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2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補(bǔ)漏系列 熱點(diǎn)02 新問(wèn)題新情景如何面對(duì)高考中新定義問(wèn)題?

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2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補(bǔ)漏系列 熱點(diǎn)02 新問(wèn)題新情景如何面對(duì)高考中新定義問(wèn)題?_第1頁(yè)
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1、新問(wèn)題新情景,如何面對(duì)高考中新定義問(wèn)題? 在近幾年全國(guó)、各省的高考數(shù)學(xué)命題中,“新定義”問(wèn)題越來(lái)越受到關(guān)注和重視.所謂“新定義”問(wèn)題,是相對(duì)于高中教材而言,指在高中教材中不曾出現(xiàn)過(guò)的概念、定義.它的一般形式是:由命題者先給出一個(gè)新的概念、新的運(yùn)算法則,或者給出一個(gè)抽象函數(shù)的性質(zhì)等,然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問(wèn)題.“新定義”問(wèn)題總的來(lái)說(shuō)題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.掌握好下列幾種解題的思路與方法,為我們?cè)诤暧^上把握這類題型提供了思維方向. 一.以集合為背景的新問(wèn)題 已知集合, .若存在實(shí)數(shù)使得成立,稱點(diǎn)為“£”點(diǎn),則“£”點(diǎn)在平面區(qū)

2、域內(nèi)的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 無(wú)數(shù)個(gè) 【答案】A 代入(1)可得方程無(wú)整數(shù)解,故滿足條件的點(diǎn)不存在,選A. 例2 [2020·福建卷] 在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”,記為[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論: ①2020∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整a,b屬于同一‘類’”的

3、充要條件是“a-b∈[0]”. 其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C  二.以函數(shù)為背景考查新定義 例3[2020·天津卷] 對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“?”;a?b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)c的取值范圍是(  ) A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1] 則f(x)的圖象如圖, ∵函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn), ∴函數(shù)y=f(x)與y=c的圖象有

4、兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可得-2

5、】1 【解析】設(shè)、、為長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱的方向向量,因非零向量,故可為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的方向向量,則、、分別為 則有 解:由“線性相關(guān)”的定義,知存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,k3,使得 . 即k1(1,0)+k2(-1,1)+k3(2,2)=(0,0). 不妨取k3=1,則k2=2,k1=-4. ∴ k1,k2,k3依次可?。?,2,1. 分析2:根據(jù)線性相關(guān)的定義和向量加法的運(yùn)算法則,我們可以得該題的一般解法. 解法2:設(shè)存在3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,k3,使得. 則,不妨設(shè)k3≠0,于是解得. 故存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)-4k3,2k3,k3使得 , 于是線性

6、相關(guān),特殊地,取k3=1. 四.以數(shù)列為背景的新定義 例7【湖南省衡陽(yáng)八中2020屆高三第三次月考】 當(dāng)為正整數(shù)時(shí),定義函數(shù)表示的最大奇因數(shù).如,….記. 則(1) .(2) . 【答案】86; (2) ,. 例8 [2020·北京卷] 若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1)充分性:由于a2000-a1999≤1. a1999-a1998≤1. …… a2-a1≤1. 所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12,a2000=2020. 所以

7、a2000=a1+1999. 故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E數(shù)列An是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證. (3)對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列An,由于 a2≥a1-1=3, a3≥a2-1≥2, …… a8≥a7-1≥-3, …… 所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8). 所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E列An,若S(An)=0,則必有n≥9. 又a1=4的E數(shù)列A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足S(A9)=0, 所以n的最小值是9. 【最新模擬試題訓(xùn)練】 【答案】A  【解析】 T全部是偶數(shù),V全部是奇數(shù),那么T,V對(duì)乘法是

8、封閉的,但如果T是全部偶數(shù)和1,3,那么此時(shí)T,V都符合題目要求,但是在V里面,任意取的是-1和-3,那么相乘等于3,而V里面沒(méi)有3,所以V對(duì)乘法不封閉.排除B、C、D選項(xiàng),所以“至少一個(gè)”是對(duì)的. 2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)】 對(duì)向量,定義一種運(yùn)算“”. ,已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別在曲線和上運(yùn)動(dòng),且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,則的最大值為 A. B.2 C.3 D. 【答案】C 【解析】設(shè) 又顯然當(dāng)時(shí),取得最大值為3. 3.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】 對(duì)于使成立的所有常數(shù)中,我們把的最小值1叫做的 上確界

