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1、江蘇省無錫市2020年高考數學 第二十二講 數列通項公式的求法練習
1、“”是“對任意的正數,均有”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】本題主要考查充要條件的概念以及均值不等式的應用. 屬于基礎知識、基本運算
的考查. ,反之
恒成立,則
不一定為為真。
2、設函數,若,則實數的取值范圍是__________.
;
若,則,即,所以,
若則,即,所以,。
所以實數的取值范圍是或,即.
3、設,則不等式的解集為
【解析】
解不等式loga(x-
2、)>1
.解:(1)當a>1時,原不等式等價于不等式組
①
②
由此得1-a>.因為1-a<0,所以x<0,∴<x<0.
(2)當0<a<1時,原不等式等價于不等式組:
由 ①得x>1或x<0,由②得0 <x<,∴1<x<.
綜上,當a>1時,不等式的解集是{x|<x<0,當0<a<1時,不等式的解集為{x|1<x<}.
4、設不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M,如果M[1,4],求實數a的取值范圍.
命題意圖:考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系,屬★★★★級題目.
知識依托:本題主要涉及一元二次不等式根
3、與系數的關系及集合與集合之間的關系,以及分類討論的數學思想.
錯解分析:M=是符合題設條件的情況之一,出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面,易遺漏;構造關于a的不等式要全面、合理,易出錯.
技巧與方法:該題實質上是二次函數的區(qū)間根問題,充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數之間的內在聯(lián)系是關鍵所在;數形結合的思想使題目更加明朗.
解:M[1,4]有n種情況:其一是M=,此時Δ<0;其二是M≠,此時Δ>0,分三種情況計算a的取值范圍.
設f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2)
(1)當Δ<0時,-1<a<2,M=[1,4]
(2)當Δ=0
4、時,a=-1或2.當a=-1時M={-1}[1,4];當a=2時,m={2}[1,4].
(3)當Δ>0時,a<-1或a>2.設方程f(x)=0的兩根x1,x2,且x1<x2,那么M=[x1,x2],M[1,4]1≤x1<x2≤4
即,解得:2<a<,
∴M[1,4]時,a的取值范圍是(-1,).
函數解析式求法
命題特點
1.考查數學建模(必考);
2.有些問題建立函數解析式是考查函數性質的前提也是解題的關鍵點,比如,函數最值問題、函數求值問題等.
必會解題方法和技能
1.對稱法求函數解析式
2. 待定系數法求函數解析式
3. 方程組法求函數解析式
4. 換元法求函
5、數解析式
5. 根據題意題意自己建立函數解析式
1.若,則的解析式為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:設
考點:換元法求函數解析式
2已知f(+1)=x+2,則f(x)的解析式為 .
【答案】()
【解析】
試題分析:(+1)=x+2 ,所以有,因為,所以所求函數的解析式應為().
考點:應用整體配湊法來求函數解析式.
3已知,則f(3)=___
【答案】11.
【解析】
試題分析:本題一般用湊配法求出,,∴,從而.
考點:求函數解析式.
對稱法求函數解析式
4
6、、函數f(x)在R上為奇函數,且當x>0時,,則x<0時的解析式為f(x)=________.
【答案】
【解析】
試題分析:當時,,,所以有,從而得結果.
考點:具備奇偶性的函數的解析式的求解問題.
5、已知函數是定義在上的奇函數,且當時,,則= .
【答案】
【解析】
試題分析:為奇函數,且當時,∴當時,.
∴.
考點:函數奇偶性的應用
6、函數y=f(x)的圖像與函數g(x)=log2x(x>0)的圖像關于原點
對稱,則f(x)的表達式為 f(x)=-log2(-x)(x<0)
7、已知函數是定義在上的偶函數. 當時,,則當時,
7、 .
設是定義在上奇函數,且當時,,求函數的解析式
【答案】
【解析】
試題分析:根據函數是定義在上的奇函數,圖像關于原點對稱,解析式滿足,所以,且已知時的解析式,那么當時的解析式,可由時,表示,同時當時,,所以當時,得到:,綜上得到所求的函數的解析式.
