《高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 5.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5.2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 5.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5.2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法教材基礎(chǔ)素材 北師大版選修2-2（通用）（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法 高手支招1細(xì)品教材 一、復(fù)數(shù)的乘法 1.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i. 顯然,兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù). 【示例1】 計算(-2-i)(3-2i)(-1+3i). 解:先將(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面兩式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再將所得積與最后一式相乘,得5-25i. 狀元筆記 復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的,只是在運(yùn)算過程中要把i2換成-1,然后把實(shí)部與虛部分別合并. 【示例2

2、】 計算(a+bi)(a-bi). 思路分析:利用復(fù)數(shù)乘法法則直接得出結(jié)果. 解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2. 2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律 復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律: 即對任何z1,z2,z3∈C,有: (1)交換律:z1·z2=z2·z1 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,則 z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a2a1+a2b1i+

3、a1b2i+b2b1i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i, ∴z1z2=z2z1. (2)結(jié)合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,則 (z1·z2)·z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3］+［(a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3］i=（a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b1a2a3

4、-b2a1a3-b3a1a2)i; z1·(z2·z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i］ =［(a2a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1］+［(a2a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1］i =(a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i. (3)乘法對加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 證明:設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，則 z1·(z2+

5、z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i z1·z2+z1·z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i 3.負(fù)數(shù)的平方根 由于(-i)2=i2=-1,這表明,i和-i是-1的兩個平方根,或者說,方程x2+1=0有兩個根i和-i,這樣,負(fù)數(shù)就可以開平方了. 4.共軛復(fù)數(shù) (1)我們把實(shí)部相等,虛部

6、互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù) z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作,即=a-bi. 【示例】 (2020北京春季高考,理1)i-2的共軛復(fù)數(shù)是( ) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 思路分析:本題考查復(fù)數(shù)及共軛復(fù)數(shù)的概念,應(yīng)首先分清誰為虛部,誰為實(shí)部;其次,互為共軛的復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù). 答案:D (2)當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0時,z==a,也就是說,實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身.反過來也成立,即如果復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,那么z∈R. (3)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):①兩個共

7、軛復(fù)數(shù)z,的積是一個實(shí)數(shù),這個實(shí)數(shù)等于每一個復(fù)數(shù)的模的平方,即z·=|z|2=||2=a2+b2;②=z1+z2;③=;④（）=（z2≠0). 5.復(fù)數(shù)的乘方 (1)復(fù)數(shù)的乘方是相同復(fù)數(shù)的積.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律,實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,即對任何z1，z2，z3∈C及m,n∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n. 【示例】 設(shè)ω=+i,求證:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1. 思路分析:要證明1+ω+ω2=0和ω3=1,須先求出ω2,再由ω2ω求出ω3. 證明：(1)因?yàn)棣?=（+i)2=-i-=-i, 所以

8、,1+ω+ω2=1+（+i）+（-i）=0. (2)ω3＝ω2ω=(-i)(+i)=( )2-(i)2=+=1. (2)在計算復(fù)數(shù)的乘方時,要用到虛數(shù)單位i的乘方,對于i的正整數(shù)指數(shù)冪,易知:i1=i,i2=-1,i3=i2·i=-i,i4=(i2)2=1. 一般地,如果n∈N*,我們有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. 【示例】 復(fù)數(shù)z=1+i+i2+i3+…+i2020的值為( ) A.0 B.1 C.i D.1+i 思路分析:本題初看起來是一個等比數(shù)列的求和,故按等比

9、數(shù)列求和公式可解之;然而,本題除此法外,還有一種簡捷解法,即利用i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,將其中的連續(xù)的4倍數(shù)項(xiàng)去掉,然后化簡.由于z=1+i+i2+i3+…+i2 006共有2 007項(xiàng),故將后面的2 004項(xiàng)去掉,余下前三項(xiàng),即z=1+i+i2+0=i. 答案:C 二、復(fù)數(shù)的除法 1.復(fù)數(shù)除法的定義 我們把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商,記作或(a+bi)÷(c+di). 狀元筆記 復(fù)數(shù)除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算;復(fù)數(shù)集合對乘法、除法(除數(shù)不為零)運(yùn)算封閉,即兩復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的結(jié)果仍為復(fù)數(shù).進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時,通常進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化,即先將兩個復(fù)數(shù)相除寫成分?jǐn)?shù)形式,然后將分子與分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡,這樣可使運(yùn)算簡化. 2.復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算 一般地,我們有=. 由于c+di≠0,所以c2+d2≠0.可見,兩個復(fù)數(shù)的商仍是一個復(fù)數(shù). 【示例】 計算. 思路分析:將的分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3+4i,使分母有理化,進(jìn)而化簡. 解: =. 高手支招2基礎(chǔ)整理 本節(jié)內(nèi)容主要闡述了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中的乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算,復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義.本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)如下: