《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第九篇 解析幾何 第9講　曲線與方程教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第九篇 解析幾何 第9講　曲線與方程教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講　曲線與方程 【2020年高考會這樣考】 1．考查方程的曲線與曲線的方程的對應關系． 2．利用直接法或定義法求軌跡方程． 3．結合平面向量知識能確定動點軌跡，并會研究軌跡的有關性質． 【復習指導】 正確理解曲線與方程的概念，會用解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題，用方程的觀點實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解決，并能根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程，常用方法有：直接法、定義法、待定系數(shù)法、相關點法、參數(shù)法等。 基礎梳理 1．曲線與方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下關系： (1)曲線上點的坐標都是這

2、個方程的解． (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 2．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標． (2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式． (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上． 3．兩曲線的交點 (1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾

3、組解，兩條曲線就有幾個交點，方程組無解，兩條曲線就沒有交點． (2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題． 一個主題 通過坐標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質是解析幾何需要完成的兩大任務，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一． 四個步驟 對于中點弦問題，常有的解題方法是點差法，其解題步驟為： ①設點：即設出弦的兩端點坐標； ②代入：即代入圓錐曲線方程； ③作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開； ④整理：即轉化為斜率與中點坐標的關系式

4、，然后求解． 五種方法 求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)＝0； (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (4)代入轉移法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (5)參數(shù)法：當動點P(x，y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動

5、點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 雙基自測 1．f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　利用曲線與方程定義的兩條件來確定其關系， ∵f(x0，y0)＝0可知點P(x0，y0) 在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件． 答案　C 2．(2020·泉州質檢)方程x2＋x

6、y＝x的曲線是(　　)． A．一個點 B．一條直線 C．兩條直線 D．一個點和一條直線 解析　方程變?yōu)閤(x＋y－1)＝0， ∴x＝0或x＋y－1＝0. 故方程表示直線x＝0或直線x＋y－1＝0. 答案　C 3．(2020·合肥月考)已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　)． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析　由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋

7、5＝0. 答案　D 4．(2020·福州模擬)若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為(　　)． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析　依題意，點P到直線x＝－2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡是拋物線． 答案　D 5．(2020·北京)曲線C是平面內與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡．給出下列三個結論： ①曲線C過坐標原點； ②曲線C關于坐標原點對稱； ③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結論的序號是________． 解析　

8、設動點M(x，y)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的積等于a2，得曲線C的方程為·＝a2， ∵a＞1，故原點坐標不滿足曲線C的方程，故①錯誤．以－x，－y分別代替曲線C的方程中的x、y，其方程不變，故曲線C關于原點對稱，即②正確．因為S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即面積不大于a2，所以③正確． 答案?、冖? 考向一　直接法求軌跡方程 【例1】?已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，如圖所示．由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，求動點P的軌跡方程． [審題視點] 由已知條件找出等量關系，

9、直接寫出P點坐標滿足的等式化簡即得軌跡方程． 解　設P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，則|OP|2－2＝|O′P|2－6. ∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6， ∴x＝，故動點P的軌跡方程是x＝. 直接法求曲線方程的一般步驟： (1)建立恰當?shù)淖鴺讼?，設動點坐標(x，y)； (2)列出幾何等量關系式； (3)用坐標條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)＝0； (4)變方程為最簡方程； (5)檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性． 【訓練1】 如圖所示，過點P(2,4)作互相垂直的

10、直線l1，l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程． 解　設點M的坐標為(x，y)， ∵M是線段AB的中點， ∴A點的坐標為(2x,0)，B點的坐標為(0,2y)． ∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)． 由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即x＋2y－5＝0. ∴線段AB中點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0. 考向二　定義法求軌跡方程 【例2】?一動圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時與圓x2＋y2－6x－91＝0內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線． [審題視點] 由曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出

11、軌跡方程． 解　如圖所示，設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：(x＋3)2＋y2＝4， (x－3)2＋y2＝100， 當動圓與圓O1相外切時， 有|O1M|＝R＋2.① 當動圓與圓O2相內切時，有|O2M|＝10－R.② 將①②兩式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|， ∴動圓圓心M(x，y)到點O1(－3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12， 所以點M的軌跡是焦點為O1(－3,0)、O2(3,0)， 長軸長等于12的橢圓． ∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27， ∴圓

