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2020年高考數(shù)學(xué) 專家講壇 第7講 不等式及綜合應(yīng)用(含2020試題含點(diǎn)評)

上傳人:艷*** 文檔編號:110333756 上傳時間:2022-06-18 格式:DOC 頁數(shù):8 大小:445KB
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1、第七講 不等式及綜合應(yīng)用 真題試做?——————————————————— 1.(2020·高考浙江卷)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(  ) A.        B. C.5 D.6 2.(2020·高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c的值為________. 考情分析?——————————————————— 不等式部分在高考中往往是一到兩個填空題,重點(diǎn)考查一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃問題和基本不等式在求最值中的應(yīng)用,

2、解答題一般沒有純不等式的題目,而會穿插在其他知識中進(jìn)行綜合考查. 一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)與工具.在近幾年的高考中,涉及二次不等式的試題占有較大的比例,試題形式活潑且多種多樣,既有填空題,又有解答題,多數(shù)是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何及實(shí)際問題相互交叉和滲透,考查不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法,以及邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的綜合數(shù)學(xué)能力,充分體現(xiàn)了不等式的知識所具有的極強(qiáng)的輻射作用. 考點(diǎn)一 一元二次不等式 解一元二次不等式,換元法和圖解法是常用的技巧之一,方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等

3、式的解法密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來,互相轉(zhuǎn)化.通過換元,可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的不等式,通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合,則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系,對含有參數(shù)的不等式,運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更清晰. (1)已知函數(shù)f(x)=則不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是(  ) A.{x|-1≤x≤-1}   B.{x|x≤1} C.{x|x≤-1} D.{x|--1≤x≤-1} (2)若函數(shù)f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的圖象恒在x軸上方,則a的取值范圍是(  ) A.1≤a≤19 B.1

4、10對一切x∈R恒成立.                                                                                                                                                                                     

5、                                                                                                                     (1)解一元二次不等式通常先將不等式化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,然后求出對應(yīng)方程的根(若有根的話),再寫出不等式的解;(2)解指數(shù)、對數(shù)不等式,可以考慮把不等式的兩邊化成同底數(shù)的冪或同底數(shù)的對數(shù)的形式,然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,把它化為代數(shù)不等式,但要注意對數(shù)不等式的真數(shù)大于零這一隱含條件;(3)求解分段函數(shù)

6、條件下的不等式,應(yīng)按每段定義域?qū)?yīng)下的函數(shù)解析式分別轉(zhuǎn)化為一般不等式求解;(4)求解一元二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題一般是把一元二次不等式看作二次函數(shù),通過二次函數(shù)的圖象判斷函數(shù)圖象在這個區(qū)間上與x軸的相對位置,列出不等式恒成立滿足的條件. 強(qiáng)化訓(xùn)練1 解不等式:(1)≤1;(2)log(x2+2x-3)>log(3x+1). . 考點(diǎn)二 簡單的線性規(guī)劃問題 熟悉二元一次不等式Ax+By+C≥0表示平面區(qū)域的判定方法,會求與平面區(qū)域相關(guān)的整點(diǎn)、面積等問題.掌握線性規(guī)劃問題的解題步驟,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合思想解答. 設(shè)x,y滿足

7、約束條件求z=2x-y的最大值和最小值.                                                                                                                                                                                                                                                                                

8、                          (1)幾何意義法:指根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的特征找到其所代表的幾何意義,結(jié)合圖形求解,它是解決中學(xué)階段線性規(guī)劃問題的一般方法,高考范圍內(nèi)的所有線性規(guī)劃問題都可采用這一方法.常見目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義有截距、向量投影(目標(biāo)函數(shù)是整式)、斜率(目標(biāo)函數(shù)是分式)、距離(目標(biāo)函數(shù)是兩個完全平方式之和)、點(diǎn)線距(目標(biāo)函數(shù)是二元一次因式的絕對值)等. (2)變量替代法:指把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去,得到新的不等式組,畫出此時的平面區(qū)域,觀察左右或上下邊界即可得到目標(biāo)函數(shù)z的值域(最值). (3)解不等式法:指在目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃

