《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識（第1課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識（第1課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1 函數(shù)概念 1．了解生活中的變量關(guān)系． 2．理解函數(shù)的概念． 3．會求出簡單函數(shù)的定義域、值域． 1．生活中的變量關(guān)系 (1)依賴關(guān)系：在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個變量具有依賴關(guān)系．如果變量x，y具有依賴關(guān)系，對于其中一個變量x的每一個值，另一個變量y都有________的值時，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系． (2)非依賴關(guān)系：在某變化過程中有兩個變量，如果其中一個變量的值發(fā)生了變化，另一個變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個變量具有非依賴關(guān)系． 函數(shù)關(guān)系是特

2、殊的依賴關(guān)系，具有依賴關(guān)系的兩個變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系．因此說依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系．例如，積雪層對越冬作物具有防凍保暖作用，大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā)，又可阻止外界冷空氣的侵入，具有增墑肥田作用．所以下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系． 【做一做1－1】 張大爺種植了10畝小麥，每畝施肥x千克，小麥總產(chǎn)量為y千克，則( )． A．x，y之間有依賴關(guān)系 B．x，y之間有函數(shù)關(guān)系 C．y是x的函數(shù) D．x是

3、y的函數(shù) 【做一做1－2】 某人騎車的速度是v千米/時，他騎t小時，走的路程s是多少？路程是時間的函數(shù)嗎？ 2．函數(shù)的概念 給定兩個非空____________A和B，如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中________數(shù)x，在集合B中都存在____________確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)，記作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此時，x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域，集合__________叫作函數(shù)的值域．習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù)． (1)符號y＝f(x)表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，并不表示y等于

4、f與x的乘積；符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系，當(dāng)m是變量時，函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是一樣的；當(dāng)m是常數(shù)時，f(m)表示自變量x＝m時對應(yīng)的函數(shù)值，是一個常量． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．有時給出的函數(shù)沒有明確說明定義域，這時，它的定義域就是自變量的允許取值范圍，此時的定義域又稱為此函數(shù)的“自然定義域”；如果函數(shù)涉及實際問題，它的定義域還需使實際問題有意義，此時的定義域又稱為此函數(shù)的“臨時定義域”． 【做一做2】 下列式子中不能表示函數(shù)y＝f(x)的是( )． A．x＝y(tǒng)2＋1 B．y＝2x

5、2＋1 C．x－2y＝6 D．x＝ 3．區(qū)間與無窮的概念 (1)區(qū)間 設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a＜b，規(guī)定如下表： 定義 名稱 符號 幾何表示 {x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 ______ {x|a＜x＜b} 開區(qū)間 ______ {x|a≤x＜b} 左閉右 開區(qū)間 ______ {x|a＜x≤b} 左開右 閉區(qū)間 ______ 這里實數(shù)a，b都叫作相應(yīng)區(qū)間的________________． 并不是所有的數(shù)集都能用區(qū)間表示．例如：數(shù)集M＝{1,2,3,4}就

6、不能用區(qū)間表示．由此可見，區(qū)間仍是集合，是一類特殊數(shù)集的另一種符號語言． (2)無窮的概念及無窮區(qū)間 定義 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符號 (－∞，＋∞) ________ ________ ________ ________ 無窮大“∞”是一個符號，不是一個具體的數(shù)．因此不能將[1，＋∞)寫成[1，＋∞]． 【做一做3】 將下列集合用區(qū)間表示出來，并在數(shù)軸上表示區(qū)間． (1){x|x≥1}； (2){x|x＜1或x≥2}； (3){x|2≤x≤8且x≠5}． 答案：1．(1)唯一確定　 【做一做1－1】

7、 A 【做一做1－2】 解：t小時走的路程是s＝vt. 由于時間t每取一個值，路程s有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以路程是時間的函數(shù)． 2．?dāng)?shù)集　任何一個　唯一　f(x)　{f(x)|x∈A}　 【做一做2】 A　A選項中，給定一個x(比如x＝5)，有兩個y(y＝±2)與它對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)．同理可驗證其他選項中y都是x的函數(shù)． 3．(1)[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]　端點　(2)[a，＋∞) (a，＋∞)　(－∞，a]　(－∞，a) 【做一做3】 解：(1)[1，＋∞)； (2)(－∞，1)∪[2，＋∞)； (3)[2,5)∪(5,8]． 數(shù)軸表示分別

8、如圖(1)(2)(3)． 如何理解函數(shù)符號f(x)的意義？ 剖析：(1)符號“y＝f(x)”中的“f”表示對應(yīng)法則，在不同的具體函數(shù)中，“f”的含義不一樣，可以把函數(shù)的對應(yīng)法則“f”形象地看作一個“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以將其看作輸入x，輸出x2，于是“暗箱”相當(dāng)于一個“平方機”的作用(如圖所示)，則顯然應(yīng)該有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2. (2)符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是法則所施加的對象；f是對應(yīng)法則，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函

9、數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)． (3)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特殊值．如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數(shù)． y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，它也未必就是一個解析式，y＝f(a)表示自變量x＝a時的函數(shù)值，

10、它是一個常數(shù)；y＝f(x)是函數(shù)，通常是一個依賴于x變化而變化的變量．函數(shù)還可以用其他一些符號來表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是說，不管用哪一個字母表示，它總是表達(dá)同樣一個含義：y是x的函數(shù)． 題型一 函數(shù)的概念 【例1】 判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)： (1)f(x)＝與g(x)＝ (2)f(x)＝與g(x)＝； (3)f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1； (4)f(x)＝1與g(x)＝x0(x≠0)． 分析：判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否一致． 反思：判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷這兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同． (1)定義域和

