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1、
2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 第4課時空間中的平行關(guān)系課時闖關(guān)(含解析) 新人教版
一、選擇題
1.若三個平面α,β,γ之間有α⊥γ,β⊥γ,則α與β( )
A.垂直 B.平行
C.相交 D.以上三種可能都有
解析:選D.垂直于同一個平面的兩個平面的位置關(guān)系不確定,故選D.
2.已知m是平面α的一條斜線,點A?α,l為過點A的一條動直線,那么下列情形可能出現(xiàn)的是( )
A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α
解析:選C.設(shè)m在平面α內(nèi)的射影為n,當l⊥n且與α無公共點時,l⊥m,l∥α.
3.
2、正方體ABCD-A′B′C′D′中,E為A′C′的中點,則直線CE垂直于( )
A.A′C′ B.BD
C.A′D′ D.AA′
解析:
選B.連接B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′E.而CE?平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
4.(2020·威海質(zhì)檢)設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.若m∥n,m∥α,則n∥α
B.若α⊥β,m∥α,則m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,則m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n
3、⊥β,則α⊥β
解析:選D.選項A、B、C的結(jié)論中都還有直線在平面內(nèi)的位置關(guān)系.在選項D中可以證明α、β所成二面角為直二面角.故選D.
5.
如圖,已知△ABC為直角三角形,其中∠ACB=90°,M為AB的中點,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
4、面,給出下列四個命題:
①若a⊥α,a⊥β,則α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;
③若α∥β,a?α,b?β,則a∥b;
④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b.
其中正確命題的序號有________.
解析:垂直于同一直線的兩平面平行,①正確;α⊥β也成立,②錯;a、b也可異面,③錯;由面面平行性質(zhì)知,a∥b,④正確.
答案:①④
7.
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足__________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
解析:由定理可知,BD⊥PC.
5、
∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,
而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.
如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是1,過A點作平面A1BD的垂線,垂足為點H,有下列三個命題:
①點H是△A1BD的中心;
②AH垂直于平面CB1D1;
③AC1與B1C所成的角是90°.
其中正確命題的序號是__________.
解析:由于ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以A-A1BD是一個正三棱錐,因此A點在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心,故①正確;又因為平面CB1D1與平面A1BD
6、平行,所以AH⊥平面CB1D1,故②正確;從而可得AC1⊥平面CB1D1,即AC1與B1C垂直,所成的角等于90°.
答案:①②③
三、解答題
9.(2020·高考江蘇卷)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點.
求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
證明:
(1)如圖,在△PAD中,因為E,F(xiàn)分別為AP,AD的中點,所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD,PD?平面PCD,
所以直線EF∥平面PCD.
(2)連接BD.因為AB=AD,∠BAD=60°,所以△
7、ABD為正三角形.
因為F是AD的中點,所以BF⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因為BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
10.(2020·高考浙江卷)
如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.
(1)證明:AP⊥BC;
(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.
解:(1)證明:由AB=AC,D是BC的中點,得AD⊥BC.
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.
因為PO∩AD=O,
8、所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.
(2)如圖,在平面PAB內(nèi)作BM⊥PA于M,連CM.
因為BC⊥PA,得PA⊥平面BMC,
所以AP⊥CM.
故∠BMC為二面角B-AP-C的平面角.
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=.
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,
在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.
在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.
又cos∠BPA==,從而sin∠BPA=.
故BM=PBsin∠BPA=4.
同理CM=4.
因為BM2+MC2
9、=BC2,所以∠BMC=90°,
即二面角B-AP-C的大小為90°.
11.(探究選做)
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(1)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系.并說明理由;
(2)證明:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF.
解:(1)當點E為BC的中點時,EF與平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分別為BC、PB的中點,
∴EF∥PC,又EF?平面PAC,而PC?平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,
∴EB⊥PA.又EB⊥AB,AB∩AP=A,
AB,AP?平面PAB,
∴EB⊥平面PAB,又AF?平面PAB,∴AF⊥BE.
又PA=AB=1,點F是PB的中點,∴AF⊥PB.
又∵PB∩BE=B,PB、BE?平面PBE,
∴AF⊥平面PBE.
∵PE?平面PBE,∴AF⊥PE.