9、,若,且,則的上確界為( ) A. B. C. D.-4 【答案】B 4.【山東省日照市2020屆高三12月月】若數(shù)列,則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且,則的最大值是 A.10 B.100 C.200 D.400 【答案】B 【解析】由已知得為等差數(shù)列,且所以 6.【寧夏銀川2020年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】若直線坐標(biāo)系平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:(1)P,Q都在函數(shù)的圖像上;(2)P、O關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。則稱點(diǎn)[P,Q]是函數(shù)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”。(注:點(diǎn)[P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)。已知函數(shù)則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有 A.0對(duì)

10、B.1對(duì) C.2對(duì) D. 3對(duì) 【答案】C 7.【河南豫西五校2020屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試】設(shè)S是實(shí)數(shù)解R的非空子集,如果則稱S是一個(gè)“和諧集”。下面命題為假命題的是 A.存在有限集S,S是一個(gè)“和諧集” B.對(duì)任意無(wú)理數(shù)a,集合都是“和諧集” C.若且均為“和諧集”,則 D.對(duì)任意兩個(gè)“和諧集”,若 【答案】D 8. 【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】已知點(diǎn).若曲線上存在兩點(diǎn),使為正三角形,則稱為型曲線.給定下列三條曲線: y y=-x+3 O A ① ; ② ; ③ . 其中,型曲線的個(gè)數(shù)是( ) x (A)(

11、B)(C)(D) 【答案】C x y A O 【解析】對(duì)于①,的圖像是一條線段,記為如圖(1)所示,從圖中可以看出:在線段上一定存在兩點(diǎn)B,C使△ABC為正三角形,故①滿足型曲線;對(duì)于②, 的圖象是圓在第二象限的部分,如圖(2)所示,顯然,無(wú)論點(diǎn)B、C在何處,△ABC都不可能為正三角形,所以②不是型曲線。 y O A x 對(duì)于③,表示雙曲線在第四象限的一支,如圖(3)所示,顯然,存在點(diǎn)B,C,使△ABC為正三角形,所以③滿足; 綜上,型曲線的個(gè)數(shù)為2,故選C. 10.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020年3月高考適應(yīng)性考試)對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列,定義,若則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

12、 . 【答案】 【解析】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法的問(wèn)題。 的“光陰”值,現(xiàn)知某數(shù)列 “光陰”值為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【答案】 【解析】由可得 ①, ② ①-②得,所以。 12.【湖北省武漢市2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】 定義在上的函數(shù),如果存在函數(shù)(為常數(shù)),使得對(duì)一 切實(shí)數(shù)都成立,則稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).現(xiàn)有如下函數(shù): ① ② ③ ④ 對(duì)于④,注意到,因此存在函數(shù),使得對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,存在承托函數(shù).綜上所述,存在承托函數(shù)的的序號(hào)為②④. 13.【2020延吉市質(zhì)檢理15】曲線C:與軸交點(diǎn)關(guān)于

13、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”,以“望點(diǎn)”為圓心,凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓,皆稱之為“望圓”,則當(dāng)a=1,b=1時(shí),所有的“望圓”中,面積最小 “望圓”的面積為 . 【答案】 【解析】因?yàn)榍€C:與軸交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”,以“望點(diǎn)”為圓心,凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓,皆稱之為“望圓”,所以當(dāng)時(shí)望圓的方程可設(shè)為,面積最小 “望圓”的半徑為(0,1)到上任意點(diǎn)之間最小距離, ,所以半徑,最小面積為 14、【山東省微山一中2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)(文)】已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b滿足,有以下結(jié)論: ①②為偶函數(shù);③數(shù)列{an}為等比數(shù)列;④數(shù)列{bn}為

