《湖南省懷化市湖天中學2020高中數(shù)學《2-2 數(shù)學歸納法的應用舉例》教案 新人教A版選修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省懷化市湖天中學2020高中數(shù)學《2-2 數(shù)學歸納法的應用舉例》教案 新人教A版選修2（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省懷化市湖天中學2020高中數(shù)學《2-2 數(shù)學歸納法的應用舉例》教案 新人教A版選修2 數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，應用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現(xiàn)的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數(shù)學歸納法的應用。 一、用數(shù)學歸納法證明恒等式問題 　　對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結(jié)論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性． 例1、是否存在常數(shù)，使得等式對一切自然數(shù)成立？并證明你的結(jié)論． 解：假設存在，使得題設的等式成立，則當時也成立，代入得 解得，于是對，下面

2、等式成立： 令 假設時上式成立，即 那么 這就是說，等式當時也成立． 綜上所述，當時，題設的等式對一切自然數(shù)都成立． 二、用數(shù)學歸納法證明不等式問題 　　用數(shù)學歸納法證明一些與n有關(guān)的不等式時，推導“n＝k＋1”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等． 例3、已知函數(shù)設數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足 （Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明； （Ⅱ）證明 證明：解：（Ⅰ）證明：當 因為a1=1，所以下面用數(shù)學歸納法證明不等式 （1）當n=1時，b1=，不等式成立， （2）假設當

3、n=k時，不等式成立，即 那么 所以，當n=k+1時，不等也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知， 所以 故對任意 例3、已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項公式ｂn； （2）設數(shù)列｛an｝的通項an＝lg（1＋），記Sn為｛an｝的前n項和，試比較Sn與 lgｂn＋1的大小，并證明你的結(jié)論． 解：（1）容易得ｂn＝2n－1. （2）由ｂn＝2n－1，知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋） ＝lg（１＋１）（１＋）·…·（１＋

4、）. 又1gbn＋１＝1g， 因此要比較Sn與1gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋）·…·（１＋）與的大小.　取n=1，2，3時可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測 （1+1）（1+）· …· （１＋）＞. ① 下面用數(shù)學歸納法證明上面猜想： 當n=1時，不等式①成立. 假設n=k時，不等式①成立，即 （1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞. 那么n=k+1時，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋） ＞（１＋）＝. 又［］2－（）2＝＞０， ∴＞= ∴當n=k+1時①成立. 綜上所述，n∈N*時①成立． 由函

5、數(shù)單調(diào)性可判定Sn＞1gbn＋１. 三、用數(shù)學歸納法證明整除問題 　　用數(shù)學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學歸納法證明問題的一大技巧。 例4、是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9對任意自然數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論;若不存在，請說明理由. 證明：解：由f（n）=（2n+7）·3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36. 下面用數(shù)學歸納法證明： （1）當n=1時，顯然成立. （

6、2）假設n=k時， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除;當n=k+1時，［2（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k--1－1）， 由于3k-1－1是2的倍數(shù)，故18（3k－1－1）能被36整除.這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除. 由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）·3n+9能被36整除，m的最大值為36. 四、用數(shù)學歸納法解決某些與正整數(shù)有關(guān)的探索性問題 　　由有限個特殊事例進行歸納、猜想、，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法．在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題

7、中，此思想方法尤其重要． 例5、已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lgan－1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實數(shù)α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga對任何n∈N *都成立，證明你的結(jié)論 解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0 又f（1）=－lga， ∴∴∴f（n）=（n2－n－1）lga 證明：（1）當n=1時，顯然成立 （2）假設n=k時成立，即f（k）=（k2－k－1）lga， 則n=k+1時， f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga =（k2－k－1+k

8、）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga ∴當n=k+1時，等式成立 綜合（1）（2）可知，存在實數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對任意n∈N*都成立 點評：本題是探索性問題．它通過觀察――歸納――猜想――證明這一完整的過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力． 五、數(shù)學歸納法與其它知識點的交匯 數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)系等． 例6、平面上有n個圓，

9、每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2－n＋2個部分． 證明：（1）當n＝1時，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一個圓把平面分成兩部分，所以n＝1時命題成立． （2）設當n＝k時，命題成立，即k個圓分平面為k2－k＋2個部分，則n＝k＋1時，第k＋1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點把第k＋1個圓分成2k段，每一段把原來的所在平面一分為二，故共增加了2k個平面塊，共有k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個部分． ∴當n＝k＋1時，命題也成立． 由（1）（2）可知，這個圓把平面分成n2－n＋2個部分． 點評：關(guān)于這類幾何問題，關(guān)鍵在于分析k與k

10、＋1的差異，k到k＋1的變化情況，然后借助于圖形的直觀性，建立k與k＋1的遞推關(guān)系． 例7．如下圖，設P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=上的點列，Q1，Q2，Q3， …，Qn，…是x軸正半軸上的點列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，設它們的邊長為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=n（n+1）. 證明：（1）當n=1時，點P1是直線y=x與曲線y=的交點， ∴可求出P1（，）. ∴a1=|OP1|=.而×1×2=，命題成立. （2）假設n=k（k∈N*）時命題成立，即a1+a2+…+ak=k（k+1），則點Qk的坐標為（k（k+1），0）， ∴直線QkPk+1的方程為y=[x－k（k+1）].代入y=，解得Pk+1點的坐標為 ∴ak+1=|QkPk+1|=（k+1）·=（k+1）. ∴a1+a2+…+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）. ∴當n=k+1時，命題成立. 由（1）（2）可知，命題對所有正整數(shù)都成立. 評述：本題的關(guān)鍵是求出Pk+1的縱坐標，再根據(jù)正三角形高與邊的關(guān)系求出|QkP k+1|.