《2020年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)34 離散型隨機(jī)變量的均值與方差（理）（教師版） 新課標(biāo)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)34 離散型隨機(jī)變量的均值與方差（理）（教師版） 新課標(biāo)（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年新課標(biāo)數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)34 離散型隨機(jī)變量的均值與方差（理）（教師版） 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一、頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用 1．（2020年高考（遼寧理））電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖; 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別 有關(guān)? (Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽 樣方法每次抽取

2、1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望和方差. 附: 【解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下: 由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得: 因?yàn)?.030<3.841,所以,沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 2．（2020年高考（廣東理））(概率

3、統(tǒng)計(jì))某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:、、、、、. (Ⅰ)求圖中的值; (Ⅱ)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望. 3．（2020年高考（安徽理））甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則 （　?。? A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù) B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù) C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差 D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差 【解析】選 甲的成績(jī)的方差為,乙的成績(jī)的方差為

4、 【方法總結(jié)】 頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布，從這個(gè)直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)組的頻率分布．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本(或者總體)的平均值時(shí)，一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法． 熱點(diǎn)二、莖葉圖的應(yīng)用 1．（2020年高考（陜西理））從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī),對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示),設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,中位數(shù)分別為,,則 （　?。? A． , B．, C．, D．, 熱點(diǎn)三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差 1．（2020年高考（上海理））設(shè),. 隨機(jī)變量取值、、、、的概率均為0.2,隨機(jī)

5、變量取值、、、、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差,則 （　?。? A．>. B．=. C．<. D．與的大小關(guān)系與、、、的取值有關(guān). [解析] 2．（2012年高考（天津理））現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲. (Ⅰ)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率: (Ⅱ)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率: (Ⅲ)用分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)

6、期望. (1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率為. (2)設(shè)“這4人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”不事件,則,由于與互斥,故 所以這4人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. 3．（2020年高考（浙江理））已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球的2分,取出一個(gè)黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X). 【解析】 4．（2020年高考（重慶理））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問(wèn)5分,(Ⅱ)小問(wèn)8分.)

7、甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響. (Ⅰ) 求甲獲勝的概率; (Ⅱ) 求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望 綜上知,有分布列 1 2 3 從而,(次) 5．（2020年高考（四川理））某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和. (Ⅰ)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值; (Ⅱ)設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的概

8、率分布列及數(shù)學(xué)期望. [解析](1)設(shè):“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,那么 1-P(C)=1-P= ,解得P=4 分 所以,隨機(jī)變量的概率分布列為: 0 1 2 3 P 故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為: E=0 . 6．（2020年高考（陜西理））某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立,且都是整數(shù)分鐘,對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下: 從第一個(gè)顧客開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí). (1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)的概率; (2)表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),

9、求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】:設(shè)表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間,用頻率估計(jì)概率,得的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)”,則事件A對(duì)應(yīng)三種情形: ①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘,且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘;②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘,且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘;③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘. 所以 7．（2020年高考（山東理））先在甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中

10、得1分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】:(Ⅰ); (Ⅱ) , X 0 1 2 3 4 5 P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 8．（2020年高考（江西理））如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1), C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),

11、將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”,記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),此時(shí)“立體”的體積V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】 (1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)地選取3個(gè)點(diǎn)共有種選法,選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O在同一個(gè)平面上的選法有種,因此V=0的概率 (2)V的所有可能值為,因此V的分布列為 V 0 P 由V的分布列可得: EV= 9．（2020年高考（江蘇））設(shè)為隨機(jī)變量,從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時(shí),;當(dāng)兩條棱平行時(shí),的值為兩條棱之

12、間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí),. (1)求概率; (2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望. 10．（2020年高考（湖南理））某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) 30 25 10 結(jié)算時(shí)間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%. (Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (Ⅱ)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰

13、有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2 鐘的概率. (注:將頻率視為概率) 【解析】(1)由已知,得所以 該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所以收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得 的分布為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 . 11．（2020年高考（湖北理））根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表: 降水量X 工期延誤天數(shù) 0 2 6 10 歷年

14、氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9. 求: (Ⅰ)工期延誤天數(shù)的均值與方差; (Ⅱ)在降水量X至少是的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率. 所以的分布列為: 0 2 6 10 0.3 0.4 0.2 0.1 12．（2020年高考（大綱理））(注意:在試題卷上作答無(wú)效) 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球