14、等差數(shù)列。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 。 【答案】 ①③④ 解析:因?yàn)槿〉萌〉萌〉萌〉? 由得代入(1)得 。該題通過(guò)函數(shù)方程考查函數(shù)性質(zhì)與遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式,既考查函數(shù)方程問(wèn)題一般的研究方法:賦值,又考查轉(zhuǎn)化化歸,對(duì)能力要求較高,是難題。 12.【2020海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)】 (Ⅰ)寫出和的值,并用列舉法寫出集合; (Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù),求的最小值; (Ⅲ)有多少個(gè)集合對(duì)(P,Q),滿足,且? 解:(Ⅰ),,. ………………………………………3分 (Ⅱ)根據(jù)題意可知:對(duì)于集合,①若且,則 所以 要使的值最

15、小,2,4,8一定屬于集合;1,6,10,16是否屬于不影響的值;集合不能含有之外的元素. 所以 當(dāng)為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時(shí),取到最小值4. ………………………………………8分 所以 . 所以 . 由 知:. 所以 . 所以 . 所以 ,即. 因?yàn)?, 所以 滿足題意的集合對(duì)(P,Q)的個(gè)數(shù)為. ………………………………………14分 13.【北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題】 對(duì)于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù) 列,其中,且,這種“變換”記

16、作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”,得到數(shù)列,…,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束. 數(shù)列能結(jié)束,各數(shù)列依次為;;;. ……………3分 (Ⅱ)解:經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是.……4分 若,則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列,從而結(jié)束.……5分 當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí),先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列,(Ⅲ)證明:先證明引理:“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng),其中”. 證明:記數(shù)列中最大項(xiàng)為,則. 令,,其中. 因?yàn)椋? 所以, 故,證畢.

17、 ……………9分 現(xiàn)將數(shù)列分為兩類. 若(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為 或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列; 若,則; ,此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列.③ 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí),只能是,則, ,,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列. 總之,第二類數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”,就會(huì)得到第一類數(shù)列,即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”,數(shù)列的最大項(xiàng)又開(kāi)始減少.又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù),故經(jīng)過(guò)有限次“變換”后,數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為,此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為,從而結(jié)束. ………………13分 14.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末

18、檢測(cè)】 (Ⅲ)對(duì)任意,且,求證:對(duì)于定義域中任意的,,,當(dāng),且時(shí),. 【命題分析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題,考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明??疾閷W(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提,解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。 (Ⅱ)假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根,, 則,. 不妨設(shè),根據(jù)題意存在, 滿足. 因?yàn)椋?,且,所? 與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根, 所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. …………10分 (Ⅲ)當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立; 綜上,對(duì)于任意符合條件的,總有成立.……14分 15.【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】

19、 已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足,, 其中,則稱為的“衍生數(shù)列”. (Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是,求; (Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是; (Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,,,…的第項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列. 證明:是等差數(shù)列. 【命題分析】本題考查新概念的數(shù)列問(wèn)題,考查學(xué)生的自學(xué)能力.試題特點(diǎn)是設(shè)問(wèn)很有層次性,基本上前兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生只要耐心認(rèn)真做答都能夠解答出來(lái),考察學(xué)生代數(shù)推理能力,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維. (Ⅰ)解:. ………………3分 (Ⅱ)證法一:

20、 證明:由已知,,. 因此,猜想. ………………4分 故當(dāng)時(shí)猜想也成立. 由 ①、② 可知,對(duì)于任意正整數(shù),有. ………………7分 設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為,則由以上結(jié)論可知 因此,數(shù)列即是數(shù)列. ………………9分 證法二: 因?yàn)?, , , …… , 由于為偶數(shù),將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以,相加得 即,. ………………7分 由于,, 根據(jù)“衍生數(shù)

21、列”的定義知,數(shù)列是的“衍生數(shù)列”. ………………9分 (Ⅲ)證法一: 證明:設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列,即只要證明即可. ……10分 由(Ⅱ)中結(jié)論可知 , 所以,,即成等差數(shù)列, 所以是等差數(shù)列. ………………13分 證法二: 因?yàn)?, 所以 . 所以欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列即可. ………………10分 對(duì)于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”, 因?yàn)?, , , …… , 因?yàn)?,, 所以 , 即成等差數(shù)列. 同理可證,也成等差數(shù)列. 即 是等差數(shù)列. 所以 成等差數(shù)列. ………………13分

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