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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元能力測(cè)試卷8

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1、第八章 單元能力測(cè)試卷 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.) 1.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sinα+cosα=0,則a,b滿足(  ) A.a(chǎn)+b=1        B.a(chǎn)-b=1 C.a(chǎn)+b=0 D.a(chǎn)-b=0 答案 D 2.若直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后與圓x2+y2=5相切,則c的值為(  ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8 答案 A 解析 直線2x-y+c=0按a=(1,-1)平移后得到2x-y+c-3=0,此直線與圓x2+y2=5相切, ∴

2、r==,∴|c-3|=5, ∴c-3=±5 ∴c=8或c=-2. 3.點(diǎn)P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25內(nèi)弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程是(  ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 答案 A 解析 圓心C(1,0),則直線AB是過P且與CP垂直的直線,因此直線AB的方程為x-y-3=0. 4.設(shè)直線l:2x+y-1=0,將l繞其上一點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得一新直線l′,如圖,則直線l′的傾斜角為(  ) A.a(chǎn)rctan3 B.π-arctan3 C.a(chǎn)rctan D.π-arctan

3、 答案 A 解析 設(shè)l的傾斜角為α,則tanα=-2, tan(α+)===3. ∴直線l′的傾斜角為arctan3. 5.經(jīng)過A(2,-1)和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上的圓的方程是(  ) A.(x-1)2+(y+2)2=2 B.(x+1)2+(y-2)2=2 C.(x-1)2+(y+2)2= D.(x+1)2+(y-2)2=4 答案 A 解析 注意到A點(diǎn)在直線x+y=1上,從而圓心是直線y=-2x與直線x+y=1在A處的垂線y+1=x-2的交點(diǎn),解得圓心為(1,-2).再求得半徑為,故選A. 6.若P(2,-1)為圓(0≤θ≤2π)的某弦的中點(diǎn),則

4、該弦所在直線的方程是(  ) A.x-y-3=0 B.x+2y=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 答案 A 解析 圓的圓心坐標(biāo)為(1,0),于是弦所在直線的斜率為1. 7.已知點(diǎn)B(,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)且點(diǎn)A在圓(x-)2+(y-)2=1上,則與的夾角θ的最大值與最小值分別是(  ) A.,0 B., C., D., 答案 C 解析 如右圖所示,過原點(diǎn)O作圓C的兩條切線OA1、OA2,由OC=2=2CA1且CA1⊥OA1,得∠A1OC=∠A2OC=30°.又∠BOC=45°,∴∠A1OB=45°-

5、30°=15°,∠A2OB=45°+30°=75°. 故向量與的夾角θ的最大值為,最小值為. 8.設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為m,公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)的和,對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)(  ) A.在直線mx+qy-q=0上 B.在直線qx-my+m=0上 C.在直線qx+my-q=0上 D.不一定在一條直線上 答案 B 解析 ∵==1+qn=1+,即q·an-m·+m=0, ∴點(diǎn)在直線qx-my+m=0上. 9.已知點(diǎn)M(a,b)在由不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi),則點(diǎn)N(a+b,a-b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為(  ) A.2 B.2 C.4

6、 D.8 答案 B 解析 的最大值為2,|ON|=的最大值為2,選B. 10.函數(shù)y=f(x)的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓在Ⅰ、Ⅲ象限內(nèi)的兩段圓弧,如圖,則不等式f(x)

7、點(diǎn),則|+|=2||,|-|=||,即2||=||,當(dāng)直線x+y=a過(2,0),(0,2)時(shí)或過(0,-2),(-2,0)時(shí)恰好有2||=||成立,即|+|=|-|成立.此時(shí),實(shí)數(shù)a=2或a=-2. 12.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是(  ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 答案 A 解析 ∵圓心到直線的距離為5,∴只有4

8、 13.過點(diǎn)P(1,2)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________. 答案 x+y-3=0或2x-y=0 解析 由題意可知直線的斜率必存在,當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí),可得該直線2x-y=0;當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距相等且都為a(a≠0)時(shí), 令+=1.∵該直線過點(diǎn)P(1,2), ∴+=1,故a=3.∴該直線方程為x+y-3=0. 14.已知a=(6,2),b=(-4,),直線l過點(diǎn)A(3,-1),且與向量a+2b垂直,則直線l的一般方程是______________. 答案 2x-3y-9=0 解析 由已知可得a+2b=(-2,3),則直線l的斜率為,則直線l的方程為2

9、x-3y-9=0. 15.在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,3)的距離為,且與點(diǎn)B(3,1)的距離為3的直線共有________條. 答案 1 16.已知直線xsinα+ycosα+1=0(α∈R),給出以下四個(gè)命題: ①直線的傾斜角為α; ②不論α為何值,直線不過原點(diǎn); ③不論α如何變化,直線總和定圓相切; ④當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí),它和坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1. 其中正確命題的序號(hào)是________. 答案 ②③ 解析 ∵α∈R,直線的傾斜角范圍為[0,π),∴①錯(cuò); ∵O(0,0)不適合xsinα+ycosα+1=0,∴②對(duì); ∵O(0,0)到直線xsinα+yco

10、sα+1=0的距離 d==1, ∴該直線和單位圓x2+y2=1相切,∴③對(duì); ∵直線xsinα+ycosα+1=0和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=·||·||=||≥1,∴④錯(cuò). 三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)已知點(diǎn)P(2,-1),求: (1)過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線方程; (2)過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線方程,最大距離是多少? (3)是否存在過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為6的直線?若存在,求出方程;若不存在,說明理由. 思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式. 解析 過P點(diǎn)斜率為k的直線方程可設(shè)為y+1=k(x