15、2次后,對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為,各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立,.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球. (1)求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1比2的概率; (2)表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分,求的期望. (Ⅱ)由題意. ; 13．（2020年高考（安徽理））某單位招聘面試,每次從試題庫(kù)隨機(jī)調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫(kù)中現(xiàn)共有道 試題,其中有道類型

16、試題和道類型試題,以表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫(kù)中類試題的數(shù)量. (Ⅰ)求的概率; (Ⅱ)設(shè),求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望). 【方法總結(jié)】 正確求出分布列是求均值和方差的前提，有時(shí)善于使用公式，可簡(jiǎn)化計(jì)算。 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性． 2.了解兩點(diǎn)分布和超幾何分布的意義，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 三．規(guī)律總結(jié) 基礎(chǔ)梳理 1．頻率分布直方圖 (1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征． (2)作頻率分布

17、直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)． ②決定組距與組數(shù)． ③將數(shù)據(jù)分組． ④列頻率分布表． ⑤畫(huà)頻率分布直方圖． (3)在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示．各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1. 4．樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè)樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為， (1)樣本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ . 兩個(gè)異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量． ②由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本

18、數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題． ④某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)可能沒(méi)有影響．中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. (教材習(xí)題改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 則p為 (　　)

19、 A.　　 B. C. D. 【解析】：由＋＋＋p＝1，∴p＝. 【答案】B 2．（經(jīng)典習(xí)題）拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示 的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是 (　　) A．2顆都是4點(diǎn) B．1顆是1點(diǎn)，另一顆是3點(diǎn) C．2顆都是2點(diǎn) D．1顆是1點(diǎn)，另1顆是3點(diǎn)，或者2顆都是2點(diǎn) 【解析】：X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是1顆1點(diǎn)，另1顆3點(diǎn)或者兩顆都是2點(diǎn)． 【答案】： D 4．（經(jīng)典習(xí)題）設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________. 【解析】：×3＝0.3，∴n＝10. 【答案】：10 6. (人

20、教A版教材習(xí)題改編)某工廠生產(chǎn)滾珠，從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8粒，量得直徑分別為(單位：mm)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，則估計(jì)該廠生產(chǎn)的滾珠直徑的平均數(shù)為(　　)． A．14.8 mm B．14.9 mm C．15.0 mm D．15.1 mm 7．(人教A版教材習(xí)題改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是(　　)． A．14 B．16 C．15 D．17

21、 【解析】　將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為＝15. 【答案】　C 8． （經(jīng)典習(xí)題）某雷達(dá)測(cè)速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)對(duì)200輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有(　　)． A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1. (北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)右圖是，兩組各名同學(xué)體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖．設(shè)，

22、兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標(biāo)準(zhǔn)差依次為和，那么（ ） （注：標(biāo)準(zhǔn)差，其中為的平均數(shù)） （A），（B）， （C），（D）， 2. (山西省2020年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)。教師把一張寫(xiě)有成語(yǔ)的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué)。若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X（單位：分）的數(shù)學(xué)期望為（ ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 3. (浙江

23、省2020屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期高考仿真試題理)甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地解一道題，甲做對(duì)的概率是，三人都做對(duì)的概率是，三人全做錯(cuò)的概率是，已知乙做對(duì)這道題的概率大于丙做對(duì)這道題的概率。設(shè)三人中做對(duì)這道題的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ． 【解析】由題：，所以． 的可能取值有0、1、2、3． ，，，． ． 【答案】 4. （寧波四中2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試?yán)恚┮阎畴S機(jī)變量的概率分布列如右表，其中，隨機(jī)變量的方差， 5．(北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)（本小題滿分13分） 甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試．在備選的道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都

24、是，乙能答對(duì)其中的道題．規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機(jī)抽出道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減分，至少得分才能入選． （Ⅰ）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率． （Ⅱ）由已知甲、乙至少答對(duì)題才能入選，記甲入選為事件，乙入選為事件. 則 ， ． 故甲乙兩人至少有一人入選的概率． 6．(河北唐山市2020屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 金融機(jī)構(gòu)對(duì)本市內(nèi)隨機(jī)抽取的20家微小企業(yè)的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整及生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)