9、問題中,把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去,得到z的不等式組,直接放縮求解. (4)界點(diǎn)定值法:指通過總結(jié),若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問題,對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最值的最優(yōu)解都是可行域所對應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn),這時要求目標(biāo)函數(shù)的值域,只要把可行域的幾個頂點(diǎn)代入,找到目標(biāo)函數(shù)幾個取值中最大的和最小的,即目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值. 強(qiáng)化訓(xùn)練2 設(shè)定點(diǎn)A(3,0),動點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足約束條件則||cos∠AOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為________. 考點(diǎn)三 基本不等式及其應(yīng)用 利用基本不等式及變形求最值,掌握基本不等式及變形求函數(shù)的最大值和最小值;能靈活應(yīng)用基本不等式解答函數(shù)和

10、數(shù)列等綜合問題. (2020·高考陜西卷)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a

11、                                                                                                                                                                                     基本不等式是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一,同時也是解決很多函數(shù)最值問題的重要手段,我們常用“一正,二定,三相等”來表明應(yīng)用基本不等式的原則,當(dāng)題目的條件不滿足這一前提,就需要適當(dāng)?shù)摹皽悺迸c“配”.高考中,以填空題形式考查是常見的一種形式

12、,有時也和函數(shù)結(jié)合在一起以解答題的形式考查. 強(qiáng)化訓(xùn)練3 (2020·高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時,+-的最大值為(  ) A.0 B.1 C. D.3 不等式與四類知識的交匯 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識,是分析和解決各種數(shù)學(xué)問題的重要工具,它的思想方法和內(nèi)容幾乎遍布高中數(shù)學(xué)的每一個章節(jié),應(yīng)用十分廣泛,與其他知識的交匯是高考中??汲P碌膯栴},應(yīng)該引起我們的重視,下面分類解析不等式與其他知識點(diǎn)的交匯問題. 一、不等式與集合的交匯 已知全集U=R,集合M={x|x≥1},N={x|≥0},則?U(M

13、∩N)=________. 【解析】 易求得N={x|x≤-1或x>2},而M={x|x≥1},∴M∩N={x|x>2},∴?U(M∩N)={x|x≤2}. 【答案】 {x|x≤2}  本題主要考查分式不等式的解法及集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,不等式的解法及集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是高考??純?nèi)容,要認(rèn)真掌握,并確保得分. 二、不等式與邏輯條件的交匯 (2020·云南師大附中月考改編)已知條件p:x2-3x-4≤0;條件q:x2-6x+9-m2≤0;若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是________. 【解析】 對于p:-1≤x≤4,對于q討論如下,當(dāng)m>0時,q:3-m≤x≤3+m

14、;當(dāng)m<0時,q:3+m≤x≤3-m,若p是q的充分不必要條件,只需要或解得m≤-4或m≥4. 【答案】 (-∞,-4]∪[4,+∞)  對于解含有參數(shù)的二次不等式,一般討論的順序是:(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,這決定此不等式是否為二次不等式;(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時,討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0,這決定所求不等式的不等號的方向;(3)討論判別式是否大于0,當(dāng)判別式大于0時,判斷兩根的大小關(guān)系. 三、不等式與函數(shù)的交匯 函數(shù)f(x)的定義域是R,對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),當(dāng)x>0時,f(x)>0,且不等式f(cos 2θ-3)+f(4m-2m

15、cos θ)>0對所有θ恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解】 令x1=x2=0, 則f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0. 由題意,對于任意實(shí)數(shù)x∈R, f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函數(shù). 對任意實(shí)數(shù)x10, 所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2)>f(x1),則f(x)是增函數(shù). 由題意,得f(cos 2θ-3)>-f(4m-2mcos θ)=f(2mcos θ-4m). 又f(x)是增函數(shù),則原不等式等價于cos 2θ-3>2mco

16、s θ-4m對所有θ恒成立,分離參數(shù),得m>=-[(2-cos θ)+]+4,由于的最大值是4-2. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4-2,+∞).  利用函數(shù)性質(zhì)法求解恒成立問題,主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì),找到參數(shù)滿足的不等式. 四、不等式與數(shù)列的交匯 已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an-1(n≥1). (1)設(shè)bn=an-1(n=1,2,3…),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)設(shè)cn=,求證:數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn<. 【證明】 (1)由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1), ∴{an-1}

