《內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六講 解析幾何 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六講 解析幾何 理（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來，如有侵權(quán)請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負(fù)責(zé)傳遞知識。 內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第六講 解析幾何（理科） 曲線與方程是解析幾何的基本概念,在近年的高考試題中,重點考查曲線與方程的關(guān)系,考查曲線方程的探求方法,多以綜合解答題的第⑴小題的形式出現(xiàn),就這部分考題來說,屬于中檔題,難度值一般在之間. 考試要求 ⑴了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系. ⑵掌握一般曲線(點的軌跡)方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程. 題型1 曲線與方程 例 設(shè)方程的解集非空.如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上”不正

2、確,給出以下四個命題：①曲線上的點的坐標(biāo)都滿足方程；②坐標(biāo)滿足方程的點有些在上,有些不在上；③坐標(biāo)滿足方程的點都不在曲線上；④一定有不在曲線上的點,并且其坐標(biāo)滿足方程.那么正確命題的個數(shù)是( ). A. B. C. D. 點撥：直接用定義進行判斷. 解：“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上” 不正確,意味著“坐標(biāo)滿足方程的點不都在曲線上”是正確的,即一定有不在曲線上的點,并且其坐標(biāo)滿足方程,∴④正確；曲線上的點的坐標(biāo)可以有不滿足方程的,∴①錯；若只有一解,則知②錯

3、；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③錯.故選A. 易錯點：定義把握不準(zhǔn)確,關(guān)鍵字詞認(rèn)識不到位,概念理解不深刻,均有可能錯選其它選項. A. C. B. D. 圖 變式與引申：⑴方程的曲線形狀是( ). ⑵已知定點不在直線：上,則方程表示一條( A ). A.過點且平行于的直線 B.過點且垂直于的直線 C.不過點但平行于的

4、直線 D.不過點但垂直于的直線 題型2 代入法(相關(guān)點法)求曲線方程 例 已知點,點、分別在軸、軸上,且,,當(dāng)點在軸上運動時,求點的軌跡方程. 點撥：由確定與的坐標(biāo)關(guān)系,由建立動點與、的坐標(biāo)關(guān)系,用代入法求軌跡方程. 解：設(shè),,,又,則,,.由,得 ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,∴,當(dāng)時,三點、、重合,不滿足條件,∴,故點的軌跡方程為. 易錯點：忽視軌跡方程中的. 圖 變式與引申：⑴已知為坐標(biāo)原點,點、分別在軸、軸上運動,且,動點滿足,求動點的軌跡方程. ⑵如圖,從雙曲線上一點引直線的

5、垂線,垂足為, 求線段的中點的軌跡方程. 題型3 待定系數(shù)法、直接法求曲線方程 例 (2020年海南理卷第20題)已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點,焦點在軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是和. ⑴求橢圓的方程； ⑵若為橢圓上的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 點撥：問題⑴用待定系數(shù)法求橢圓的方程；問題⑵可將點、的坐標(biāo)代入滿足的關(guān)系式中,得到點的軌跡方程(含參數(shù)),最后對進行分類討論,說明其軌跡是什么曲線,并指出變量的取值范圍. 解：⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,半焦距為,則,解得,, ∴.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

6、 ⑵設(shè),其中.由已知及點在橢圓上可得.整理得,其中. ①時,化簡得,所以點的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段. ②時,方程變形為,其中.當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓. 易錯點：第⑵小題中忽視方程的變量的限制；討論方程所表示的曲線時,標(biāo)準(zhǔn)不明確,分類混亂, 會導(dǎo)致錯誤發(fā)生.③討論方程所表示的曲線時,一般是以二次項系數(shù)為零或相等的參數(shù)值來進行分類,做到不重復(fù)不遺漏. 圖 變式與引申：202

7、00423 (2020年浙江理卷第21題)已知橢圓：的右頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為. ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)點在拋物線：上,在點處的切線與交于 點、.當(dāng)線段的中點與的中點的橫坐標(biāo)相等時,求的最小值. 題型4 定義法求曲線方程與實際應(yīng)用問題 川 圖 冰 已 融 化 區(qū) 域 例 (2020年湖南理卷第19題)為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距的、兩點各建一個考察基地.視冰川面為平面形,以過、兩點的直線為軸,線段的的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示).在直線的右側(cè),考

