《高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（第2課時）基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.2 利用二分法求方程的近似解 1．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解． 2．學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過程和方法． 1．二分法的概念 對于圖像在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，每次取區(qū)間的_________，將區(qū)間___________，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法． 二分就是平均分成兩部分．二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點． 【做一做】 已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2，

2、f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次計算時，若x0是[1,2]的中點，則f(x0)＝________. 2．用二分法求方程的近似解的過程 過程如圖所示． 在圖中： “初始區(qū)間”是一個兩端函數(shù)值________號的區(qū)間； “M”的含義是：取新區(qū)間，一個端點是原區(qū)間的____________，另一端是原區(qū)間兩端點中的一個，新區(qū)間兩端點的函數(shù)值反號； “N”的含義是：方程解滿足要求的________． “P”的含義是：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程的近似解． 在二分法求方程解的步驟中，初始區(qū)間的選定，往往需要通過分析函數(shù)的____和___________．初始區(qū)間可以選得不同，

3、不影響最終計算結(jié)果． 函數(shù)連續(xù)值兩端，相乘為負有零點， 區(qū)間之內(nèi)有一數(shù)，方程成立很顯然． 要求方程近似解，先看零點的區(qū)間， 每次區(qū)間分為二，分后兩端近零點． 答案：1．中點　一分為二 【做一做】 0.625 2．中點　零　反　中點　精度　性質(zhì)　試驗估計 用二分法求方程的近似解需注意什么？ 剖析：用二分法求方程的近似解要注意的問題： (1)要看清題目要求的精度，它決定著二分法步驟的結(jié)束． (2)初始區(qū)間的選定一般在兩個整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大． (3)用二分法求出的零點一般是零點的近似值，但并不是所有函數(shù)都可以用二分法求零點，

4、必須滿足在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0這樣條件的函數(shù)才能用二分法求得零點的近似值． 題型一 函數(shù)零點的性質(zhì) 【例1】 函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x－6在區(qū)間[－2,4]上的零點必定在( )． A．[－2,1]內(nèi) B．[，4]內(nèi) C．[1，]內(nèi) D．[，]內(nèi) 分析：按二分法的順序是計算f(1)，f()等進行，但數(shù)據(jù)計算較麻煩，[－2,4]內(nèi)的整數(shù)較多，選易計算的整數(shù)求解． 反思：用二分法求函數(shù)的近似零點，是取中點求函數(shù)值，看符號，確定新區(qū)間，再取中點求函數(shù)值等依次進行下去． 有時從計算速度上考慮，首先把整數(shù)代入計算

5、會更快一些，如f(0)，f(±1)，…. 題型二 求方程的近似解 【例2】 求方程lgx－2－x＋1＝0的近似解(精度為0.1)． 分析：先確定f(x)＝lgx－2－x＋1的零點所在的大致區(qū)間，再用二分法求解． 反思：求方程近似解的步驟：(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖像或單調(diào)性確定方程解所在的大致區(qū)間，通常限制在區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出滿足精度的方程解所在的區(qū)間M；(3)寫出方程的近似解． 題型三 用二分法證明方程根的分布 【例3】 已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，證明a＞0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在[0

6、,1]內(nèi)有兩個實根． 分析：∵f(0)＞0，f(1)＞0， ∴只需在[0,1]內(nèi)找到一個點的函數(shù)值小于零即可． 反思：根據(jù)二分法，若f＜0不成立，可計算f是否為負，若還不成立，再計算f是否為負，總之，在區(qū)間[0,1]內(nèi)找到一個分點，使對應(yīng)函數(shù)值為負即可． 題型四 二分法的實際應(yīng)用 【例4】 在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿，10 km長，大約有200多根電線桿呢．想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 分析：先檢查中間一根電線桿

7、，則將故障的范圍縮小一半，再用同樣方法依次檢查下去． 反思：這種檢查線路故障的方法，就是二分法的應(yīng)用．二分法不僅可用于查找線路、水管、氣管故障，還可用于實驗設(shè)計、資料查詢，也是求根的常用方法． 答案：【例1】 D　解：f(0)＝－6＜0，f(1)＝－4＜0，f(2)＝0， 故2為一零點在(1,3)內(nèi)，只有D選項滿足． 【例2】 解：令f(x)＝lgx－2－x＋1，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． 因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(證明略)，所以f(x)至多有一個零點． 又因為f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 992＜0， 所以方程在[0.1

8、,1]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解． 使用二分法求解，如下表： 次數(shù) 左端點 左端點函數(shù)值 右端點 右端點函數(shù)值 第1次 0.1 －0.933 032 992 1 0.5 第2次 0.1 －0.933 032 992 0.55 0.057 342 561 第3次 0.325 －0.286 415 025 0.55 0.057 342 561 第4次 0.437 5 －0.097 435 016 0.55 0.057 342 561 第5次 0.493 75 －0.016 669 624 0.55 0.057 342 561 由于區(qū)間[0.4

9、93 75,0.55]的區(qū)間長度為0.056 25，它小于0.1，因此，我們可以選取這一區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．例如，選取0.5作為方程lg x－2－x＋1＝0的一個近似解． 【例3】 解：∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0， 即3(a＋b＋c)－b－2c＞0. ∵a＋b＋c＝0， ∴－b－2c＞0，則－b－c＞c，即a＞c. ∵f(0)＞0，∴c＞0，則a＞0. 在[0,1]內(nèi)選取二等分點， 則f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. ∵f(0)＞0，f(1)＞0， ∴f(x)在區(qū)間[0，]和[，1]內(nèi)分別存在一個零點．又二次方程f(x

10、)＝0最多有兩個實根， ∴方程f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有兩個實根． 【例4】 解：如圖，他首先從中點C查．用隨身帶的話機向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD段中點去查． 每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m至100 m，即一兩根電線桿附近，只要檢查7次就夠了． 1 下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是( )． 2 下列函數(shù)中，必須用二分法求其零點的是( )． A．y＝x＋7

11、 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝ 3 用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的零點，驗證f(2)·f(4)＜0.給定精度ε＝0.01，取區(qū)間(2,4)的中點 x1＝，計算得f(2)·f(x1)＜0，則此時零點x0∈__________.(填區(qū)間) 4 用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一個零點x0∈__________，第二次應(yīng)計算__________，這時可判斷x0∈__________. 5 求方程ln

12、 x＋x－3＝0在(2,3)內(nèi)的近似解．(精確到0.1) 答案：1．A 2．D　D選項中無法解方程，則必須用二分法求零點． 3．(2,3)　∵f(2)·f(3)＜0，∴x0∈(2,3)． 4．(0,0.5)　f(0.25)　(0.25,0.5)　由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25，這時f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0， 故x0∈(0.25,0.5)． 5．分析：借助于計算器，利用二分法求解． 解：令f(x)＝lnx＋x－3，即求函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零點． 因為f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0，即(2,3)作為初始區(qū)間，用二

13、分法列表如下： 次數(shù) 左端點 左端點函數(shù)值 右端點 右端點函數(shù)值 第1次 2 －0.306 85 3 1.098 61 第2次 2 －0.306 85 2.5 0.416 29 第3次 2 －0.306 85 2.25 0.060 93 第4次 2.125 －0.121 23 2.25 0.060 93 第5次 2.187 5 －0.029 74 2.25 0.060 93 第6次 2.187 5 －0.029 74 2.218 75 0.015 69 由于區(qū)間(2.187 5,2.218 75)內(nèi)所有值精確到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.