試題解析:(1)是定義在上奇函數,, (3分)
(2)當時,,
是定義在上奇函數,
(10分)
(12分)
考點:1.函數的奇偶性;2.轉化法.
8、若函數的圖像
8、與函數的圖像關于直線對稱,則
9、函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱,則__________。
10、已知函數為奇函數,則滿足的的解集
待定系數法
高考命題規(guī)律:
1.數列求通項公式
2.高次等式因數分解
3.線性規(guī)劃中通過待定系數法進行配湊
4.三角函數中待定系數法求解析式
11、已知二次函數滿足,且。
(1)求的解析式;
(2)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;
(3)設,,求的最大值。
解:(1)設,代入和,
并化簡得,。
(2)當時,不等式恒成立即不等式恒成立,
令,則,當時,,。
(3)對稱軸是。
當時,即時,;
9、 當時,即時,
綜上所述:。
12、已知二次函數f(x)滿足f(-2)=0,且3x+5≤f(x)≤2x2+7x+7對一切實數x都成立.
(1)求f(-1)的值;(2)求f(x)的解析式
分析:(1) ∵2≤f(-1)≤2 ∴f(-1)=2
(2)設f(x)=ax2+bx+c (a≠0)則由f(-2)=0及f(-1)=2,得
∴有3x+5≤ax2+(3a+2)x+(2a+4)≤2x2+7x+7對x∈R恒成立
即ax2+(3a-1)x+(2a-1)≥0且(a-2)x2+(3a-5)x+(2a-3)≤0恒成立
且
且
∴f(x)=x2+5x+6
10、
方程組法
1.互為倒數
2.互為相反數
13、已知.
(1) 求的解析式,并標注定義域;
(2)指出的單調區(qū)間,并用定義加以證明。
【答案】(1),;(2)在,上遞減..
【解析】
試題分析:
解題思路:(1)利用與的關系(倒數關系),對所給解析式進行賦值,出現(xiàn)關于和的方程組,消去即可求出,再注明定義域;(2)借助基本函數的單調性判斷單調區(qū)間,再利用單調性定義進行求解..
規(guī)律總結:利用方程組法求函數解析式是求函數解析式的一種特殊題型,主要借助與的關系(倒數關系)或與的關系(互為相反數)進行賦值,出現(xiàn)方程組進行求解.
試題解析:(1) 由 ①
用代替,得
11、②
②①,得 ,所以 ,
(2) 由(1),,其遞減區(qū)間為和,無增區(qū)間。
事實上,任取且,則
,所以 ,即 故在上遞減。同理可證其在上也遞減.
考點:1.求函數的解析式;2.函數的單調性.
14、設函數,的定義域均為,且是奇函數,是偶函數,,其中e為自然對數的底數.
(Ⅰ)求,的解析式,并證明:當時,,;
(Ⅱ)設,,證明:當時,.
【答案】(Ⅰ),.證明:當時,,,故
又由基本不等式,有,即 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ⑤⑥
當時,等價于 ⑦ 等價于 ⑧于是設函數 ,由⑤⑥,有 當時,(1)若,由③④,得,故在上為增函數,從而,即,故⑦
12、成立.(2)若,由③④,得,故在上為減函數,從而,即,故⑧成立.綜合⑦⑧,得 .
【解析】(Ⅰ)由, 的奇偶性及,①得: ②
聯(lián)立①②解得,.
當時,,,故 ③
又由基本不等式,有,即 ④
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 , ⑤
, ⑥
當時,等價于, ⑦
等價于 ⑧
設函數 ,由⑤⑥,有
當時,(1)若,由③④,得,故在上為增函數,從而,即,故⑦成立.(2)若,由③④,得,故在上為減函數,從而,即,故⑧成立.綜合⑦⑧,得 .
考點:本題考查
13、函數的奇偶性和導數在研究函數的單調性與極值中的應用,屬高檔題.
15、若函數f(x)、g(x)分別為R上的奇函數、偶函數,且滿足f(x)-g(x)=ex,則有( )
A.f(2)f(2)=>0,
因此g(0)
14、已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足且,若,則
A.2 B. C. D.
