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1、1.1.2 余弦定理(二)
課時目標(biāo) 1.熟練掌握正弦定理、余弦定理.2.會用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問題．
1．正弦定理及其變形
(1)＝＝＝______.
(2)a＝________，b＝________，c＝________.
(3)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝____________________________________.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝________.
2．余弦定理及其推論
(1)a2＝________________.
(2)cos A＝________________.
(3)在
2、△ABC中，c2＝a2＋b2?C為________；c2>a2＋b2?C為________；c2
3、 B．90°
C．120° D．150°
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，則△ABC的形狀一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，則這個三角形的最小外角為( )
A．30° B．60°
C．90°
4、 D．120°
4．△ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2＝ac,2b＝a＋c，則此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C＝120°，c＝a，則( )
A．a(chǎn)>b
B．a(chǎn)
5、形
C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則邊c＝________.
8．設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是________．
9．已知△ABC的面積為2，BC＝5，A＝60°，則△ABC的周長是________．
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則△ABC外接圓的面積是________．
三、解答題
11．在△ABC中，
6、求證：＝.
12.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊的長，cos B=,且·＝－21.
(1)求△ABC的面積；
(2)若a＝7，求角C.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是( )
A．0
7、)求＋的值；
(2)設(shè)·＝，求a＋c的值．
1．解斜三角形的常見類型及解法
在三角形的6個元素中要已知三個(至少有一邊)才能求解，常見類型及其解法見下表：
已知條件
應(yīng)用定理
一般解法
一邊和兩角
(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解.
兩邊和夾角
(如a，b，C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解時只有一解.
三邊
(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝18
8、0°，求出角C.在有解時只有一解.
兩邊和其中一邊的對角如(a，b，A)
正弦定理
余弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解.
2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑
(1)化邊為角；
(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換．
1．1.2 余弦定理(二)
知識梳理
1．(1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3)
(4)a∶b∶c 2.(1)b2＋c2－2bccos A (2)
(3)直角 鈍角 銳角 3.(1)π?。?2)si
9、n C －cos C －tan C (3)cos sin
作業(yè)設(shè)計
1．C [∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos C＝－，∴∠C＝120°.]
2．C [∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
3.B [∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
不妨設(shè)a＝3，b＝5，c＝7，C為最大內(nèi)角，
則cos C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角為60°.]
4．D [∵2b＝a＋c，
10、∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]
5．A [在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]
6．A [設(shè)直角三角形三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2，
則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2
＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角．]
7.
解析 由題意：a＋b＝5，ab＝2.
11、
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．20，∴a>，最大邊為2a＋1.
∵三角形為鈍角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化簡得：02a＋1，
∴a>2，∴2
12、3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周長為12.
10.
解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝，
∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圓＝πR2＝.
11．證明 右邊＝＝·cos B－·cos A
＝·－·＝－＝＝左邊．
所以＝.
12.解 （1）∵·＝－21，·＝21.
·＝||·||·cos B＝accos B＝21.
∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝.
∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14.
(2)ac＝35，a＝
13、7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin C＝sin B＝×＝.
∵c
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