25、情況進(jìn)行評(píng)估，根據(jù)得分將企業(yè)評(píng)定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí)，金融機(jī)構(gòu)將根據(jù)等級(jí)對(duì)企業(yè)提供相應(yīng)額度的資金支持。 （1）在答題卡上作出頻率分布直方圖，并由此估計(jì)該市微小企業(yè)所獲資金支持的均值； （2）從上述20家企業(yè)中隨機(jī)抽抽取2家，設(shè)這2家企業(yè)獲得資金支持的總額為X千萬(wàn)元， 求X 的分布列和均值E（X）。 【解析】： （Ⅰ）頻率分布直方圖如下： 0.04 0.03

26、 0.02 0.01 0 50 60 70 80 90 得分 估計(jì)企業(yè)所獲資金支持的均值為 ＝0×＋1×＋3×＋6×＝2.2（千萬(wàn)元）． …4分 （Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，4，6，7，9，12． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝

27、4)＝＝，P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝． …8分 X的分布列為 X 0 1 2[ 3 4 6 7 9 12 P 10分 E(X)＝(0＋12)×＋(1＋6＋7)×＋2×＋(3＋9)×＋4× ＝4.4（千萬(wàn)元）． 7．(2020年河南豫東、豫北十所名校階段性測(cè)試(三）理) (本小題滿分12分） 某幼兒園為訓(xùn)練孩子的數(shù)字運(yùn)算能力，在一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的卡片各2張，讓孩子從盒子里任取3張卡片，按卡片上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每張卡片被取出

28、的可能性都相等，用X表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字. (I)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率； (II)求隨機(jī)變量x的分布列及數(shù)學(xué)期望； (III)若孩子取出的卡片的計(jì)分超過(guò)30分，就得到獎(jiǎng)勵(lì)，求孩子得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率. ∴隨機(jī)變量的分布列為： X 2 3 4 5 P 從而.……………………………（8分） （Ⅲ）從盒子里任取3張卡片，按卡片上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，所以要計(jì)分超過(guò)30分，隨機(jī)變量的取值應(yīng)為4或5，…………………………………（10分） 故所求概率為.……………………（12分） 8．（湖北鐘祥一中2020高三五月適應(yīng)性考試?yán)恚ū拘☆}滿分

29、12分） 盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球 （Ⅰ）求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率； （Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率； （Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 9． (襄陽(yáng)五中高三年級(jí)第一次適應(yīng)性考試?yán)?（本題滿分12分) 某科技公司遇到一個(gè)技術(shù)難題，成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自單獨(dú)進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定對(duì)攻關(guān)期滿就攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)，已知此技術(shù)難題在攻關(guān)期滿時(shí)被甲小組攻克的概率為，被乙小組攻

30、克的概率為， （Ⅰ）設(shè)ξ為“攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)”，求ξ的分布列及Eξ； （Ⅱ）設(shè)η為“攻關(guān)期滿時(shí)的獲獎(jiǎng)小組數(shù)與沒(méi)有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)差的平方”，記“函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”為事件C，求事件C的概率。 10．(湖北省武漢市2020屆高中畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（二）理)（本小題滿分12分） 甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得O分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p（p>），且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 （I） 求p的值. （Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E.

31、二．能力拔高 1. 【2020學(xué)年浙江省第二次五校聯(lián)考理】甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用5局3勝制（即先勝3局者獲勝）．若甲、乙兩隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場(chǎng)次為，則＝ ． 【解析】可以取的值有3、4、5． ； ； ． ． 【答案】 2. （2020理科數(shù)學(xué)試卷） 盒中裝有個(gè)零件，其中個(gè)是使用過(guò)的，另外個(gè)未經(jīng)使用. 從盒中隨機(jī)抽取個(gè)零件，使用后放回盒中，記此時(shí)盒中使用過(guò)的零件個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望 E(X)= ________． 3. (北京市朝陽(yáng)區(qū)2020屆高三年級(jí)第二次綜合練習(xí)理)（本小題滿分13分） 一個(gè)袋子中裝有大小

