【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專題10 第46練
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第46練 分類討論思想 [思想方法解讀] 分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略. 1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素: (1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論:如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等. (2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論:如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零,偶次方根為非負(fù)數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求,指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求,不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù),三角函數(shù)的定義域,等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等. (3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論:如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等. (4)由圖形的不確定性而引起的分類討論:如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等. (5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論:如某些含有參數(shù)的問(wèn)題,由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同,或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等. 2.進(jìn)行分類討論要遵循的原則是:分類的對(duì)象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級(jí)討論.其中最重要的一條是“不重不漏”. 3.解答分類討論問(wèn)題時(shí)的基本方法和步驟是:首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類,即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒(méi)有重復(fù));再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論,分級(jí)進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論. ??碱}型精析 題型一 由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論 例1 設(shè)集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 點(diǎn)評(píng) 對(duì)概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵,在本題中,B?A,包括B=?和B≠?兩種情況.解答時(shí)就應(yīng)分兩種情況討論,在關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算中,底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時(shí)首先要考慮的因素. 變式訓(xùn)練1 若函數(shù)f(x)=ax (a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函數(shù),則a=________. 題型二 分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用 例2 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]上有最大值2,求a的值. 點(diǎn)評(píng) 本題中函數(shù)的定義域是確定的,二次函數(shù)的對(duì)稱軸是不確定的,二次函數(shù)的最值問(wèn)題與對(duì)稱軸息息相關(guān),因此需要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論,分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱軸在區(qū)間外,從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,即可表示函數(shù)的最大值,從而求出a的值. 變式訓(xùn)練2 (2015江蘇)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R). (1)試討論f(x)的單調(diào)性; (2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值. 題型三 根據(jù)圖形位置或形狀分類討論 例3 在約束條件下,當(dāng)3≤s≤5時(shí),z=3x+2y的最大值的變化范圍是( ) A.[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8] 點(diǎn)評(píng) 幾類常見(jiàn)的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論 (1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化;(2)函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖象形狀的變化;(4)直線由斜率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等. 變式訓(xùn)練3 設(shè)F1、F2為橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且>,求的值. 高考題型精練 1.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn-1(p是常數(shù)),則數(shù)列{an}是( ) A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上都不對(duì) 3.已知變量x,y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k等于( ) A.- B. C.0 D.-或0 4.(2014四川)設(shè)m∈R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是( ) A.[,2] B.[,2] C.[,4] D.[2,4] 5.(2015大連模擬)拋物線y2=4px (p>0)的焦點(diǎn)為F,P為其上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OPF為等腰三角形,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( ) A.2 B.3 C.4 D.6 6.在等比數(shù)列{an}中,已知a3=,S3=,則a1=________. 7.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a=________. 8.(2014浙江)若某程序框圖如圖所示,當(dāng)輸入50時(shí),則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________. 9.(2015南昌模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線的方程; (2)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí),討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 10.已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值. ①寫(xiě)出g(a)的表達(dá)式; ②求a的取值范圍,使得-6≤g(a)≤-2. 答案精析 第46練 分類討論思想 ??碱}型精析 例1 解 ∵A={0,-4},B?A,于是可分為以下幾種情況. (1)當(dāng)A=B時(shí),B={0,-4}, ∴由根與系數(shù)的關(guān)系,得解得a=1. (2)當(dāng)BA時(shí),又可分為兩種情況. ①當(dāng)B≠?時(shí),即B={0}或B={-4}, 當(dāng)x=0時(shí),有a=1; 當(dāng)x=-4時(shí),有a=7或a=1. 又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此時(shí)B={0}滿足條件; ②當(dāng)B=?時(shí),Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 綜合(1)(2)知,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a=1. 變式訓(xùn)練1 解析 若a>1,有a2=4,a-1=m,此時(shí)a=2,m=, 此時(shí)g(x)=-在[0,+∞)上為減函數(shù),不合題意. 