8、察范圍為到點的距離不超過區(qū)域；在直線的左側(cè),考察范圍為到、兩點的距離之和不超過區(qū)域. ⑴求考察區(qū)域邊界曲線的方程； ⑵如圖所示,設(shè)線段,是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線), 當(dāng)冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動, 以后每年移動的距離為前一年的倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間. 點撥：通過審題,構(gòu)建圓與橢圓的數(shù)學(xué)模型,運用圓的知識及橢圓定義求出考察區(qū)域邊界曲線、的方程,但需注意變量的取值范圍.對于第⑵問,先寫出直線、的方程,然后依題意求出與平行、且與曲線相切的直線的方程,再綜合運用平行直線間的距離公式、等比數(shù)列求和公式、解不

9、等式等知識求解. 圖 解：⑴設(shè)考察區(qū)域邊界曲線上點的坐標(biāo)為.當(dāng)時,由題意知.當(dāng)時,由知,點在以、為焦點,長軸長為的橢圓上,此時短半軸長,因而其方程為.故考察區(qū)域邊界曲線的方程為：和：. ⑵設(shè)過點、的直線為,過點、的直線為,則直線、的方程 分別為、.設(shè)直線平行于直線,其方程為,代入 橢圓方程,消去整理得,. 由,解得或.從圖中可以看出,當(dāng)時,直線與的公共點到直線的距離最近,此時直線的方程為.,與之間的距離為.又直線到和的最短距離,∴考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為.設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為年,則

10、由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式,得,∴.故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為年. 易錯點：⑴易出現(xiàn)審題不清,不能將實際問題有效轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；⑵求方程時忽視,求方程時忽視；⑶待定系數(shù)與不能正確取舍. 圖 變式與引申： 某航天衛(wèi)星發(fā)射前,科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設(shè)計方案如圖,航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分,降落點為.觀測點、同時跟蹤航天器. ⑴求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程； ⑵試問：當(dāng)航天器在軸上方

11、時,觀測點、測得離航天器的距離 分別為多少時,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 本節(jié)主要考查： ⑴知識點有曲線與方程的關(guān)系、求曲線(軌跡)的方程； ⑵依據(jù)動點軌跡的幾何條件,運用求曲線(軌跡)方程的方法求軌跡方程的問題,以應(yīng)用題為背景的求曲線方程的問題； ⑶求曲線(軌跡)方程時：①恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,使所求方程更簡單； ②適時利用圓錐曲線的定義,及時運用平面幾何知識,將大大簡化求解運算過程. ⑷解析幾何基本思想(用代數(shù)方法研究幾何問題)、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、應(yīng)用題建模思想以及分析推理能力、運算能力. 點評： ⑴求曲線(軌跡)方程的

12、常用方法有： ①直接法：直接利用動點滿足的幾何條件(一些幾何量的等量關(guān)系)建立,之間的關(guān)系(如例第小題).其一般步驟是：建系設(shè)點、列式、坐標(biāo)代換、化簡、證明(證明或判斷所求方程即為符合條件的動點軌跡方程)； ②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時,可先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),求出曲線的方程(如例第小題)； ③定義法：先根據(jù)條件能得出動點的軌跡符合某種曲線的定義,則可用曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程(如例)； ④代入法(相關(guān)點法)：有些問題中,動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的,并且點在某已知曲線上,這時可先用、的

13、代數(shù)式來表示、,再將、的表達式代入已知曲線,即得要求的動點軌跡方程(如例及變式). ⑵要注意求曲線(軌跡)方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線(軌跡)的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡)方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程,再根據(jù)方程形式說明或討論(含參數(shù)時)曲線圖形的(形狀、位置、大小)類型.解題時應(yīng)根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答. ⑶在求出曲線(軌跡)的方程時,要注意動點的取值范圍,及時補漏和去除“雜點”,以保證所求曲線(軌跡)方程的完整性. 習(xí)題6-1 .方程的曲線是( ). A.一個點 B.一條直線 C.一個點和一條直線