32、形狀完全相同的編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球與編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)白球，從中任意取出3個(gè)球． （Ⅰ）求取出的3個(gè)球顏色相同且編號(hào)是三個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率； （Ⅱ）求取出的3個(gè)球中恰有2個(gè)球編號(hào)相同的概率； （Ⅲ）記X為取出的3個(gè)球中編號(hào)的最大值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． （Ⅲ）X的取值為2,3,4,5. ， ， ， . ……11分 所以X的分布列為 X 2 3 4 5 P X的數(shù)學(xué)期望. ……13分. 4. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)（二）理) （本小題滿分13分）

33、 某中學(xué)選派40名同學(xué)參加北京市高中生技術(shù)設(shè)計(jì)創(chuàng)意大賽的培訓(xùn)，他們參加培訓(xùn)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表所示： 培訓(xùn)次數(shù) 1 2 3 參加人數(shù) 5 15 20 （1）從這40人中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率； （2）從40人中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望. 5．(2020年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試?yán)? (本小題滿分12分） 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個(gè)居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)?用水量不超過(guò)a的部分按

34、照平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)a的部分按照議價(jià)收費(fèi)）.為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)抽樣獲得了 100位居民某年的月均用水量(單位:t)，制作了頻率分布直方圖 (I)由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，請(qǐng)?jiān)趫D中將其補(bǔ)充完整； (II)用樣本估計(jì)總體，如果希望80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)&則月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸，并說(shuō)明理由； (III)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機(jī)調(diào)查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽樣），其中月均用水量不超過(guò)（II)中最低標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)為x，求x的分布列和均值. 分布列為 0 1 2 3 …………

35、………………………………………………………………………………10分 ………………………………………………………………12分 6．(河北省唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬考試?yán)?（本小題滿分12分） 某籃球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在本賽零已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下： （I）比較這兩名隊(duì)員在比賽中得分的均值和方差的大??； （II）以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名隊(duì)員得分超過(guò)15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名隊(duì)員在同一場(chǎng)比賽中得分多少互不影響，預(yù)測(cè)在本賽季剩余的2場(chǎng)比賽中甲、乙兩名隊(duì)員得分均超過(guò)15分次數(shù)X的分布列和均值． 7．(中原六校聯(lián)誼2020

36、年高三第一次聯(lián)考理)（本小題滿分12分） 某高校在2020年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分五組，得到頻率分布表如下表所示。 （1）請(qǐng)求出①②位置相應(yīng)的數(shù)字，填在答題卡相應(yīng)位置上，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （2）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進(jìn)入第二輪的面試；假定考生“XXX”筆試成績(jī)?yōu)?78分，但不幸沒(méi)入選這100人中，那這樣的篩選方法對(duì)該生而言公平嗎？為什么？ （3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在12人中隨機(jī)抽取3人接受“王教授”的面試，設(shè)

37、第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解析】 （2）第組共名學(xué)生，現(xiàn)抽取人，因此第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人. ……7分 公平：因?yàn)閺乃械膮⒓幼灾骺荚嚨目忌须S機(jī)抽取人，每個(gè)人被抽到的概率是相同的. ………………8分（只寫(xiě)“公平”二字，不寫(xiě)理由，不給分） （3）的可能取值為 的分布列為： ……11分 ……12分 8．(湖北省武漢市2020屆高三下學(xué)期4月調(diào)研測(cè)試?yán)?

38、（本小題滿分12分） 為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示． （Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 三．提升自我 1. （2020年高三教學(xué)測(cè)試（二）理)甲、乙兩人進(jìn)行“石頭

39、、剪子、布”游戲．開(kāi)始時(shí)每人擁有3張卡片，每一次“出手”（雙方同時(shí)）：若分出勝負(fù)，則負(fù)者給對(duì)方一張卡片；若不分勝負(fù)，則不動(dòng)卡片．規(guī)定：當(dāng)一人擁有6張卡片或“出手”次數(shù)達(dá)到6次時(shí)游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)“出手”次數(shù)為，則 ▲ ． 2. （臺(tái)州2020高三調(diào)研試卷理） 【解析】設(shè)2對(duì)孿生兄弟分別為A1、A2、B1、B2， 的可能取值有0，1，2． ，， ， 【答案】 3. (北京市東城區(qū)2020學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)（本小題共13分） 某公園設(shè)有自行車租車點(diǎn)， 租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.甲、乙兩人各租一輛自行車，

