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1、2020年高考數(shù)學(xué) 圓錐曲線篇 圓錐曲線離心率的求法 經(jīng)典回顧 1、已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為△的內(nèi)心，若成立，則的值為 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，為△的內(nèi)心，，所以 因?yàn)闉闄E圓上任意一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義得，得. 考點(diǎn)：三角形面積的計(jì)算及三角形內(nèi)心的性質(zhì). 離心率求值 焦點(diǎn)三角形中 2、在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 ． [解析] 3、已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若,則此橢圓的離心率為 _________. [

2、解析] [三角形三邊的比是] 4、在中，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 ． 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率 [解析] ， ， 【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定 （2）只要列出的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍） （3）“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注 5、已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則 ． 【答案】4 【解析】 試題分析：不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，雙曲線

3、的標(biāo)準(zhǔn)方程為：公共焦點(diǎn) ，則有： 在中，因?yàn)?，由余弦定理得? 所以， 所以， 即： 所以， 所以，答案應(yīng)填：4. 考點(diǎn)：1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì). 6、設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為 2 [解析] .用好定義 設(shè)，，，， 位置關(guān)系 7、如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為

4、 [解析] B . 8、在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ． [解析] 9、橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題分析：設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以 ，，將其代入橢圓方程可得，化簡可得，解得，故應(yīng)選． 考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)； 10、已知F2，F(xiàn)1是雙曲線的上，下兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對

5、稱點(diǎn)恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為，由已知得，解得，又以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓的方程為，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入上式得，又，所以，解得。 考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于線的對稱。 與向量結(jié)合 定理1? 已知點(diǎn)是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的弦與的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有；（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有。 證明? 設(shè)直線是焦點(diǎn)所對應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線上的

6、射影分別為，點(diǎn)在直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，，又，所以 （1）?????? 當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。 如圖1，，所以。 ? 圖1 （2）?????? 當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。 如圖2，，所以。 ? 圖2 評注? 特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。 11已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為 【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角, 由雙曲線的第二定義有. 又 12已知橢圓的離心率為，過右

7、焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 解? 這里，，設(shè)直線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。 13過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 。 【答案】 解 如圖3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)，又，代入公式得，解得，所以。 14已知雙曲線的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)。若，則＿＿＿ 解 這里，，因直線與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公

8、式，代入公式得，所以所以，所以。 圓錐曲線的性質(zhì) 15已知橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，若是、的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，所以有又是、的等比中項(xiàng)，所以 是與的等差中項(xiàng)，所以由（1），（3）得代入（1）得代入（2）得：則橢圓的離心率是故選B 考點(diǎn)：橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念及基本運(yùn)算． 16已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為 （ ） A． B．

9、 C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則， 則所求雙曲線的漸近線方程為，所以答案為A． 考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2，雙曲線的漸近線方程． 17．已知雙曲線與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（ ） A、 B、2 C、 D、 【答案】B 【解析】 試題分析：，，所以，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，，解得，代入拋物線有，因?yàn)辄c(diǎn)是交點(diǎn)，所以代入雙曲線，有，解得：，所以離心率． 考點(diǎn)：1．拋物線的幾何性質(zhì)；2．雙曲線的方程；3．拋物線的方程． 18過

10、雙曲線C1：的左焦點(diǎn)作圓C2：的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長交拋物線C3：于點(diǎn)，其中有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意得: C3：，，所以，因此，選B． 考點(diǎn)：拋物線定義，雙曲線離心率 19設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與軸垂直的直線交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，若+ ，且，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以又，所以解得，或，兩組解得到的離心率相等

11、，所以用第一組求:,整理為,結(jié)合圖像，可知,代入方程：，整理為，即，化簡為． 考點(diǎn)：1．雙曲線的幾何性質(zhì)；2．向量的基本定理． 離心率求范圍 20已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 ． 【解題思路】這是一個(gè)存在性問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題來解決 [解析](方法1)由定義知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得．即的最大值為． (方法2) ， 雙曲線上存在一點(diǎn)P使，等價(jià)于 (方法3)設(shè)，由焦半徑公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值為． 【名師指引】（1）解法1用余

12、弦定理轉(zhuǎn)化，解法2用定義轉(zhuǎn)化，解法3用焦半徑轉(zhuǎn)化； （2）點(diǎn)P在變化過程中，的范圍變化值得探究； （3）運(yùn)用不等式知識(shí)轉(zhuǎn)化為的齊次式是關(guān)鍵 21已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A). (B). (C). (D). [解析] ，選B 已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由對稱性，只要，即可滿足為銳角三角形，代入，，所以，或（舍），由，所以． 考點(diǎn)：1．焦點(diǎn)三角形；2．離心率；3．幾何法． 22已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則離心率倒數(shù)之和的最大值是為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)題意，我們設(shè)橢圓的方程為，雙曲線方程為，所以有，可以解得．解三角形可以得到化簡得，，兩邊同時(shí)除以，可以得到． 由基本不等式可以知道，，所以即，所以答案為D． 【命題意圖】本題主要考查圓錐曲線定義及求基本不等式，意在考查基礎(chǔ)運(yùn)算能力．和綜合運(yùn)用能力．