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1、限時(shí)作業(yè)2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
一、選擇題
1.全稱(chēng)命題“x∈Z,2x+1是整數(shù)”的逆命題是( )
A.若2x+1是整數(shù),則x∈Z B.若2x+1是奇數(shù),則x∈Z
C.若2x+1是偶數(shù),則x∈Z D.若2x+1能被3整除,則x∈Z
解析:命題“x∈Z,2x+1是整數(shù)”的條件為x∈Z,結(jié)論為2x+1是整數(shù),故選A.
答案:A
2.(2020重慶高考,文2)設(shè)x是實(shí)數(shù),則“x>0”是“|x|>0”的( )
A.充分而不必要條件
2、 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:由x>0|x|>0充分,而|x|>0x>0或x<0,不必要,故選A.
答案:A
3.對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c,給出下列命題:
①“a=b”是“ac=bc”的充要條件;
②“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分條件;
④“a<5”是“a<3”的必要條件.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1
3、B.2 C.3 D.4
解析:當(dāng)c=0,a、b不為0時(shí),ac≠bca=b,所以①是假命題;當(dāng)a=2,b=-3時(shí),a>b推不出a2>b2,所以③是假命題;②④顯然正確.
答案:B
4.若f(x)是R上的減函數(shù),且f(0)=3,f(3)=-1.設(shè)P={x||f(x+t)-1|<2},Q={x|f(x)<-1},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.t≤0 B.t≥0 C.t≤-3
4、 D.t≥-3
解析:由題意知P={x|-1<f(x+t)<3}={x|-t<x<3-t},Q={x|f(x)<f(3)}={x|x>3},
∵“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要條件,
∴PQ.∴-t≥3,t≤-3.故選C.
答案:C
5.設(shè)p、q是簡(jiǎn)單命題,則“p且q為假”是“p或q為假”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.不充分且不必要條件
解
5、析:由“p且q為假”,知p、q中至少有一個(gè)為假即可;而“p或q為假”,則p、q都為假.由此可推得“p且q為假”是“p或q為假”的必要不充分條件,故選A.
答案:A
6.在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的…( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:舉反例,如A>30°,設(shè)A=160°,則sinA=sin20°<sin30°=,則“A>30°”不是“
6、sinA>”的充分條件;如果sinA>,則A∈(30°,150°),
即有A>30°.故選B.
答案:B
7.下列各小題中,p是q的充要條件的是…( )
①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
②p:=1;q:y=f(x)是偶函數(shù)
③p:cosα=cosβ; q:tanα=tanβ
④p:A∩B=A;q:BA
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析:②由可得f(-x)=f(x),但y=f(x)的定義域不一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);③α=β是tan
7、α=tanβ的既不充分也不必要條件.
答案:D
8.(2020陜西高考,文6)“a=1”是“對(duì)任意正數(shù)x,≥1”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:a=1≥>1,顯然a=2也能推出,所以“a=1”是“對(duì)任意正數(shù)x,≥1”的充分不必要條件.
答案:A
二、填空題
9.若集合A={1,m2},B={2,4},則“m=2”是“A∩B={4}”的___
8、________條件.(從“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中選一個(gè)填在橫線上)
解析:∵A∩B={4}的充分條件是m2=4,
即m=±2,
∴“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要條件.
答案:充分不必要
10.設(shè)p、q是兩個(gè)命題,p:(|x|-3)>0,q:>0,則p是q的___________條件.
解析:考查充要條件的判定及不等式解法.
∵p:(|x|-3)>00<|x|-3<13<|x|<4-4<x<-3或3<x<4;
q:>0()()>0x>或x<,
∴p是q的充分而不必要條件.
答案:充分而不必要
11.已知p:||≤2,q:x2-2x+1
9、-m2≤0(m>0),而p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______________.
解析:由題意,知q是p的必要不充分條件.由p:-1≤x≤11;由q:1-m≤x≤1+m,因此所以m≥10.
答案:m≥10
三、解答題
12.判斷命題“已知a,x為實(shí)數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,則a≥1”的逆否命題的真假.
解法一:直接由原命題寫(xiě)出其逆否命題,然后判斷逆否命題的真假.
原命題:已知a,x為實(shí)數(shù),如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,則a≥1.
逆否命題:已知a,x為實(shí)數(shù),如果a<1,則關(guān)于x的不等式
10、x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集.
判斷如下:拋物線:y=x2+(2a+1)x+a2+2開(kāi)口向上.
判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a<1,∴4a-7<0,即拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2與x軸無(wú)交點(diǎn),
∴關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集,故逆否命題為真.
解法二:根據(jù)命題之間的關(guān)系“原命題與逆否命題同真同假”,只需判斷原命題的真假即可.
∵a,x為實(shí)數(shù),且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2) ≥0,即4a-7≥0,
解得a≥.
∵a≥>1
11、,
∴原命題為真.
又∵原命題與其逆否命題同真同假,
∴逆否命題為真.
解法三:利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系求解.命題p:關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集.命題q:a≥1.
∴p:A={a|關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有實(shí)數(shù)解}
={a|(2a+1)2-4(a2+2) ≥0}={a|a≥}.q:B={a|a≥1}.
∵AB,
∴“若p則q”為真.
∴“若p則q”的逆否命題:“若q則p”為真,即原命題的逆否命題為真.
13.設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=
12、1,2,3,…).
證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).
證明:必要性:設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列,則bn+1-bn=(a n+1-an+3)-(an-an+2)=(a n+1-an)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0,
∴bn≤b n+1(n=1,2,3,…)成立.
又c n+1-cn=(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常數(shù))(n=1,2,3,…).
∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列.
充分性:設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列,且b
13、n≤b n+1(n=1,2,3,…).
證法一:∵cn=an+2a n+1+3a n+2, ①
∴c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4. ②
①-②,得cn-c n+2=(an-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-an+4)=bn+2b n+1+3b n+2,
∴cn-c n+2=(cn-cn+1)+(c n+1-cn+2)=-2d2.
∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2,
14、 ③
從而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2. ④
④-③,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0. ⑤
∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…).
由此不妨設(shè)bn=d3(n=1,2,3,…),則an-a n+2=d3(常數(shù)).
由此cn=an+2an
15、+1+3aa+2=4an+2an+1-3d3,
從而cn+1=4an+1+2an+2-3d3=4a n+1+2an-5d3.
兩式相減,得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3,
因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常數(shù))(n=1,2,3…),
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.
證法二:令A(yù)n=a n+1-an,由bn≤b n+1,知an-a n+2≤a n+1-a n+3,
從而a n+1-an≥a n+3-a n+2,即An≥A n+2(n=1,2,3…).
由cn=an+2a n+1+3a n+2,c n+1=a n+1+2a n+2+3a n+3,得
16、c n+1-cn=(a n+1-an)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2),
即An+2A n+1+3A n+2=d2時(shí) ⑥
由此得A n+2+2A n+3+3An+4=d2. ⑦
⑥-⑦,得(An-A n+2)+2(A n+1-A n+3)+3(A n+2-An+4)=0. ⑧
∵An-A n+2≥0,A n+1-A n+3≥0,A n+2-A n+4≥0,
∴由⑧,得An-A n+2=0(n=1,2,3,…).
于是由⑥,得4An+2A n+1=An+2A n+1+3A n+2=d2, ⑨
從而2An+4A n+1=4A n+1+2A n+2=d2. ⑩
由⑨和⑩,得4An+2A n+1=2An+4A n+1,
故A n+1=An,
即a n+2-a n+1=a n+1-an(n=1,2,3,…),
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.