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1、第九章　單元能力測試卷 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．) 1．若曲線＋＝1的一條準(zhǔn)線方程為x＝10，則m的值為(　　) A．8或86　　　　　　　　　 B．6或56 C．5或56 D．6或86 答案　D 解析　由準(zhǔn)線是x＝10及方程形式知曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以a2＝m＋4，b2＝9，則c＝，于是＝10，解得m＝6或86.∵m＋4>9，∴m>5，均符合題意． 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的面積為S＝abπ，現(xiàn)有一個橢圓，其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，且長軸長與短軸長的差為2，則該橢圓的面積為(　　) A．15π

2、 B.π C．3π D.π 答案　D 解析　由題意得則得到 所以S＝abπ＝×π＝π. 3．過拋物線y＝x2準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，若切點(diǎn)分別為M，N，則直線MN過定點(diǎn)(　　) A．(0,1) B．(1,0) C．(0，－1) D．(－1,0) 答案　A 解析　特殊值法，取準(zhǔn)線上一點(diǎn)(0，－1)．設(shè)M(x1，x12)，N(x2，x22)，則過M、N的切線方程分別為y－x12＝x1(x－x1)，y－x22＝x2(x－x2)．將(0，－1)代入得x12＝x22＝4，∴MN的方程為y＝1，恒過(0,1)點(diǎn)． 4．設(shè)

3、雙曲線16x2－9y2＝144的右焦點(diǎn)為F2，M是雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9,2)，則|MA|＋|MF2|的最小值為(　　) A．9 B. C. D. 答案　B 解析　雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，離心率為，運(yùn)用第二定義，將|MF2|轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離． 5．拋物線y＝－ax2(a＜0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，) B．(0，) C．(0，－) D．(0，－) 答案　C 解析　因為a＜0，所以方程可化為x2＝y(tǒng)， 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．故選C. 6．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右

4、焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|等于(　　) A. B．2 C. D．2 答案　B 解析　F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，2c＝2，2a＝2. ∵·＝0，∴||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝40 ∴(＋)2＝||2＋||2＋2·＝40，∴|＋|＝2. 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)與雙曲線－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(diǎn)(－c,0)和(c,0)．若c是a與m的等比中項，n2是m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵c2＝am,2n

5、2＝c2＋m2，又n2＝c2－m2， ∴m2＝c2，即m＝c.∴c2＝ac，則e＝＝. 8．設(shè)雙曲線以橢圓＋＝1長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為(　　) A．±2 B．± C．± D．± 答案　C 解析　橢圓＋＝1中，a＝5，c＝4. 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 所以c＝5，＝4.所以a2＝20，b2＝c2－a2＝5.所以雙曲線方程為－＝1. 所以其漸近線方程為y＝±x＝±x，所以其斜率為±. 解決此題關(guān)鍵是分清橢圓與雙曲線中的a，b，c關(guān)系，這也是極易混淆之處． 9．已知橢圓＋＝1的兩個

6、焦點(diǎn)為F1、F2，M是橢圓上一點(diǎn)，且|MF1|－|MF2|＝1，則△MF1F2是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形 答案　C 解析　由＋＝1知a＝2，b＝，c＝1，e＝. 則|MF1|＋|MF2|＝4， 又|MF1|－|MF2|＝1. ∴|MF1|＝，|MF2|＝，又|F1F2|＝2. ∴|MF1|>|F1F2|>|MF2|， cos∠MF2F1＝＝0， ∴∠MF2F1＝90°.即△MF1F2是直角三角形． 10．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為(

7、O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　D 解析　由y＝x和x＝得A(，)， ∴S△＝··c＝ab， 又∵S△＝a2，∴a＝b，∴其夾角為90°. 11. 已知兩點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，且||·||＋·＝0，則動點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(－3,0)的距離的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　B 解析　因為M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)． 由

8、||·||＋·＝0得6＋6(x－3)＝0，化簡整理得y2＝－12x，所以點(diǎn)A是拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P到A的距離的最小值就是原點(diǎn)到A(－3,0)的距離，所以d＝3. 12．如圖，過拋物線x2＝4py(p>0)焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓x2＋(y－p)2＝p2于點(diǎn)A、B、C、D，則·的值是(　　) A．8p2　　　　　　　 B．4p2 C．2p2 D．p2 答案　D 解析　||＝|AF|－p＝y(tǒng)A，||＝|DF|－p＝y(tǒng)D，||·||＝y(tǒng)AyD＝p2.因為，的方向相同，所以·＝||·||＝y(tǒng)AyD＝p2. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，

