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1、2020專題四:立體幾何
題型分析
考點一 三視圖、直觀圖與表面積、體積
1.直觀圖
(1)畫法:常用斜二測畫法.
(2)規(guī)則:
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?
按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關系
S直觀圖=S原圖形,S原圖形=2S直觀圖.
2.三視圖
(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(
2、左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.
(2)三視圖的畫法
①基本要求:長對正,高平齊,寬相等.
②畫法規(guī)則:正側一樣高,正俯一樣長,側俯一樣寬;看不到的線畫虛線
1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱
圓錐
圓臺
側面
展開圖
側面
積公式
S圓柱側=2πrl
S圓錐側=πrl
S圓臺側=
π(r+r′)l
2.空間幾何體的表面積與體積公式
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體
(棱柱和圓柱)
S表面積=S側+2S底
V=Sh
錐體
(棱錐和圓錐)
S表面積=S側
3、+S底
V=Sh
臺體
(棱臺和圓臺)
S表面積=S側+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
例1.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.
例2.(2020·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.180 B.200
C.220 D.240
例3.(1)如圖所示,已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1 -A
4、BC1的體積為( )
A. B.
C. D.
(2)(2020·新課標Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.16+8π B.8+8π
C.16+16π D.8+16π
考點二 球與空間幾何體的“切”“接”問題
方法主要是“補體”和“找球心”
方法一:直接法
例1、一個長方體的各頂點均在同一球面上,且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ,則此球的表面積為 .
練習:已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為( )
A. B.
5、 C. D.
方法二:構造法(構造正方體或長方體)
例2(2020年福建高考題)若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且側棱長均為,則其外接球的表面積是
練習 (2020年全國卷)一個四面體的所有棱長都為,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( )
A. B. C. D.
三、確定球心位置法
例3、在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AC沿將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積為( )
四、構造直角三角形
例4、正四面體的棱長為
6、a,則其內切球和外接球的半徑是多少,體積是多少?
練習: 角度一 直三棱柱的外接球
1.(2020·遼寧高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( )
A. B.2
C. D.3
角度二 正方體的外接球
2.(2020·合肥模擬)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示
(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形),則該幾何體外接球的體積為________.
角度三 正四面體的內切球
3.(2020·長春模擬)若一個正四面體的表面積為S1,其內切球的表
7、面積為S2,則=________.
角度四 四棱錐的外接球
4. 四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上,該四棱錐的三視圖如圖所示,E,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點,直線EF被球面所截得的線段長為2,則該球的表面積為( )
A.9π B.3π C.2π D.12π
考點三 利用空間向量求角和距離
1.兩條異面直線所成角的求法
設兩條異面直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為θ,則cos φ=|cos θ|=(其中φ為異面直線a,b所成的角).
2.直線和平面所成的角的求法
如圖所示,設直線l的方向向量為e,平面α的法
8、向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sin φ=|cos θ|=.
3.求二面角的大小
(1)如圖①,AB,CD是二面角α -l -β的兩個面內與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈, 〉.
(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角α -l -β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ=〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉).
4.點到平面的距離的求法
設是平面的法向量,在內取一點B, 則 A到的距離
易錯點:1.求異面直線所成角時,易求出余弦值為負值而盲目得出答案而忽視了夾角為.
2.求直線與平面所成角時,注意求出夾角的余弦值的絕對值應
9、為線面角的正弦值.
3.利用平面的法向量求二面角的大小時,二面角是銳角或鈍角由圖形決定.由圖形知二面角是銳角時cos θ=;由圖形知二面角是鈍角時,cos θ=-.當圖形不能確定時,要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內部,另一個平面的法向量指向二面角的外部),還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內部或外部),這是利用向量求二面角的難點、易錯點.
一、線線角問題
1.(2020·沈陽調研)在直三棱柱A1B1C1 -ABC中,∠BCA=90°,點D1,F(xiàn)1分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則
10、BD1與AF1所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
2.如圖,在棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1D1中,M和N分別是A1B1和BB1的中點,那么直線AM與CN所成角的余弦值為________.
二、 線面角的問題
3、(2020·湖南高考)如圖,在直棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)證明:AC⊥B1D;
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
11、
[針對訓練]
(2020·福建高考改編)如圖,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,側棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為,求k的值.
三、二面角問題
4、(2020·新課標卷Ⅱ)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB
12、=AB.
(1)證明:BC1//平面A1CD;
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.
[針對訓練]
(2020·杭州模擬)如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面,
且PA=AB=AC.
(1)求證:PA∥平面QBC;
(2)若PQ⊥平面QBC,求二面角Q-PB-A的余弦值.
四、 利用空間向量解決探索性問題
.(2020·江西模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D
13、的余弦值;
(3)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論.
[針對訓練]
已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1,點P在線段BD1上.當∠APC最大時,三棱錐P -ABC的體積為________.
五、近三年新課標高考試題
立體幾何(三視圖1小+1小1大:(1)三視圖(2)線面關系(3)與球有關的組合體(4)證明、求體積與表面積(注意規(guī)范性),作輔助線的思路(5)探索性問題的思考方法)
(11)(6)在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如右圖所示,則相應的側視圖可以為
(1
14、5)已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上,且,則棱錐的體積為
(18)(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四
邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)證明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。
(12) (7)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫
出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為
(A)6 (B)9
(C)12(D)18
11、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為
(
15、A) (B) (C) (D)
19、如圖,直三棱柱中,,是棱的中點,。
(1) 證明:;
(2) 求二面角1的大小。
(13) 6、如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 ( )
A、cm3 B、cm3 C、cm3 D、cm3
8、 某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示,則該幾何的體積為( )
A、18+
16、8π B、8+8π
C、16+16π D、8+16π
18、如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)證明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
A
B
C
C1
A1
B1
14年高考試題
(14.12)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面
體的三視圖,則該多面體的個條棱中,最長的棱的長度為( )
. . .6 .4
17、
(14.19). (本小題滿分12分)如圖三棱錐中,側面為菱形,.
(Ⅰ) 證明:;
(Ⅱ)若,,AB=Bc,
求二面角的余弦值.
2020年
(6)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖所示,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧度為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有
(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛
(11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為,則
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
(18)(本小題滿分12分)
如圖所示,四邊形為菱形,,,是平面同一側的兩點,平面,平面,,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與直線所成角的余弦值.