40、若甲、乙不超過(guò)一小時(shí)還車的概率分別為；一小時(shí)以上且不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)三小時(shí). （Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率； （Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 4．(2020年長(zhǎng)春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測(cè)試?yán)?（本小題滿分12分） 對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 5 0.25 12 1

41、0.05 合計(jì) M 1 ⑴求出表中、及圖中的值； ⑵若該校高一學(xué)生有360人，試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)； ⑶學(xué)校決定對(duì)參加社區(qū)服務(wù)的學(xué)生進(jìn)行表彰，對(duì)參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價(jià)值80元的學(xué)習(xí)用品，對(duì)參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價(jià)值60元的學(xué)習(xí)用品，對(duì)參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價(jià)值40元的學(xué)習(xí)用品，對(duì)參加活動(dòng)次數(shù)在區(qū)間的學(xué)生發(fā)放價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設(shè)為此二人所獲得用品價(jià)值之差的絕對(duì)值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 所以的分布列為： 0 20 40 60

42、 (10分) (12分) 5．(2020洛陽(yáng)示范高中聯(lián)考高三理)（本小題滿分12分） 某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級(jí)開(kāi)始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表： 根據(jù)上表： （1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率； （2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講

43、座滿座的科目數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。 所以隨機(jī)變量的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 ………………………10分 故………………………12分. 6．（山東省濟(jì)南市2020屆高三3月（二模）月考理）（本小題滿分12分） 一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜.請(qǐng)求出該考生： （1

44、） 得60分的概率； （2） 所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 7．（長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)2020屆第三次模擬理）(本小題12分) “剪刀、石頭、布”游戲的規(guī)則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在話音剛落時(shí)同時(shí)出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開(kāi)代表“布”．“石頭”勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，如果所出的拳相同，則為和局．現(xiàn)甲乙二人通過(guò)“剪刀、石頭、布”游戲進(jìn)行比賽． (Ⅰ) 設(shè)甲乙二人每局都隨機(jī)出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個(gè)，求甲勝乙的概率； （Ⅱ）據(jù)專家分析，乙有以下的出拳習(xí)慣：① 第一局不出

45、“剪刀”；② 連續(xù)兩局的出拳方法一定不一樣，即如果本局出“剪刀”，則下局將不再出“剪刀”，而是選“石頭”、“布”中的某一個(gè)．假設(shè)專家的分析是正確的，甲根據(jù)專家的分析出拳，保證每一局都不輸給乙．在最多５局的比賽中，誰(shuí)勝的局?jǐn)?shù)多，誰(shuí)獲勝．游戲結(jié)束的條件是：一方勝３局或賽滿５局，用Ｘ表示游戲結(jié)束時(shí)的游戲局?jǐn)?shù)，求Ｘ的分布列和期望． 8．（成都市2020屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測(cè)理）(本小題滿分12分） “天宮一號(hào)”的順利升空標(biāo)志著我國(guó)火箭運(yùn)載的技術(shù)日趨完善.據(jù)悉，擔(dān)任“天宮一號(hào)”發(fā)射任務(wù)的是長(zhǎng)征二號(hào)FT1火箭.為了確保發(fā)射萬(wàn)無(wú)一失,科學(xué)家對(duì)長(zhǎng)征二號(hào)FT1運(yùn)載火箭進(jìn)行了170余項(xiàng)技術(shù)狀態(tài)更改，增加

46、了某項(xiàng)新技術(shù).該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過(guò)量化檢測(cè).假設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過(guò)檢測(cè)合格的概率分別為，指標(biāo)甲、乙、丙檢測(cè)合格分別記4分、2分、4分,若某項(xiàng)指標(biāo)不合格,則該項(xiàng)指標(biāo)記0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響. (I)求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率； (II )記該項(xiàng)技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】 1.如圖是湖北省教育廳實(shí)施“課內(nèi)比教學(xué)，課外訪萬(wàn)家”活動(dòng)中，七位評(píng)委為某位參加教學(xué)比武的數(shù)學(xué)教師打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_________;方差為_(kāi)_________ 2.盒子內(nèi)裝有張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)字，，，，，每張卡片被取到的概率相等. 先從盒子中任取張卡片，記下它上面的數(shù)字，然后放回盒子內(nèi)攪勻，再?gòu)暮凶又腥稳埧ㄆ?，記下它上面的?shù)字. 設(shè)，. （I）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）設(shè)“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件，求的概率.