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1、例析二次函數(shù)圖象性質(zhì)的運(yùn)用 徐加生 與二次函數(shù)相關(guān)的題目是高考的熱點(diǎn)題型，充分利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，從形象直觀到理性思考，能找到較為簡(jiǎn)捷的解題思路。下面從不同側(cè)面入手，介紹幾種常見(jiàn)類型的解題思路。 一、圖象的位置 根據(jù)題意考察結(jié)合條件的二次函數(shù)圖象的位置，以形助數(shù)列出不等式易求解。 例1. 若二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。 分析1：依題意有或 即或 解得或 所以 分析2：（補(bǔ)集法）問(wèn)題的反面即拋物線在內(nèi)位于x軸下方（含與x軸的交點(diǎn)）。 令且，得且 求得或 求其補(bǔ)集得符合題意的解是 二、圖象的對(duì)稱軸 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是二次函數(shù)的重要幾

2、何特征，除軸對(duì)稱的關(guān)系外，還有圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)這一幾何量。靈活運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解題，效果甚好。 例2. 已知a>0，函數(shù) （I）當(dāng)b>0時(shí)，若對(duì)任意，都有，證明。 （II）當(dāng)b>1時(shí)，證明對(duì)任意，的充要條件是； （III）當(dāng)時(shí)，討論對(duì)任意的充要條件。 解：（I） 因?yàn)閷?duì)恒成立，且 所以 又f(x)圖象過(guò)原點(diǎn)且對(duì)稱軸，故時(shí)，恒成立的充要條件為 或 （II）當(dāng)時(shí)，因，故<1>的解集為空集，而<2>的解等價(jià)于 （III）當(dāng)時(shí)，由<1>得，因，且，由<2>得，故時(shí)，的充要條件是。 三、與x軸的交點(diǎn) 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸相交時(shí)，利用交點(diǎn)所在位置，根據(jù)范圍列式，可獲簡(jiǎn)解。

3、例3. 關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程的兩實(shí)根為，證明： （1）如果，那么且； （2）如果且，那么。 分析：所證兩個(gè)小題，即證且的充要條件是且。若令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)的充要條件是且，故。 由<1><2> ，從而，且 四、在x軸上截得的弦 二次函數(shù)的圖象拋物線截x軸所得的弦長(zhǎng)為 運(yùn)用此公式是解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的重要手段。 例4. 已知二次函數(shù)，其中且。 （1）求證此函數(shù)的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)； （2）設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得的線段的長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的取值范圍。 略解：（1）因?yàn)榍?，則，所以，故，即函數(shù)圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)。 （2）設(shè)函數(shù)圖象與x

4、軸兩交點(diǎn)為，則 又且 故，則有 而在上是單調(diào)減函數(shù)，則 故 五、函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)即二次函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)，而在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題必須根據(jù)頂點(diǎn)的位置變化來(lái)討論解決。 例5. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍。 分析：若恒成立，即有f(x)在上的最小值。 收于 下面按對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系分類求解。 （1）當(dāng)，即時(shí)，，解得，則。 （2）當(dāng)即時(shí)，，得，則。 （3）當(dāng)，即時(shí)，，得，與矛盾，舍去。 綜上所述，得。 六、函數(shù)單調(diào)性 二次函數(shù)的單調(diào)性是比較簡(jiǎn)單的，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間的判定，可獲得函數(shù)取最值的情況，從而可列式來(lái)判斷參數(shù)的取值。 例6. 已知且 （1）設(shè)，求的表達(dá)式； （2）設(shè)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)。 分析：（1）由得 即 則 若設(shè)，則 要使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)， 即要使h(t)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增 根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，知是對(duì)稱軸，故有得 即存在實(shí)數(shù)滿足題意。