6，0），所以，m越接近6，周長越大。但不能等于6，所以周長無最大值。 （3）當(dāng)點(diǎn)A接近于（0，0）時，面積接近于0，隨著點(diǎn)A逐漸右移，面積逐漸增大。而當(dāng)點(diǎn)A接近于（6，0），面積也接近于0，隨著點(diǎn)A位置變化，可知面積先隨m的增大而增大，到一定程度時，開始隨x的增大而減小，估計在m取某一值時，面積為最大值。