河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題12 高考中的解答題的解題策略 理
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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十二 高考中的解答題的解題策略 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】 解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個(gè)檔次,低檔題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法與技能,中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力,高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力及分析問題和解決問題的能力. 解答題的解題步驟 1.分析條件,弄清問題 2.規(guī)范表達(dá),實(shí)施計(jì)劃 3.演算結(jié)果,回顧反思 解答題的解題策略 1.從條件入手——分析條件,化繁為簡(jiǎn),注重隱含條件的挖掘; 2.從結(jié)論入手——執(zhí)果索因,搭好聯(lián)系條件的橋梁;. 3.回到定義和圖形中來; 4.換一個(gè)角度去
2、思考; 5優(yōu)先作圖觀察分析,注意挖掘隱含條件; 6.注重通性通法,強(qiáng)化得分點(diǎn)。 【典型例題】 1.從定義信息入手 定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一,其命題特點(diǎn)是:給出一個(gè)新的定義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識(shí),然后在這個(gè)新情境下,綜合所學(xué)知識(shí)并利用新知識(shí)作為解題工具使問題得到解決,求解此類問題通常分三個(gè)步驟:(1)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行信息提取,確定化歸方向;(2)對(duì)新知識(shí)中所提取的信息進(jìn)行加工,探究解題方法;(3)對(duì)提取的知識(shí)加以轉(zhuǎn)換,進(jìn)行有效組合,進(jìn)而求解. 例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù),構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下: ①輸入數(shù)據(jù),計(jì)
3、算出;②若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作,若,則輸出x1,并將x1反饋回輸入端,再計(jì)算出,并依此規(guī)律繼續(xù)下去,現(xiàn)在有,,
(Ⅰ)求證:對(duì)任意,此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無窮數(shù)列;
(Ⅱ)若,記,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】(Ⅰ)證明:當(dāng),即0
4、列,這是命題組成的第一部分,解答時(shí)只需依照命題程序完成即可,第(Ⅱ)問其實(shí)是一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,由上可知,創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)解題功底. 2. 由巧法向通法轉(zhuǎn)換 巧法的思維起點(diǎn)高,技巧性也強(qiáng),有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn),而巧法本身的思路難尋,方法不易把握,而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路,而順達(dá)流暢,通俗易懂的特點(diǎn). 例2、已知,求的取值范圍. 【解析】由,得, ∴, ∴ , 從而得. 【題后反思】 本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目,求解時(shí)常常出錯(cuò),尤其是題目的隱含條件的把握難度較大,將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之一——消
5、元法上來,則解法通俗、思路清晰. 3. 常量轉(zhuǎn)化為變量 轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時(shí)思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化成另一種情況,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境,使問題得到解釋的一種方法,這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略,同時(shí)也是成功的思維模式,轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡(jiǎn)單、容易、熟知,達(dá)到解決問題的有利境地,通向問題解決之策.有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化,使求解更容易. 例3、設(shè),求證:. 【解析】令,則有,若,則成立; 若,則,∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即, 由韋達(dá)定理,,即,又, ∴,∴,∴. 【題后反思】 把變量變?yōu)槌A?,也就是從一般到特殊,是我們尋找?guī)律
6、時(shí)常用的解題方法,而本題反其道而行之,將常量變?yōu)樽兞?,從特殊到一般使問題得到解決. 4. 主元轉(zhuǎn)化為輔元 有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻,陷于困境,這時(shí)可以將主元化為輔元,即可迎刃而解. 例4、對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍. 【解析】把轉(zhuǎn)化為,則成為關(guān)于p的一次不等式,則,得,由一次不等式的性質(zhì)有:, 當(dāng)時(shí),,∴; 當(dāng)時(shí),,∴,綜上可得:. 【題后反思】 視x為主元,不等式是關(guān)于x的一元二次不等到式,討論其取值情況過于繁瑣,將p轉(zhuǎn)化為主元,不等式是關(guān)于p的一次的不等式,則問題不難解決. 5. 正向轉(zhuǎn)化為反向 有些數(shù)學(xué)問題,如果是直接
7、正向入手求解難度較大,可以反向考慮,這種方法也叫“正難則反” 例5、若橢圓與連接A(1,2)、B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】設(shè)線段AB和橢圓有公共點(diǎn),由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段AB的方程為,,則方程組,消去y 得:,即, ∵,∴,∵,∴, ∴當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 【題后反思】 在探討某一問題的解決辦法時(shí),如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難,則應(yīng)從反面的方向去探索. 6. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合,實(shí)質(zhì)上是將抽象的語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來,以便化抽象為直觀,達(dá)到化難為易,化簡(jiǎn)為繁的目的. 例6、已知是定義
8、在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),若,解不等式. 【解析】由在上為增函數(shù),且是定義域上的奇函數(shù), ∴在上也是增函數(shù). ∵,∴,∴或, ○ ○ x y -1 1 O 由函數(shù)的單調(diào)性知:或, ∴原不等式的解集為: 【題后反思】 由已知,是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū) 間上是增函數(shù),由,則可得的 大致圖像如下圖,可知 7.自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)化 函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關(guān)系與函數(shù)值間不等關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的思想,理解它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,有利于靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題. 例7、設(shè)是定義在上的增函數(shù),且對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y,都有 ,求使不等式成立的
9、x的取值范圍. 【解析】∵的定義域是,∴,即, 由于,得, 由,得, ∴由題設(shè)條件得: , ∵是定義在上的增函數(shù),∴,解之得:,又, ∴適合題意的x的取值范圍為[3,4]. 【題后反思】 這類抽象函數(shù)求解是初學(xué)者較難掌握的,解題的關(guān)鍵需實(shí)現(xiàn)三種轉(zhuǎn)化: ①將函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系;②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個(gè)值的大小,因此需將,根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為;③需將②轉(zhuǎn)化為某自變量的函數(shù)值,從而建立關(guān)于x的不等關(guān)系,求出x的取值范圍. 8. 類比歸納 類比是將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問題結(jié)論等式引申或推廣,或遷移,由已知探索未知,由舊知識(shí)探索新知識(shí)的一種研
10、究問題的方法;歸納是從個(gè)別特殊事例,若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論,總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法,這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力,培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力.因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng),所以它們?cè)诟呖贾蓄l繁亮相,已成為高考中的又一個(gè)熱點(diǎn). x1 x2 x y O D=[x1,x2] y=f(x) x1 x2 x y O D=[x1,x2] y=B 例8、如下圖所示,定義在D上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù)A,都有成立,則稱函數(shù)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界(提示:下圖①②中的常數(shù)A、B可以
11、是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零.)