17、是以a1-1=2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知an-1=2×2n-1=2n,∴an=2n+1, ∴cn===-, ∴Sn=(-)+(-)+…+(-)=-<.  本題以數(shù)列為載體考查了不等式的證明,解題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和方法等數(shù)列知識. _體驗(yàn)真題·把脈考向_ 1.【解析】選C.∵x>0,y>0,由x+3y=5xy得=1.∴3x+4y=(3x+4y)==+≥+×2=5(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號),∴3x+4y的最小值為5. 2.【解析】由題意知f(x)=x2+ax+b=+b-. ∵f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),∴b-=0,即

18、b=. ∴f(x)=. 又∵f(x)<c,∴<c, 即--<x<-+. ∴ ②-①,得2=6,∴c=9. 【答案】9 _典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】(1)當(dāng)x+1<0,即x<-1時, f(x+1)=-(x+1)+1=-x. ∴原不等式可化為x+(x+1)(-x)≤1.① 由①得-x2≤1,x∈R,此時不等式的解集為{x|x<-1}. 當(dāng)x+1≥0,即x≥-1時,f(x+1)=x+1-1=x, ∴原不等式可化為x+(x+1)x≤1.② 解②得--1≤x≤-1, 此時不等式的解集為{x|-1≤x≤-1}. 綜上可知,原不等式的解集為{x|x<-1}∪{x|

19、-1≤x≤-1}={x|x≤-1}. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象恒在x軸上方, 所以不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3>0對一切x∈R恒成立. ①當(dāng)a2+4a-5=0時,有a=-5或a=1. 若a=-5,不等式可化為24x+3>0,不滿足題意; 若a=1,不等式可化為3>0,滿足題意. ②當(dāng)a2+4a-5≠0時,應(yīng)有 解得14. 故原不等式的解集為{x|x

20、≤-1,或x>4}. (2)原不等式可轉(zhuǎn)化為 不等式的解集為 【例2】【解】法一:(截距法)先作出可行域,如圖(1)中的△ABC及其內(nèi)部(陰影部分),且求得A(5,2),B(1,1),C(1,),作出直線L0:2x-y=0,再將直線L0平移.當(dāng)L0的平行線過C點(diǎn)時,可使z=2x-y達(dá)到最小值;當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時,可使z=2x-y達(dá)到最大值.所以zmin=-,zmax=8. 圖(1) 法二:(變量替代法)將y=2x-z代入原約束條件,可得把z看作縱軸,畫出此不等式組表示的平面區(qū)域,如圖(2)所示(陰影部分),可知最高點(diǎn)P(5,8),最低點(diǎn)Q(1,-),所以zmin=-,zmax

21、=8. 圖(2) 法三:(解不等式法)由解法二,可知 可變?yōu)? 所以解得-≤z≤8. 故z的最大值為8,z的最小值為-. 法四:(界點(diǎn)定值法)先作出可行域,如圖(1)中的△ABC及其內(nèi)部(陰影部分),可求得A(5,2),B(1,1),C(1,).把△ABC的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)中求出z值分別為8,1,-,比較大小,可知z的最大值為8,z的最小值為-. [強(qiáng)化訓(xùn)練2] 【解析】||·cos∠AOP=·==x. 作出動點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示,由圖形,可知當(dāng)點(diǎn)P是直線x+y=6與y=2的交點(diǎn)時,x取最大值. 聯(lián)立方程得P(4,2). 所以x的最大值為4,即||cos∠AOP的最大值為4. 【答案】4 【例3】【解析】設(shè)甲乙兩地相距s,則小王用時為+,∴v==,∵0=a. ∴<,∴a0,y>0,z>0), ∴==≤=1. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時等號成立,此時z=x2-3xy+4y2=4y2-6y2+4y2=2y2,∴+-=+-=-+=-(-1)2+1,∴當(dāng)y=1時,+-的最大值為1.

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