9、共20分，把答案填在題中橫線上) 13．已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為________． 答案?。? 解析　令A(yù)B＝2，則AC＝2， ∴橢圓中c＝1,2a＝2＋2?a＝1＋， 可得e＝＝＝－1. 命題思路　本題考查橢圓概念和基本量的關(guān)系． 14．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1上有一點(diǎn)，使它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直，則b的取值范圍是________． 答案?。躡≤且b≠0 解析　設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)以F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)時，在橢圓上必存在點(diǎn)滿足它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直，此時條件滿足c≥b，從而得c2≥

10、b2?a2－b2≥b2?b2≤a2＝，解得－≤b≤且b≠0. 15．設(shè)雙曲線x2－y2＝1的兩條漸近線與直線x＝圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為E，P(x，y)為該區(qū)域的一個動點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y的最小值為________． 答案?。? 16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中： ①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若||－||＝k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝(＋)，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線－＝1與橢圓＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)． 其中真命題的序號為________(寫出

11、所有真命題的序號)． 答案?、邰? 解析?、馘e誤，當(dāng)k>0且k<|AB|，表示以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支；當(dāng)k>0且k＝|AB|時表示一條射線；當(dāng)k>0且k>|AB|時，不表示任何圖形；當(dāng)k<0時，類似同上．②錯誤．P是AB中點(diǎn)，且P到圓心與A的距離平方和為定值．故P的軌跡應(yīng)為圓．③④正確，很易驗證．多選題的特點(diǎn)是知識點(diǎn)分散，涉及面廣，且只有每一個小題都做對時才得分．故為易錯題，要求平時掌握知識點(diǎn)一定要準(zhǔn)確，運(yùn)算要細(xì)致． 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)被直線y＝2x－4截得的弦AB

12、長為3. (1)求拋物線的方程； (2)設(shè)直線AB上有一點(diǎn)Q，使得A、Q、B到拋物線的準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，求Q點(diǎn)坐標(biāo)． 解析　(1)將y＝2x－4代入y2＝2px得 (2x－4)2＝2px，即2x2－(8＋p)x＋8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝4. 所以|AB|＝＝3. 所以p＝2. 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)①當(dāng)x>－1時，設(shè)Q(x，y)，因為拋物線的準(zhǔn)線為x＝－1. 所以由題意得2(x＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)． 即x＝＝，所以y＝2x－4＝1. 即Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)． ②當(dāng)x<－1時，2(－x

13、－1)＝(x1＋1)＋(x2＋2) ∴x＝－－2＝－，y＝－13 ∴Q＝(－－13) 綜上，Q為(，1)或(－，－13)． 18．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個以F1(0，－)和F2(0，)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓．設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量＝＋.求： (1)點(diǎn)M的軌跡方程； (2)||的最小值． 解析　(1)橢圓方程可寫為＋＝1， 式中a>b>0，且 得a2＝4，b2＝1，∴曲線C的方程為 x2＋＝1(x>0，y>0)． y＝2(0

14、P在C上，有01，y>2)． (2)∵||2＝x2＋y2， y2＝＝4＋， ∴||2＝x2－1＋＋5≥4＋5＝9， 且當(dāng)x2－1＝，即x＝>1時，上式取等號． 故||的最小值為3. 19．(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)M在直線x＝1上移動，且·＝0，動點(diǎn)C滿足＝3. (1)求C點(diǎn)的軌跡D的方程； (2)設(shè)直

15、線l：y＝k(x－1)與曲線D有兩個不同的交點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P(0,1)，當(dāng)∠EPF為銳角時，求k的取值范圍． 解析　(1)設(shè)M(1，y0)，C(x，y)，B(b,0)． ∵＝3， ∴b＝，0＝.① 又·＝0， ＝(2，－y0)，＝(b－1，－y0)， ∴2(b－1)＋y02＝0.② 由①②得y2＝(1－x)，這就是C點(diǎn)的軌跡D的方程． (2)l：y＝k(x－1)代入y2＝(1－x)得 3k2x2＋(1－6k2)x＋3k2－1＝0， 解得x1＝1，x2＝，則y1＝0，y2＝－. 設(shè)E(1,0)，則F(，－)， ＝(1，－1)，＝(，－－1)． 當(dāng)∠EPF為銳角時，·＝＋(