(Ⅰ)試判斷函數(shù)在
上是否有下界?并說明理由;
(Ⅱ)具有圖②所示特征的函數(shù)稱為
在D上有上界,請(qǐng)你類比函數(shù)有下界 ① ②
的定義,給出函數(shù)在D上有上界的定義,并判斷(Ⅰ)中的函數(shù)在上是否有上界,并說明理由.
【解析】
∵,由,得,∵,∴x=2,
∵當(dāng)0
12、 (Ⅱ)類比函數(shù)有下界的定義,函數(shù)有上界可以給出這樣的定義:定義在D上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常B,都有成立,則稱函數(shù)在D上有上界,其中B稱為函數(shù)的上界. 設(shè)x<0,則-x>0,則(Ⅰ)知,對(duì)任意,都有,∴, ∵函數(shù)為奇函數(shù),∴,∴,即, 即存在常數(shù)B=-32,對(duì)任意,都有,所以,函數(shù)在上有上界. 【題后反思】 本題以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)有界性為命題素材,先給出一個(gè)定義,研究問題的結(jié)論,然后提出類比的方向,這是一種直接類比的情境題.?dāng)?shù)學(xué)中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識(shí)點(diǎn),如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象,立體幾何中的很多結(jié)論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進(jìn)行遷移
13、,我們復(fù)習(xí)時(shí)要注意研究知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,把握知識(shí)間的內(nèi)在規(guī)律,通過知識(shí)間的對(duì)比和類比,可以更好地掌握知識(shí),提高解題能力. 【模擬演練】 (1)已知函數(shù) (Ⅰ)若,求x的值; (Ⅱ)若對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (2)設(shè)函數(shù),曲線通過點(diǎn)(0,2a+3)且在點(diǎn)(-1,)處的切線垂直于x軸. 用a分別表示b和c; (Ⅱ)當(dāng)bc取得最小值時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (3)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(),()的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線與C交于A、B兩點(diǎn), (Ⅰ)寫出C的方程; (Ⅱ)若,求k的值; (Ⅲ)若
14、點(diǎn)A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時(shí),恒有. (4)已知函數(shù),,, (Ⅰ)將函數(shù)化簡(jiǎn)成的形式; (Ⅱ)求函數(shù)的值域. (5)已知曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1的內(nèi)切圓半徑為,記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓, (Ⅰ)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦,是線段AB的垂直平分線,M是上異于橢圓中心的點(diǎn),①若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;②若M是與橢圓C2的交點(diǎn),求面積的最小值. (6)已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件:①;②若,則.若非空集合S為有限集,則你對(duì)集合S的元素個(gè)數(shù)有何猜測(cè)?并
15、請(qǐng)證明你的猜測(cè). (7)已知橢圓的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P,右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為,點(diǎn)C(m,0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線,其與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且使得?親說明理由. (8)設(shè)函數(shù),函數(shù),,其中a為常數(shù)且,令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的表達(dá)式,并求其定義域; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域; (Ⅲ)是否存在自然數(shù)a,使得函數(shù)的值域恰為?若存在,試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合,若不存在,試說明理由. (9)已知函數(shù),當(dāng)點(diǎn)在的圖像上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)在孫函數(shù)的圖像上移動(dòng).
16、 (Ⅰ)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,-1),點(diǎn)Q也在的圖像上,求t的值; (Ⅱ)求函數(shù)的解析式; (Ⅲ)當(dāng)時(shí),試探索一個(gè)函數(shù),使得在限定域內(nèi)為時(shí)有最小值而沒有最大值. (10)矩形鋼板的邊長(zhǎng)分別為,現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐,并使其底面邊長(zhǎng)為矩形邊長(zhǎng)的一半,表面積為ab,試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個(gè)體積最大,哪一個(gè)體積最小,并說明你的結(jié)論. 答案: 1.(1); (2) 2.(1)c=2a+3,b=2a; (2)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為(-2,2); 3.(1), (2), (3)略; 4.(1), (2)的值域?yàn)椋?/p>
17、 5.(1), (2)①,②. 6. S的元素的個(gè)數(shù)為3的倍數(shù); 7. (Ⅰ); (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,即存在這樣的直線; 當(dāng)時(shí),k不存在,即不存在這樣的直線. 8, (Ⅰ); (Ⅱ); (Ⅲ),且. 9. (Ⅰ); (Ⅱ); (Ⅲ)當(dāng)時(shí),有最小值0,但沒有最大值. 10.如下圖: 圖1 圖2 圖3 圖4 易證:,即最大,最?。?
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