14、 D.兩條直線 .(2020年天津卷第13題)已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點與拋物線的焦點相同.則雙曲線的方程為. .已知動圓過定點,且與直線相切. ⑴求動圓的圓心軌跡的方程； ⑵是否存在直線,使過點,并與軌跡交于、兩點,且滿足,若存在,求出直線的方程；若不存在,說明理由. .(2020年四川理卷第20題)已知橢圓的左、右焦點分別為、,離心率,右準(zhǔn)線方程為. ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵過點的直線與該橢圓交于、兩點,且,求直線的方程. .(2020年廣東卷第20題改編)已知雙曲線的左、右頂點分別為、,點, 是雙曲線上不

15、同的兩個動點. ⑴求直線與交點的軌跡的方程； ⑵若過點的兩條直線和與軌跡都只有一個公共點,且,求的值. 第二節(jié) 圓錐曲線 圓錐曲線是高考命題的熱點,也是難點.縱觀近幾年的高考試題,對圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時,多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求 ⑴了解圓錐曲線的實際背景；⑵掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑶掌握雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑷掌握拋物線的定義、幾何圖形

16、、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑸了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；⑹掌握數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的思想方法. 題型一 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例 ⑴已知點為橢圓的左焦點,是此橢圓上的動點,是一定點,則的最大值和最小值分別為. ⑵已知雙曲線的虛軸長為,離心率為,、分別是它的左、右焦點,若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,且是與的等差中項,則. 點撥：題⑴可利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題⑵是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì)的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實軸長的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項的知識求的值. 解：⑴設(shè)橢圓右焦點為,則,∴.又 (當(dāng)、、共線時等號成立).

17、又,∴, .故的最大值為,最小值為. ⑵依題意有,解得.∵、在雙曲線的左支上,∴, ,∴.又,. ∴,即.∴. 易錯點：在本例的兩個小題中,⑴正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要,否則求解思路受阻；⑵忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出現(xiàn)解題錯誤；⑶由、、三點共線求出的最值也是值得注意的問題. 變式與引申：⑴已知為拋物線上任一動點,記點到軸的距離為,對于給定的點,的最小值為( ). A. B. C. D. ⑵(2020年浙江理卷第12題)已知、為橢圓的兩個焦點,過

18、 的直線交橢圓于、兩點,若,則. 題型二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 圖 例(2020年江西理卷第21題)設(shè)橢圓：,拋物線：. ⑴若經(jīng)過的兩個焦點,求的離心率； ⑵設(shè),,又,為與不在軸上的兩個交點, 若的垂心為,且的重心在拋物線上,求橢圓和拋物線的方程. 點撥：問題⑴：將的焦點坐標(biāo)代入的方程,得出的關(guān)系式,進而求出的離心率；問題⑵：利用、在拋物線上的對稱性及的垂心、的重心求,進而得坐標(biāo),再利用點在橢圓上求,問題獲解. 解： ⑴由已知拋物線經(jīng)過橢圓的兩個焦點,∴,即,∴, 即橢圓的離心率. ⑵由題設(shè)可知、關(guān)于軸對稱,

19、設(shè),,由的垂心為,有 ,即.又點在拋物線上, ∴,解得或(舍去),∴,∴,,故得 重心坐標(biāo).又的重心在拋物線上,∴,得,∴.又點在橢圓上, 代入橢圓的方程,得,故橢圓方程為,拋物線方程為. 易錯點：不會利用對稱性表示、的坐標(biāo)；記錯重心坐標(biāo)公式；用向量關(guān)系表示垂直條件值得關(guān)注. 變式與引申：⑴求經(jīng)過兩點和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ⑵已知橢圓與直線相交于、兩點,是的中點,若,的斜率為,求橢圓的方程. 題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 圖 例 如圖,已知為橢圓的左焦點,過點作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點、兩點. ⑴若直線的傾斜角為

