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1、第7講 空間向量的應用 隨堂演練鞏固 1.設平面的法向量為（1，2，－2），平面的法向量為（－2，－4，k），若//則k等于（ ） A.2 B.－4 C.4 D.－2 【答案】C 【解析】∵∥ ∴(－2， ∴ ∴k=4. 2.如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=(0，2，1)，b那么這條斜線與平面的夾角是( ) A.90 B.60 C.45 D.30 【答案】D 【解析】cos因此a與b的夾角為30. 3.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(2

2、，3，1) 的重心坐標為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】△ABC的重心坐標為. 4.如圖平面AC=則二面角APBC的余弦值大小為 . 【答案】 【解析】 以C為原點,CA為x軸,CB為y軸建立空間直角坐標系Cxyz, 因為A(1,0,00,0),P(1,0,1), ∴=(0,0,1), 設平面APB的法向量為n平面PBC的法向量為n 則 ∴nn. ∴cosnn. ∴二面角APBC的余弦值為. 5.(2020安徽懷寧檢測)在空間直角坐標系中，定義:平面的一般方程為:Ax+

3、By+Cz+D=0R，且A，B，C不同時為零)，點到平面的距離為:則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側面的距離等于 . 【答案】 【解析】如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系O—xyz，則A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，設平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0，將以上3個坐標代入計算得A=0，B= ∴ 即2y+z－2=0，∴ 課后作業(yè)夯基 基礎鞏固 1.(2020北京西城檢測)下列命題中，正確命題的個數為…( )

4、① 若nn分別是平面的法向量，則n∥n∥; ②若nn分別是平面的法向量，則nn;③若n是平面的法向量，a與共面，則na=0; ④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】:C 【解析】①中平面可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，易知②③④正確，故選C. 2.正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為( ) A.75 B.60 C.45 D.30 【答案】C 【解析】如圖，四棱錐P—ABCD中，過P作平面ABCD于O，連結AO，則AO是AP在底面ABCD上的射影， ∴

5、即為所求線面角， ∵ ∴cos. ∴，即所求線面角為45. 3.在空間直角坐標系O—xyz中，平面OAB的法向量為n=(2，－2，1)，已知P(－1，3，2)，則點P到平面OAB的距離d等于( ) A.4 B.2 C.3 D.1 【答案】B 【解析】. 4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則平面ABC的一個單位法向量是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】:設平面ABC的一個法向量為n=(x，y，z)，則n，n， 于是n=0，n=0， ∵=(－1，1，0)，=(－1，0，1)， ∴

6、 取z=1，則x=y=z=1. ∴n=(1，1，1)，故所求平面ABC的一個單位法向量為. 5.已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n則l與所成的角為 …( ) A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】 A 【解析】 ∵ ∴sin||. 又∵直線與平面所成角滿足0,∴. 6.已知長方體-中是側棱的中點,則直線AE與平面所成角的大小為( ) A.60 B.90 C.45 D.以上都不正確 【答案】 B 【解析】 ∵E是的中點且1, ∴. 又在長方體ABCD-中平面∴. ∴平面.

7、故所求角為90. 7.已知在長方體-中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點到截面的距離是 ……( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如圖,以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz, 則A(2 設平面的法向量為n=(x,y,z), 則 即 解得x=2z且y=-2z,不妨設n=(2,-2,1), 設點到平面的距離為d, 則. 8.(2020海南?？跈z測)正方體-中,二面角A的大小為( ) A.60 B.30 C.120 D.150 【答案】 C 【解析】 以D為坐標原點建立空間直角坐標系,如

8、圖. 設 (1B(1,1,0)C(0,1,0),則=(-1,1,0)為平面的一個法向量. 設n=(x,y,z)為平面的一個法向量. 則nn=0, 又=(0,1,0), ∴ ∴ ∴n=(1,0,1). 令x=1,則z=1. ∴cos,n. ∴,n,即二面角的大小為120. 9.與A(－1，2，3)，B(0，0，5)兩點距離相等的點滿足的等式為 . 【答案】2x－4y+4z－11=0 【解析】設到A 兩點距離相等的點位 由|PA|=|PB|，即 整理得:2x－4y+4z－11=0. 10.長方體-中E為的中點,則

9、異面直線與AE所成角的余弦值為 . 【答案】 【解析】 以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1. =(-1,2,1), cos. 11.如圖,正方體-的棱長為2,M,N分別是的中點,則直線與平面BDM所成角的正弦值為 . 【答案】 【解析】 以D為坐標原點,分別以,的方向為x軸 、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系， 如圖,則N(0 又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),則=(2,2,0), =(0,1,2), 可得平面BDM的一個法向量n=(2,-2

10、,1),因為cosn 故直線與平面BDM所成角的正弦值是. 12.如圖，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E (1)試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由; (2)求異面直線AB與DE所成角的余弦值; (3)求二面角BACD的余弦值. 【解】(1)以D為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系， 則D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0. ∴=(a，0，－a)， 從而， ∴∥，又平面平面DEF， 故AB∥平面DEF. (2)∵∥，∴即為異面直線AB與DE所成的角. ∵ ∴cos. ∴

11、異面直線AB與DE所成角的余弦值為. (3)∵=(a，0，0)為平面ACD的一個法向量， 設n=(x，y，z)為平面ABC的一個法向量， 則n=ax－az=0，n 取z=1，則. ∴n 從而cos. 所以二面角BACD的余弦值為. 13.如圖甲,在直角梯形ABCD中,AB∥,AB=2,AD=3,CD=1,點E 、F分別在AD、BC上，且AE=AD,BF=.BC.現(xiàn)將此梯形沿EF折至使的位置(如圖乙). (1)求證:平面ABCD; (2)求點B到平面CDEF的距離; (3)求直線CE與平面BCF所成角的正弦值. 【解】 (1)證明:由題意知:A

12、E=1 ∴. ∴,即. 又∴平面ABCD. (2)作于點K. ∵,∴AB∥EF. 又平面平面CDEF,∴AB∥平面CDEF. ∴點B到平面CDEF的距離即為點A到平面CDEF的距離.∵ ∴平面AED,∵平面AED, ∴. 又∴平面CDEF. ∴AK的長即為點B到平面CDEF的距離. 在Rt△ADE中 ∴點B到平面CDEF的距離為. (3)以點A為坐標原點,AD C(,E(0,0,1), -1,1),設平面BCF的法向量n=(x,y,z), 由 得n. 設直線CE與平面BCF所成的角為 則sin.

13、 所以直線CE與平面BCF所成角的正弦值為. 14.(2020福建廈門月考)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且AD=. (1)求證:AE∥平面DCF; (2)設當取何值時,二面角AEFC的大小為? 【解】 (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥DC. 又BE∥ ∴平面ABE∥平面DCF. 又平面ABE,∴AE∥平面DCF. (2)過點E作交CF于點G, 由已知可得:EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD, ∴.又EF=2,∴GF=1. ∵四邊形ABCD是矩形,∴. ∵∴. 又平面平面BEFC,平面平面BEFC=BC,∴平面ABCD.∴. ∴以C為原點,CB 設BE=m,由得. ∴F(0,0,m+1), ∴ . 設平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 由n=0, n=0,得 ∴ 令可得平面AEF的一個法向量n. 又是平面CEF的一個法向量, ∴cos即. 解得 ∴當時,二面角AEFC的大小為.