11、-2)即kx-y-2k-1=0 (1)原點(diǎn)到直線的距離為2,故 =2,解之得k=. 直線方程為3x-4y-10=0. 又直線x=2距離原點(diǎn)也為2,且過點(diǎn)(2,-1),所以直線方程為3x-4y-10=0或x=2. (2)原點(diǎn)到直線的距離d=,整理得(d2-4)k2-4k+d2-1=0. ①若d2-4=0,則k=; ②若d2-4≠0,由Δ=16-4(d2-4)(d2-1)≥0,得0≤d≤,所以d的最大值為,此時(shí)k=2,直線方程為2x-y-5=0. (3)因?yàn)樵c(diǎn)到直線x=2的距離為2,又由(2)知0≤d≤,故過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為6的直線不存在. 18.(本小題滿分12分)已知直線

12、l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圓C:(x-1)2+(y-2)2=25. (1)求證:直線l與圓C總相交; (2)求出相交的弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的m值. 分析 (1)證直線與圓相交有三法:一、圓心到直線的距離小于圓半徑;二、直線與圓的方程組有兩解;三、直線總過圓內(nèi)的點(diǎn).比較三法,選擇計(jì)算量小的. (2)圓是確定的,弦長(zhǎng)最小,則弦心距最大,可計(jì)算,可借已知幾何知識(shí). 解析 (1)將l的方程變形為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0, 解方程組得即直線l過定點(diǎn)(3,1).∵(3-1)2+(1-2)2<25, ∴點(diǎn)(3,1)在圓C內(nèi),于是直線l與圓C總相交. (2)當(dāng)圓心

13、(1,2)和定點(diǎn)(3,1)的連線l1與l垂直時(shí),弦長(zhǎng)最短. ∵kl1=-,kl=-,∴-=2 ∴m=-.此時(shí)最短的弦長(zhǎng)為2=4. 19.(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為圓心的圓與直線x-y=4相切. (1)求圓O的方程; (2)圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足PA,PO,PB成等比數(shù)列,求·的取值范圍. 解析 (1)依題設(shè),圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-y=4的距離,即r==2.得圓O的方程為x2+y2=4. (2)不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1

14、|PB|成等比數(shù)列,得 ·=x2+y2, 即x2-y2=2. ·=(-2-x,-y)·(2-x,-y) =x2-4+y2=2(y2-1). 由于點(diǎn)P在圓O內(nèi),故由此得y2<1. 所以·的取值范圍為[-2,0). 20.(本小題滿分12分)電視臺(tái)為某個(gè)廣告公司特約播放兩套片集.其中片集甲每集播映時(shí)間為20 min,插播廣告時(shí)間為1 min,電視觀眾為60萬,片集乙每集播映時(shí)間為10 min,插播廣告時(shí)間為1 min,收視觀眾為20萬.廣告公司規(guī)定每周至少有6 min廣告,而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于86 min的節(jié)目時(shí)間.電視臺(tái)每周應(yīng)播映兩套片集各多少,才能獲得最高的收視率?

15、 解析 設(shè)片集甲播映x集,片集乙播映y集,于是就可將問題中的文字語言轉(zhuǎn)換為下列不等式組其中x≥0,y≥0,x∈N,y∈N. 要使收視率最高,則只要z=60x+20y最大即可.接下來,將上面的不等式組轉(zhuǎn)化為圖形,由圖可知,當(dāng)x=2,y=4時(shí),z=60x+20y取得最大值200萬. 故電視臺(tái)每周片集甲和片集乙分別播映2集和4集,其收視率最高. 21.(本小題滿分12分)已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A、B是切點(diǎn),C是圓心,求四邊形PACB面積的最小值? 解析 解法一 如圖,∵點(diǎn)P在直線3x+4y+8=0上,∴可設(shè)P

16、(x,-2-x),C點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),S四邊形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|×|AC|=|AP|. ∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1. ∴當(dāng)|PC|最小時(shí),|AP|最小,四邊形PACB的面積最?。? ∵|PC|2=(1-x)2+(1+2+x)2=x2+x+10=(x+1)2+9, ∴|PC|min=3, ∴四邊形PACB面積的最小值為2. 解法二 由解法一可知,需求|PC|的最小值,即求C到直線3x+4y+8=0的距離. ∵C(1,1),∴|PC|==3, ∴S四邊形PACB=2. 22.(本小題滿分12分)已知定點(diǎn)A(0,1

17、)、B(0,-1)、C(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足·=k||2. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說明方程表示的曲線; (2)當(dāng)k=2時(shí),求|2+|的最大值和最小值. 解析 (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),則=(x,y-1),=(x,y+1),=(x-1,y). ∵·=k||2, ∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], (1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若k=1,則方程為x=1,表示過點(diǎn)(1,0)平行于y軸的直線. 若k≠1,則方程化為(x+)2+y2=()2,表示以(,0)為圓心,以為半徑的圓. (2)當(dāng)k=2時(shí),方程化為(x-2)2+y2=1. ∵2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1), ∴|2+|=. 又x2+y2=4x-3, ∴|2+|=. ∵(x-2)2+y2=1, ∴令x=2+cosθ,y=sinθ. 36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6cos(θ+φ)+46 ∵6cos(θ+φ)+46∈[46-6,46+6], ∴|2+|的最大值為=3+, 最小值為=-3.

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