12、心軌跡方程為＋＝1，軌跡為橢圓． 在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡求得方程，同時注意變量范圍． 【訓練2】 已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程． 解　如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因為|MA|＝|MB|， 所以|MC2

13、|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 這表明動點M到兩定點C2、C1的距離的差是常數(shù)2，且小于|C1C2|＝6. 根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離大，到C1的距離小)，這里a＝1，c＝3，則b2＝8，設點M的坐標為(x，y)，其軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． 考向三　參數(shù)法、相關點法求軌跡方程 【例3】?已知拋物線y2＝4px(p>0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程． [審題視點] 設出m點的坐標(x，y)后，直接找x，y的關系式不好求，故尋求其他變量建立x，y之間的聯(lián)系

14、． 解　設M(x，y)，直線AB方程為y＝kx＋b. 由OM⊥AB得k＝－. 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得 k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝. 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.所以y1y2＝. 由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2， 所以＝－，b＝－4kp. 故y＝kx＋b＝k(x－4p)． 把k＝－代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)． 即M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)． 在一些很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標x，y所滿足的關系式的情況下，往往借助第三個變量t，建立t和x，t和y的關系式x＝φ(t)，y

15、＝x(t)，再通過一些條件消掉t就間接找到了x和y所滿足的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的普通方程． 【訓練3】 如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程． 解　設動點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x1，y1)，則N點的坐標為(2x－x1，2y－y1)． ∵點N在直線x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2，① 又∵PQ垂直于直線x＋y＝2. ∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0，② 由①、②聯(lián)立，解得 又Q在雙曲線x2－y2＝1上， ∴x－y＝1， 即2－2＝1， 整理得2x2－2y

16、2－2x＋2y－1＝0， 這就是所求動點P的軌跡方程． 規(guī)范解答18——如何解決求曲線的方程 【問題研究】 曲線與方程是解析幾何的一條主線，雖然高考對曲線與方程的要求不是很高，但在高考中也經常會有一些試題是以建立曲線方程作為切入點命制的．從近幾年的高考試題中可以發(fā)現(xiàn)，無論客觀題還是主觀題都有曲線與方程的命題點． 【解決方案】 首先，要深入理解求曲線的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型，注意參數(shù)法和交軌法的應用．其次，求出軌跡方程時要注意檢驗，多余的點要扣除，而遺漏的點要補上，再次，要明確圓錐曲線的性質，選相應的解題策略和擬定具體的解題方法，如參數(shù)的選取，相關點變化的規(guī)律及限制

17、條件等． 【示例】?(本小題滿分12分)(2020·天津)在平面直角坐標系xOy中，點P(a，b)(a＞b＞0) 為動點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點．已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足A·B＝－2，求點M的軌跡方程． 第(1)問設出焦點坐標，根據(jù)|PF2|＝|F1F2|列出等式，解方程即可求得；第(2)問根據(jù)題意設出A，B兩點坐標，代入關系式·＝－2即可求得點M的軌跡方程． 解　(1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)． 由題意，可得|PF2|＝|F1F2|， 即＝

18、2c， 整理，得22＋－1＝0， 得＝－1(舍)，或＝. 所以e＝.(4分) (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2， 直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點的坐標滿足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c. 得方程組的解(6分) 不妨設A，B. 設點M的坐標為(x，y)，則A＝， B＝(x，y＋c)． 由y＝(x－c)，得c＝x－y. 于是A＝，B＝(x，x)．(8分) 由A·B＝－2， 即·x＋·x＝－2， 化簡得18x2－16xy－15＝0.(10分) 將y＝代入c＝x－y，得c＝＞0.所以x＞0. 因此，點M的軌跡方程是 18x2－16xy－15＝0(x＞0)．(12分) 代入法求曲線方程的難點是建立x，y，x0，y0所滿足的兩個關系式，這需要根據(jù)問題的具體情況，充分利用已知條件列出關系式，一般需要找到兩個互相獨立的條件建立兩個方程，通過這兩個方程所組成的方程組用x，y表達x0，y0.