20、,求證：(為橢圓的離心率)； ⑵若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. 點撥：這是一道過橢圓焦點的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問題,依據(jù)題給條件, 運用三角公式、斜率與傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識可使問題⑴獲證；對于問題⑵則運用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進而求出的取值范圍. ⑴解法：∵,∴,即,又, ∴,故. 解法：依題意直線的分別為,∴點的坐標(biāo)為,故. ⑵解法：∵,∴.將直線代入橢圓,整理得 ,∴,.∵,∴ ,解不等式,得,∴, 故橢圓的離心率的取值范圍為. 解法：運用焦半徑(其中)可得, , ∴,解不等式,得,∴,

21、 故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯點：問題⑴中忽視斜率的正負(fù),會導(dǎo)致的符號出錯；問題⑵中不適時聯(lián)想平幾性質(zhì)或運用焦半徑另一形式(其中),解題思路將受阻. 變式與引申：⑴已知雙曲線：,、為其漸近線,為右焦點,過點作直線且交雙曲線于點,,又過點作軸的垂線與交于第一象限內(nèi)的點. (Ⅰ)用,表示； 圖 (Ⅱ)求證：為定值； (Ⅲ)若,且,試求雙曲線的離心率的取值范圍. ⑵給定拋物線：,過點斜率為的直線與交于,兩點. (Ⅰ)設(shè)線段的中點在直線上,求的值； (Ⅱ)設(shè),,求的取值范圍. 題型四

22、 以圓錐曲線為載體的探索性問題 例(2020年全國2理卷第21題)已知橢圓：的離心率為,過右焦點的直 線與相交于、兩點.當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標(biāo)原點到的距離為. ⑴求、的值； ⑵上是否存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立？若存在,求出所有 的點的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說明理由. 點撥：問題⑴可先寫出的方程,再利用點到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問題⑵是存在性探索問題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標(biāo)化,再綜合運用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存在.但需考慮轉(zhuǎn)動時斜率不存在情形. 解：⑴設(shè),當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,其方程為,點到的距

23、離為, ∴.由,得,. ⑵上存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立.由⑴知的方程為 .設(shè),. ①當(dāng)不垂直軸時,設(shè)的方程為.上的點使成立的充要條件是 的坐標(biāo)為,且,即 .又、在上,∴,,∴ ① 將代入 ,整理得, 于是 ,,.代入①解得,, 此時,于是,即.因此,當(dāng)時,, 的方程為；當(dāng)時,,的方程為. ②當(dāng)垂直于軸時,由知,上不存在點,使成立. 綜上,上存在點使成立,此時的方程為. 易錯點：本題涉及字母較多,思路

24、不清晰,運算能力不強易導(dǎo)致錯解發(fā)生；直線垂直于軸情形易遺漏,需值得注意. 圖 變式與引申：如圖,過點和的動直線與拋物線：交于、兩點(點在、之間),為坐標(biāo)原點. ⑴若,,求的面積； ⑵對于任意的動直線,是否存在常數(shù),總有？ 若存在,求出的值；若不存在,請說明理由. 本節(jié)主要考查：⑴知識點有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)(焦點、 離心率、焦點三角形，焦半徑等)以及這些知識的綜合應(yīng)用；⑵以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、定值問題等相關(guān)的綜合問題；⑶圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、點差法

25、、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問題代數(shù)化” 等解析幾何的基本方法；⑷數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點評：⑴圓錐曲線是解析幾何的重點,也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,同時又是高考的熱點和壓軸點之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(zhì)(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓錐曲線為載體的探索性問題(如例)等. ⑵圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何特征與焦點、離心率相關(guān)的問題,恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題,可避免繁瑣的推理與運算. ⑶求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①定型—

26、—確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；②定位——判斷焦點的位置；③定量——建立基本量、、的關(guān)系式,并求其值；④定式——據(jù)、、的值寫出圓錐曲線方程. ⑷圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考的重點熱點.此類問題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,是高考試題的題源之一,應(yīng)引起重視,注意掌握好這一類問題的求解方法與策略.如對于求離心率的大小或范圍問題,只需列出關(guān)于基本量、、的一個方程(求大小)或找到關(guān)于基本量、、間的不等關(guān)系(求范圍)即可. ⑸求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見問題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再