11、對應(yīng)關(guān)系都相同，則兩個函數(shù)表示同一函數(shù)； (2)定義域不同，則兩個函數(shù)不表示同一函數(shù)； (3)對應(yīng)關(guān)系不同，則兩個函數(shù)不表示同一函數(shù)； (4)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，例如y＝x和y＝2x－1的定義域和值域都是R，但不是同一函數(shù)； (5)兩個函數(shù)是否相同，與自變量是什么字母無關(guān)． 題型二 求函數(shù)的定義域 【例2】 求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝2－； (2)y＝. 分析：求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍，可考慮列不等式或不等式組． 反思：1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R. 2．如果f(x)是分式，

12、那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合． 3．如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合． 4．如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集)． 5．對于由實際背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實際問題的制約． 題型三 求函數(shù)值 【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值． 分析：解決求值問題，先分清對應(yīng)法則，再代入求值． 反思：(1)求函數(shù)值問題，首先確定出函數(shù)的對應(yīng)法則

13、f的具體含義，再代入求值． (2)求類似f(g(2))的值，要注意f，g作用的對象，按“由內(nèi)向外”的順序求值． 題型四 求函數(shù)的值域 【例4】 求下列各函數(shù)的值域： (1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}； (2)y＝＋1； (3)y＝x2－4x＋6； (4)y＝x＋. 分析：確定函數(shù)的值域必須認(rèn)真分析自變量x與對應(yīng)法則之間的聯(lián)系，關(guān)鍵是弄清自變量變化時由對應(yīng)法則確定函數(shù)值的變化規(guī)律． 反思：求函數(shù)值域的方法： (1)圖像法：借助于函數(shù)值域的幾何意義，利用函數(shù)的圖像求值域； (2)觀察法：對于解析式比較簡單的函數(shù)，利用常見的結(jié)論如x2≥0，|x|≥0，≥0等觀察出函數(shù)的

14、值域； (3)換元法：利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見函數(shù)如二次函數(shù)的值域等． 論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域，本例(1)中，如果忽視函數(shù)的定義域，那么會錯誤地得出函數(shù)值域為R.避免此類錯誤的方法是研究函數(shù)時要遵循定義域優(yōu)先的原則． 題型五 易錯辨析 易錯點 求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯 【例5】 求函數(shù)y＝·的定義域． 錯解：y＝·＝，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，∴函數(shù)的定義域為{x|x≥2或x≤－2}． 錯因分析：錯解在求函數(shù)的定義域時，對函數(shù)的解析式進(jìn)行了不等價變形，導(dǎo)致定義域范圍擴大． 答案：【例1】 解：(1)f(x)的定義域中不含有元素0，而g(x)的定義

15、域為R，即定義域不相同，所以不是同一函數(shù)． (2)f(x)的定義域為[0，＋∞)，而g(x)的定義域為(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定義域也不相同，所以不是同一函數(shù)． (3)盡管兩個函數(shù)的自變量一個用x表示，另一個用t表示，但它們的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，即對定義域內(nèi)同一個自變量，根據(jù)表達(dá)式，都能得到同一函數(shù)值，因此二者為同一函數(shù)． (4)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≠0}，因此也不是同一函數(shù)． 【例2】 解：(1)令即所以0≤x≤. 所以函數(shù)的定義域為. (2)令即 所以x＜0且x≠－1. 所以函數(shù)的定義域為{x|x＜0且x≠－1}． 【例3】 解：(

16、1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝； 又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝＝. 【例4】 解：(1)當(dāng)x分別取2,3,4,5,6時，y＝x＋1分別取3,4,5,6,7，∴函數(shù)的值域為{3,4,5,6,7}． (2)∵函數(shù)的定義域為[0，＋∞)， 當(dāng)x≥0時，≥0， ∴y≥1，即函數(shù)y＝＋1的值域為[1，＋∞)． (3)函數(shù)的定義域為R. ∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2， ∴該函數(shù)的值域為[2，＋∞)． (4)換元法： 設(shè)t＝，則x＝且t≥0. 問題轉(zhuǎn)化為求y＝＋t(t≥0)的值域． ∵y＝＋t＝(t＋1)2(t≥

17、0)，(t＋1)2≥1， ∴y的取值范圍為. 故該函數(shù)的值域為. 【例5】 正解：由得即x≥2， ∴函數(shù)的定義域為{x|x≥2}． 1 下列四個圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖像是( )． 2 已知函數(shù)f(x)＝，則f(2)等于( )． A．3 B．2 C．1 D．0 3 函數(shù)y＝的定義域為( )． A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0}

18、 D．{x|0≤x≤1} 4 函數(shù)y＝，x∈[1,5)的值域是__________． 5 判斷下列各組的兩個函數(shù)是否相等，并說明理由． (1)y＝x－1，x∈R與y＝x－1，x∈N； (2)y＝與y＝； (3)y＝與u＝. 答案：1．C　2.A 3．D　要使函數(shù)有意義須解得0≤x≤1. 4. (1,5]　畫出函數(shù)的圖像，如圖所示，觀察圖像得圖像上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍是(f(5)，f(1)]，則函數(shù)的值域是(1,5]． 5．解：(1)不相等．前者的定義域是R，后者的定義域是N，由于它們的定義域不同，故不相等． (2)不相等．前者的定義域是R，后者的定義域是{x|x≥0}，它們的定義域不同，故不相等． (3)相等．定義域相同均為非零實數(shù)，對應(yīng)關(guān)系相同，都是自變量取倒數(shù)后加1，故相等．