《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、§6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較 1．了解指數(shù)增長、冪增長、對數(shù)增長的意義． 2．能夠解決相應(yīng)的實(shí)際問題． 三種增長函數(shù)模型的比較 在區(qū)間(0，＋∞)上盡管y＝ax(a＞1)，y＝xn(x＞0，n＞1)和y＝logax(a＞1)都是________，但它們增長的速度不同，而且不在一個(gè)“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度會(huì)越來越____，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(x＞0，n＞0)和y＝logax(a＞1)的增長速度．由于指數(shù)函數(shù)值增長非常快，人們常稱這種現(xiàn)象為“________”． 【做一做1－1】 當(dāng)a＞1時(shí)，下列結(jié)論： ①指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a

2、越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快； ②指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快； ③對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快； ④對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快． 其中正確的結(jié)論是( )． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【做一做1－2】 當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長速度最快的是( )． A．y＝2x B．y＝x10 C．y＝lg x D．y＝10x2 【做一做1－3】 當(dāng)x＞0，n＞

3、1時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是________函數(shù)，并且當(dāng)x＞1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長就________． 答案：增函數(shù)　快　指數(shù)爆炸 【做一做1－1】 B 【做一做1－2】 A 【做一做1－3】 增　越快 如何選擇增長型函數(shù)描述實(shí)際問題？ 剖析：選擇的標(biāo)準(zhǔn)是：指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度快的變化規(guī)律；對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；而冪函數(shù)增長模型介于兩者之間，適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律． 題型一 比較函數(shù)增長的差異 【例1】 分析指數(shù)函數(shù)y＝2x與對數(shù)函數(shù)y＝log2x在區(qū)間[1，＋∞)上函數(shù)的增長情況． 分析：解答本題時(shí)，應(yīng)分析對于

4、相同的自變量的增量，比較指數(shù)函數(shù)的增量與對數(shù)函數(shù)的增量的差異． 反思：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝2x和y＝log2x的圖像，從圖像上可觀察出函數(shù)的增減變化情況．如圖所示： 題型二 比較大小問題 【例2】 比較下列各組數(shù)的大?。? (1)，；(2)0.32，log20.3,20.3. 分析：先觀察各組數(shù)值的特點(diǎn)，然后考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像進(jìn)行求解． 反思：解決這類題目的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需引入中間量，利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，也可以借助冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像．

5、題型三 實(shí)際應(yīng)用 【例3】 某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司要求？ 分析：獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，即當(dāng)x∈[10，1 000]時(shí)，能夠滿足y≤5，且≤25%，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果． 反思：從這個(gè)例題可以看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要

6、快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)模型增長要快，從而我們可以體會(huì)到對數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義． 答案：【例1】 解：指數(shù)函數(shù)y＝2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，Δx＝2，Δy＝23－21＝6； 對數(shù)函數(shù)y＝log2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，Δx＝2，而Δy＝log23－log21≈1.585 0. 由此可知，在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝2x隨著x的增長函數(shù)值的增長速度快，而對數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長速度緩慢． 【例2】 解：(1)函數(shù)y1＝x為減函數(shù)，又＞， ∴. 又函數(shù)y2＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且＞， ∴.∴.

7、(2)令函數(shù)y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖，然后作x＝0.3，此直線必與上述三個(gè)函數(shù)圖像相交．由圖像知log20.3＜0.32＜20.3. 【例3】 解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像如圖所示： 觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在y＝5的上方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才能符合公司要求，下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷． 首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元． 對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[

8、10,1 000]上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈(20,1 000]時(shí)，y＞5，因此該模型不符合要求． 對于模型y＝1.002x，利用計(jì)算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(806，1 000]時(shí)，y＞5，因此，也不符合題意． 對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1 000]上單調(diào)遞增且當(dāng)x＝1 000時(shí)，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求． 再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否超過利潤x的25%，即當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)＝log7x＋1－0.25x的圖像，

9、由圖像可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x. 所以當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，y＜0.25x.這說明，按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)不超過利潤的25%. 綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)符合公司要求． 1 下列所給函數(shù)，增長最快的是( )． A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x 2函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )． A．0 B．1 C．2

10、 D．3 3當(dāng)2＜x＜4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是( )． A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x 4若a＞1，n＞0，那么當(dāng)x足夠大時(shí)，ax，xn，logax中最大的是________． 5汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車制動(dòng)后，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速為100 km/h的高

11、速公路上，甲車的剎車距離y(m)與剎車速度x(km/h)的關(guān)系可用模型y＝ax2來描述，在限速為100 km/h的高速公路上，甲車在速度為50km/h時(shí)，剎車距離為10 m，則甲車剎車距離為多少米時(shí)，交通部門可以判定此車超速？ 答案：1．D　2.D 3．B　思路一：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖像，在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖像，所以x2＞2x＞log2x. 思路二：比較三個(gè)函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)容易知道選B. 4．a(chǎn)x　由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長快慢的差別易知ax＞xn＞logax. 5．解：本題函數(shù)模型已經(jīng)給出，但是a的值需要先求出，利用給定的速度為50 km/h時(shí)，剎車距離為10 m這一條件，把數(shù)值代入y＝ax2，即10＝502a，就可以求出參數(shù)a＝；交通部門判定此車超速的依據(jù)是此車車速超過100 km/h的限速，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax2在x＞0時(shí)是單調(diào)遞增的，所以可以把x＝100代入確定的解析式，求出剎車距離y＝×1002＝40(米)． 故當(dāng)剎車距離超過40米時(shí)，可以判定此車超速．