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1、2020年新課標數學40個考點總動員 考點16 平面向量的數量積(學生版)
【高考再現】
熱點一 平面向量的數量積
1.(2020年高考天津卷理科7)已知△ABC為等邊三角形,,設點P,Q滿足,,,若,則( )
(A) ?。ǎ拢 。ǎ茫 。ǎ模?
2. (2020年高考湖南卷理科7)在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1則BC=( )
A. B. C. D.
3.(2020年高考陜西卷文科7)設向量=(1.)與=(-1, 2)垂直,則等于 ( )
A B
2、 C .0 D.-1
【答案】C
【解析】正確的是C.
4.(2020年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則的值為________,的最大值為______.
5. (2020年高考浙江卷文科15)在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則=________.
6.(2020年高考江蘇卷9)如圖,在矩形ABCD中,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若,則的值是 .
7.(2020年高考浙江卷理科15)在ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則=______________.
3、
8.(2020年高考上海卷理科12)在平行四邊形中,,邊、的長分別為2、1,若、分別是邊、上的點,且滿足,則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】以向量所在直線為軸,以向量所在直線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,因為,所以 設根據題意,有.
所以,所以
9. (2020年高考湖南卷文科15)如圖4,在平行四邊形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足為P,且= .
【方法總結】
1.當向量表示平面圖形中的一些有向線段時,要根據向量加減法運算的幾何法則進行轉化,把題目中未知的向量用已知的向量表示出來,在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本
4、定理、以及解三角形等知識.
2.求向量的數量積的公式有兩個:一是定義式=;二是坐標式.定義式的特點是具有強烈的幾何含義,需要明確兩個向量的模及夾角,夾角的求解方法靈活多樣,一般通過具體的圖形可確定,因此采用數形結合思想是利用定義法求數量積的一個重要途徑.坐標式的特點具有明顯的代數特征,解題時需要引入直角坐標系,明確向量的坐標進行求解.即向量問題“坐標化”,使得問題操作起來容易、方便.
熱點二 平面向量的模
1.(2020年高考重慶卷理科6)設R,向量,且,則 ( )
(A) (B) (C) (D)10
2.(2020年高考
5、安徽卷理科14)若平面向量滿足:;則的最小值
3.(2020年高考新課標全國卷理科13)已知向量夾角為 ,且;則
【答案】
【解析】
【方法總結】
高考對平面向量的模的考查,常以小題形式出現,屬中檔題,常考查類型:①把向量放在適當的坐標系中,給有關向量賦予具體坐標求向量的模,如向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|=即可求解.②不把向量放在坐標系中研究,求解此類問題的通常做法是利用向量運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式,關鍵是會把向量a的模進行如下轉化:|a|=.
熱點三 平面向量的夾角
1.(2020年高考廣東卷文科10) 對任意兩個非零的平面向量和,定
6、義.
若兩個非零的平面向量,滿足與的夾角,且和都在集合中,則
A. B. C. 1 D.
2. (2020年高考湖北卷文科13)已知向量=(1,0),=(1,1),則
(Ⅰ)與同向的單位向量的坐標表示為____________;
(Ⅱ)向量與向量夾角的余弦值為____________。
【方法總結】
高考對平面向量夾角的考查,常以小題形式出現,屬中檔題.有時也在大題中出現,屬中檔題.兩向量夾角公式其實是平面向量數量積公式的變形和應用、有關兩向量夾角問題的考查,常見類型:①依條件等式,運算求夾角,此類問題求解過
7、程中應關注夾角取值范圍;②依已知圖形求兩向量夾角,此類題求解過程應抓住“兩向量共起點”,便可避開陷阱,順利求解.
【考點剖析】
一.明確要求
1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.
2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系.
3.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.
4.能運用數量積表示兩個向量的夾角,
二.命題方向
三.規(guī)律總結
一個條件
兩個向量垂直的充要條件:a⊥b?x1x2+y1y2=0.
兩個探究
(1)若a·b>0,能否說明a和b的夾角為銳角?
(2)若a·b<0,能否說明a和b的夾角為鈍角?
三個防范
(1)若a,b,c是實數,則
8、ab=ac?b=c(a≠0);但對于向量就沒有這樣的性質,即若向量a,b,c若滿足a·b=a·c(a≠0),則不一定有b=c,即等式兩邊不能同時約去一個向量,但可以同時乘以一個向量.
(2)數量積運算不適合結合律,即(a·b)c≠a(b·c),這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量,a(b·c)表示一個與a共線的向量,而a與c不一定共線,因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等.
(3)向量夾角的概念要領會,比如正三角形ABC中,與的夾角應為120°,而不是60°.
【基礎練習】
2.(經典習題)已知|a|=4,|b|=3,a與b的夾角為120°,則b在a方向上的投影為
9、 ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
4. (經典習題)在△ABC中,M是BC的中點,||=1,=2,則·(+)=________.
5.已知向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為________.
【名校模擬】
一.基礎扎實
1.(北京市東城區(qū)2020學年度第二學期高三綜合練習(二)理)若向量,滿足,,且,則與的夾角為( )
(A) (B) (C)
10、 (D)
2.(2020年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試理)的半徑為3,直徑上一點使,為另一直徑的兩個端點,則
A. B. C. D.
4.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020屆高三高考適應性考試(3月)文)在邊長為6的正中,點滿足則等于( )
5.(2020云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復習文)已知,,則向量在向量方向上的投影等于
(A) (B) (C) (D)
6.(湖北黃岡2020高三五月模擬考試文)已知向量,,,則( )
A.20
11、B. 40 C. D.
7.(東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(二) (文))
已知向量,的夾角為,,,則 .
8.(北京2020學年度第二學期高三綜合練習(二)文)若向量,向量,
則= ,與的夾角為 .
二.能力拔高
10.(唐山市2020學年度高三年級第一次模擬考試文) 在中,,則
(A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4
12.(2020理科數學試卷)△ABC外接圓的半徑為,圓心為,且,,則的值是
(A) 3 (B) 2 (C)
12、 1 (D) 0
13. (湖北武漢2020畢業(yè)生五月供題訓練(三)文)函數y=的部分圖象如圖所示,則(=
A.-4 B.4 C.-2 D.2
14. (湖北八校文2020屆高三第二次聯考)已知⊙及點A(1,3),BC為的
任意一條直徑,則=( )
A.6 B.5 C.4 D.不確定
三.提升自我
16.【2020學年浙江省第二次五校聯考理】設,若,則的最大值為
(A) (B)2 (C) (D) 3
18.(河北省唐山市2020學年度高三年級第二次模擬考試文)在△ABC中,
(則角A的最大值為 。
【原創(chuàng)預測】
1.設若是直角三角形,則k可取值的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若有不同的三點滿足則這三點 ( )
A.組成銳角三角形 B.組成直角三角形 C.組成鈍角三角形 D.在同一條直線上