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1、陜西省吳堡縣吳堡中學高中數學 第二章 應用舉例1典型例題素材 北師大版必修5 1、某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標桿，當他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標桿在其南方向上，另一根標桿在其南偏西方向上，求此人步行的速度． 解：如圖所示，A、B兩點的距離為6米，當此人沿正北方向走到C點時，測得∠BCO =， ∠ACO =，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =－=． 由題意，知∠BAC =，∠ABC =． 在△ABC中，由正弦定理，得：=， 即有AC = ==＋6． 在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos= (＋6)×= 9＋． 設步行速度為x米/分，則x

2、 == 3＋≈4.7． 即此人步行的速度為4.7米/分． 2、某海輪以30海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達C點，求P、C間的距離． 解：如圖，在△ABP中，AB = 30×= 20， ∠APB =，∠BAP =， 由正弦定理，得：=，即=，解得BP =． 在△BPC中，BC = 30×= 40， 由已知∠PBC =，∴PC === (海里)． 所以P、C間的距離為海里． 3、已知的周長為，且．⑴求邊的長；⑵若的面積為，求角的度數． 解：⑴由題意及正弦定理，

3、得，，兩式相減，得． ⑵由的面積，得， 由余弦定理，得　，所以． 4.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？ 解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 cosC==, 則sinC =1- cosC =, sinC =, 所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sin

4、C = 在MAC中，由正弦定理得 MC ===35 從而有MB= MC-BC=15 答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。 5.在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=AD

5、sin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2== 2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得 BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m 在RtACE中，sin2= ① 在RtADE中，sin4=, ② ②① 得 cos2=,

6、2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 6.某巡邏艇在A處發(fā)現北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ 解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 所以BC = 10x =15,AB

7、=14x =21, 又因為sinBAC === BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去）， 38+=83 答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經過1.4小時才追趕上該走私船. 7.我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數表示） 解：如圖，在ABC中由余弦定理得： BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC = 20+ 12-21220 (- ) =784 BC=28 我艦的追擊速度為14n mile/h 又在ABC中由正弦定理得： = , 故 sinB = = B = arcsin 答：我艦的追擊速度為14n mile/h，航行方向為北偏東（-arcsin）