17、已知函數,且,其中為奇函數,為偶函數。若不等式對任意恒成立,則實數的取值范圍是 。
簡解:
18、已知函數定義在R上.
(1) 若可以表示為一個偶函數與一個奇函數之和,
求函數的解析式;
(2) 若,設,
把表示為的函數
(3)若關于的方程在上有解,求實數m的取值范圍.
(1)假設①,其中偶函數,為奇函數,
則有,即②,
由①、②解得,. …………2分
∵定義在R上,∴,都定義在R上.
∵,.
∴是偶函數,是奇函數,
∵, ∴,
. …………6分
15、
(2)由,則,
平方得,∴,
∴. …………10分
(3)∵關于單調遞增,∴.…………12分
由得
,令=
由題義得:的取值范圍就是函數 的值域。-----------14分
在上均為減函數,
故在上單調遞減,而
函數 的值域為
即的取值范圍為…………16分
19.已知函數R,且
(I)若能表示成一個奇函數和一個偶函數的和,求的解析式;
(II)命題P:函數在區(qū)間上是增函數;
命題Q:函數是減函數。
如果命題P、Q有且僅有一個是真命題,求a的取值范圍;
(III)在(II)的條件下,比較的大小。
【答案】(1);(2)
【解析】
試題分析
16、:
(1)將表示成奇函數和一個偶函數的和,分別求,所用知識僅為函數的奇偶性,但是函數將三個函數,的奇偶性綜合考察,出題者別具匠心,與以往單純考察單個函數的奇偶性有較大區(qū)別。(2)函數在區(qū)間上是增函數,只需要二次函數對稱軸≤即可,為一次函數,單調性只和系數相關,解答滿足和的參數范圍,然后按照真、假和假、真求a的并集即可。(3)將帶入,看似與無關,但結合第二步結果,將a的值換成發(fā)現(xiàn)左右恰好相等,可以考慮右邊定值,左邊是函數在臨界情況下的結果,研究左邊表達式在情況下的值域問題就可解決。
解答過程:(1)
解得……………………………………………4分
(2)在區(qū)間上是增函數,
解得
17、又由函數是減函數,得
∴命題P為真的條件是:
命題Q為真的條件是:
又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題,…………………………………8分
(2)由(1)得
設函數
∴函數在區(qū)間上為增函數
又………………12分
考點:本題考查了函數奇偶性,含參二次函數和一次函數單調性,利用函數的導數求函數單調性以及邏輯問題。
點評:本題綜合程度較高,考察內容靈活多變,除了第二步為常規(guī)思路解答。第一和第三步都值得認真去研究它的方法和解題思路,本題作為壓軸題計算量不是很大,重要還是從本題中體現(xiàn)的方法值得深究。
建模
20、定義運算 若函數.
(1)求的解析式;
(2)畫出的圖像,并
18、指出單調區(qū)間、值域以及奇偶性.
【答案】(1) ;(2) 在上單調遞增, 在上單調遞減;值域為
【解析】
試題分析:(1)根據表示取a與b中較小的可知只需比較與的大小關系即可得到結論.(2)由分段函數與指數函數性質畫出圖像,由圖像可得出單調區(qū)間、值域以及奇偶性.
試題解析:
(1)由,知
(2) 的圖像如圖:
在上單調遞增, 在上單調遞減
值域為
考點:函數解析式的求解及常用方法.
21、定義運算 若函數.
(1)求的解析式;
(2)畫出的圖像,并指出單調區(qū)間、值域以及奇偶性.
【答案】(1) ;(2) 在上單調遞增, 在上單調遞減;值域為
【解析】
試題分析:(1)根據表示取a與b中較小的可知只需比較與的大小關系即可得到結論.(2)由分段函數與指數函數性質畫出圖像,由圖像可得出單調區(qū)間、值域以及奇偶性.
試題解析:
(1)由,知
(2) 的圖像如圖:
在上單調遞增, 在上單調遞減
值域為
考點:函數解析式的求解及常用方法.