若01時(shí),f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 綜上可知,a=-1或a=2. 變式訓(xùn)練2 解 (1)f′(x)=3x2+2ax, 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-. 當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)閒′(x)=3x2≥0, 所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a>0時(shí),x∈∪(0,+∞)時(shí),f′(x)>0,x∈時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在,(0,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; 當(dāng)a<0時(shí),x∈(-∞,0)∪時(shí),f′(x)>0,x∈時(shí),f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,0),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b, f=a3+b,則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)f=b<0, 從而或 又b=c-a,所以當(dāng)a>0時(shí),a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí),a3-a+c<0. 設(shè)g(a)=a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-∞,-3)∪∪, 則在(-∞,-3)上g(a)<0,且在∪上g(a)>0均恒成立. 從而g(-3)=c-1≤0,且g=c-1≥0,因此c=1. 此時(shí),f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0, 解得a∈(-∞,-3)∪∪. 綜上c=1. 例3 D [由? 取點(diǎn)A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4). (1)當(dāng)3≤s<4時(shí),可行域是四邊形OABC,如圖(1)所示,此時(shí),7≤z<8. (2)當(dāng)4≤s≤5時(shí),此時(shí)可行域是△OAC′,如圖(2)所示,zmax=8.綜上,z=3x+2y最大值的變化范圍是[7,8].] 變式訓(xùn)練3 解 若∠PF2F1=90, 則2=|PF2|2+2, 又∵+=6,=2, 解得=,=,∴=. 若∠F1PF2=90, 則2=2+2, ∴2+(6-)2=20, 又|PF1|>|PF2|,∴=4,=2, ∴=2. 綜上知,=或2. 高考題型精練 1.C [依題意,若任意函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí),則(x-1)f′(x)=0在R上恒成立;若任意函數(shù)f(x)不是常函數(shù)時(shí),當(dāng)x≥1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)x<1時(shí),f′(x)<0,f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù),故f(x)當(dāng)x=1時(shí)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),綜上,則有f(0)+f(2)≥2f(1).] 2.D [∵Sn=pn-1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1(n≥2), 當(dāng)p≠1且p≠0時(shí),{an}是等比數(shù)列; 當(dāng)p=1時(shí),{an}是等差數(shù)列; 當(dāng)p=0時(shí),a1=-1,an=0(n≥2),此時(shí){an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.] 3.D [不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示,由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形,只有直線y=kx+1與直線x=0垂直(如圖①)或直線y=kx+1與直線y=2x垂直(如圖②)時(shí),平面區(qū)域才是直角三角形. 由圖形可知斜率k的值為0或-.] 4.B [由動(dòng)直線x+my=0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),由動(dòng)直線mx-y-m+3=0知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3),且兩直線互相垂直,故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí),|PA|+|PB|取得最小值,(|PA|+|PB|)min=|AB|=.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時(shí),在Rt△PAB中,有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.因?yàn)閨PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|,所以2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào),所以|PA|+|PB|≤==2,所以≤|PA|+|PB|≤2,所以|PA|+|PB|的取值范圍是[,2].] 5.C [當(dāng)|PO|=|PF|時(shí),點(diǎn)P在線段OF的中垂線上,此時(shí),點(diǎn)P的位置有兩個(gè);當(dāng)|OP|=|OF|時(shí),點(diǎn)P的位置也有兩個(gè);對(duì)|FO|=|FP|的情形,點(diǎn)P不存在.事實(shí)上,F(xiàn)(p,0),若設(shè)P(x,y),則|FO|=p,|FP|=,若=p,則有x2-2px+y2=0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,當(dāng)x=0時(shí),不構(gòu)成三角形.當(dāng)x=-2p(p>0)時(shí),與點(diǎn)P在拋物線上矛盾.∴符合要求的點(diǎn)P一共有4個(gè).] 6.或6 解析 當(dāng)q=1時(shí),a1=a2=a3=, S3=3a1=,顯然成立; 當(dāng)q≠1時(shí),由題意,得 所以 由①②,得=3,即2q2-q-1=0, 所以q=-或q=1(舍去).當(dāng)q=-時(shí),a1==6. 綜上可知,a1=或a1=6. 7.4 解析 若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立; 當(dāng)x>0即x∈(0,1]時(shí),f(x)=ax3-3x+1≥0可化為 a≥-. 設(shè)g(x)=-,則g′(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減, 因此g(x)max=g=4,從而a≥4; 當(dāng)x<0即x∈[-1,0)時(shí), f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≤-, 令g(x)=-,g′(x)=>0,g(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增, 因此g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上得a=4. 8.6 解析 輸入n=50,由于i=1,S=0, 所以S=20+1=1,i=2,此時(shí)不滿足S>50; 當(dāng)i=2時(shí),S=21+2=4,i=3,此時(shí)不滿足S>50; 當(dāng)i=3時(shí),S=24+3=11,i=4,此時(shí)不滿足S>50; 當(dāng)i=4時(shí),S=211+4=26,i=5,此時(shí)不滿足S>50; 當(dāng)i=5時(shí),S=226+5=57,i=6,此時(shí)滿足S>50,因此輸出i=6. 9.解 (1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-, 由題意得4+=5,所以p=2, 所以拋物線的方程為y2=4x. (2)由題意知,圓M的圓心為點(diǎn)(0,2),半徑為2. 當(dāng)m=4時(shí),直線AK的方程為x=4, 此時(shí),直線AK與圓M相離; 當(dāng)m≠4時(shí),由(1)知A(4,4), 則直線AK的方程為:y=(x-m), 即4x-(4-m)y-4m=0, 圓心M(0,2)到直線AK的距離 d=, 令d>2,解得m>1. 所以,當(dāng)m>1時(shí),直線AK與圓M相離; 當(dāng)m=1時(shí),直線AK與圓M相切; 當(dāng)m<1時(shí),直線AK與圓M相交. 10.解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞), f′(x)=(x>0). 若a≤0,則f′(x)>0,f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間[0,+∞). 若a>0,令f′(x)=0,得x=, 當(dāng)0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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