16、＋1)>0，解得k<－或k>. 當(dāng)＝λ時，有k＝－1，應(yīng)舍去． 故k的取值范圍為(－∞，－1)∪(－1，－)∪(，＋∞)． 20．(本小題滿分12分)如右圖所示，等腰三角形ABC的底邊BC的兩端點(diǎn)是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)D在橢圓E上． (1)若∠ABC＝60°，|AB|＝4，試求橢圓E的方程； (2)設(shè)橢圓離心率為e，求cos∠ABC. 解析　(1)因為∠ABC＝60°，且△ABC為等腰三角形，所以△ABC是正三角形． 又因為點(diǎn)B，C是橢圓的兩焦點(diǎn)，設(shè)橢圓焦距為2c， 則2c＝|BC|＝|AB|＝4，如右圖所示，連結(jié)CD，由AB中點(diǎn)D在橢圓上，得

17、 2a＝|BD|＋|CD|＝|AB|＋|AB|＝2＋2， 所以a＝1＋， 從而a2＝4＋2，b2＝a2－c2＝2， 故所求橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，且|AD|＝|DB|＝m，連結(jié)CD， 則|BO|＝|OC|＝c，|DC|＝2a－m， 在Rt△AOB中，cos∠ABC＝.① 在△BCD中，由余弦定理，得 cos∠ABC＝.② 由①②式得2m＝，代入①式得cos∠ABC＝＝. 21．(本小題滿分12分)如右圖所示，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn)，直線x＝是雙曲線C的右準(zhǔn)線，A1，A2是雙曲線C的兩個頂

18、點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于A2的一個動點(diǎn)，直線A1P，A2P交雙曲線C的右準(zhǔn)線分別于M，N兩點(diǎn)． (1)求雙曲線C的方程； (2)求證：·是定值． 解析　(1)由已知，c＝3，＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝5. 所以所求雙曲線C的方程為－＝1. (2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，因為A1(－2,0)，A2(2,0)， 所以＝(x0＋2，y0)，＝(x0－2，y0)，A1M＝(，y1)，＝(－，y2)． 因為與A1M共線， 所以(x0＋2)y1＝y(tǒng)0， 所以y1＝. 同理，y2＝－. 因為＝(，y1)，＝(－，y2)． 所以·

19、＝－＋y1y2＝＝－－＝－－＝－－＝－10. 22．(本小題滿分12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)和F2(c,0)(c>0)，過點(diǎn)E(，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|. (Ⅰ)求橢圓的離心率； (Ⅱ)求直線AB的斜率； (Ⅲ)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線F2B上有一點(diǎn)H(m，n)(m≠0)在△AF1C的外接圓上，求的值． 解析　(Ⅰ)由F1A∥F2B且|F1A|＝2|F2B|，得＝＝，從而＝. 整理，得a2＝3c2.故離心率e＝＝. (Ⅱ)由(Ⅰ)，得b2＝a2－c2＝2c2.所以橢圓的方程可寫

20、為2x2＋3y2＝6c2. 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－)，即y＝k(x－3c)． 由已知設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組 消去y并整理，得(2＋3k2)x2－18k2cx＋27k2c2－6c2＝0. 依題意，Δ＝48c2(1－3k2)>0，得－

21、的方程為y－c＝－(x＋)，直線l與x軸的交點(diǎn)(，0)是△AF1C的外接圓的圓心．因此外接圓的方程為(x－)2＋y2＝(＋c)2. 直線F2B的方程為y＝(x－c)，于是點(diǎn)H(m，n)的坐標(biāo)滿足方程組 由m≠0，解得故＝. 當(dāng)k＝時，同理可得＝－. 解法二　由(Ⅱ)可知x1＝0，x2＝. 當(dāng)k＝－時，得A(0，c)，由已知得C(0，－c)． 由橢圓的對稱性知B，F(xiàn)2，C三點(diǎn)共線．因為點(diǎn)H(m，n)在△AF1C的外接圓上，且F1A∥F2B，所以四邊形AF1CH為等腰梯形． 由直線F2B的方程y＝(x－c)，知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，m－c)． 因為|AH|＝|CF1|，所以m2＋(m－c－c)2＝a2，解得m＝c(舍)或m＝ c．則n＝c.所以＝. 當(dāng)k＝時，同理可得＝－.