27、分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進而求之.其列不等式的思路有：①運用判別式或；②點在圓錐曲線內(nèi)部(一側(cè))或外部(另一側(cè))；③利用圓錐曲線的幾何意義(如橢圓中等)；④根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點共線的情況). ⑹解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問題時,通性通法是向量坐標(biāo)化,將一幾何問題變成純代數(shù)問題. ⑺探索性問題是將數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,它要求學(xué)生具有觀察分析問題的能力、具有創(chuàng)造性地運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意,即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā),然后通過歸納,逐步探索待求結(jié)論. 習(xí)題6-2

28、 .已知橢圓中心在原點,左、右焦點、在軸上,、是橢圓的長、短軸端點,是橢圓上一點,且軸,,則此橢圓的離心率是( ). A. B. C. D. .已知點是雙曲線的右支上一點,、分別是圓和上的點,則的最大值為. .(2020年四川理卷第21題)已知定點,,定直線：,不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍.設(shè)點的軌跡為,過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、. ⑴求的方程； ⑵試判斷以線段為直徑的圓是否過點,并說明理由. 圖

29、 .如圖,已知直線：與拋物線：交于、兩點,為坐標(biāo)原點, 且. ⑴求直線和拋物線的方程； ⑵若拋物線上一動點從到運動時,求面積的最大值. .若橢圓：和橢圓：滿足稱這兩個橢圓相似,稱為相似比. ⑴求經(jīng)過點,且與橢圓相似的橢圓方程. ⑵設(shè)過原點的一條射線分別與⑴中的兩個橢圓交于、兩點.(其中點在線段上),求的最大值與最小值. ⑶對于真命題：“過原點的一條射線分別與相似比為的兩個橢圓：和：交于、兩點,為線段上的一點,若、、成等比數(shù)列,則點的軌跡方程為.”請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題,并證明. 第三節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與

30、圓錐曲線的關(guān)系是高考命題的熱點，也是難點.縱觀近幾年的高考試題,一般出現(xiàn)一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度值為0.5～0.7左右;大題通常是高考的壓軸題，難度值為0.3～0.5左右. 考試要求(1) 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,能從代數(shù)與幾何兩個角度深刻理解.(2) 理解弦長公式,并能熟練應(yīng)用.(3)熟練應(yīng)用韋達定理及中點坐標(biāo)公式解答中點弦問題和弦的中點軌跡問題.(4) 掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“存在性”問題,采用“假設(shè)—反證法”或“假設(shè)—驗證法”.（5）.掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 題型一 直線與圓錐曲線的交點問題

31、 例1直線：y=kx+1,拋物線C:，當(dāng)k為何值時與C有：（1）一個公共點；（2）兩個公共點；（3）沒有公共點. 點撥：由直線與拋物線C的方程聯(lián)立得方程組，通過方程的解的個數(shù)來判斷直線與拋物線的公共點的個數(shù). 解：將和C的方程聯(lián)立，消去y得 ① 當(dāng)k=0時，方程①只有一個解.此時. ∴直線與C只有一個公共點（），此時直線平行于拋物線的對稱軸. 當(dāng)k≠0時，方程①是一個一元二次方程，=. （1） 當(dāng)時，即k﹤1且k≠0時，與C有兩個公共點，此時稱直線與C相交; （2） 當(dāng)時,即k=1時，與C有一個公共點，此時稱直線與C相切； （3） 當(dāng)時，即k＞1時，與C沒有公共點，此時

32、稱直線與C相離. 綜上所述，當(dāng)k=1或k=0時，直線與與C有一個公共點；當(dāng)k﹤1且k≠0時，直線與C有兩個公共點；當(dāng)k＞1時，直線與C沒有公共點. 易錯點：（1）忽視對k的討論（）是本題容易出顯的解題錯誤；（2）只有當(dāng)所得關(guān)于x的方程確實為一元二次方程時，才能用判別式判定解的個數(shù)，若所得關(guān)于x的方程的二次項系數(shù)帶有字母時，應(yīng)該進行討論. 變式與引申1: 已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率是( ) A (1,2 B C [2，+∞ D 題型二 直線與圓錐曲線的弦長問題 例2 直線與橢圓交于A、B兩點

33、，記的面積為S. （1）求在，的條件下，面積S的最大值；（2）當(dāng)時，求直線AB的方程. 點撥:(1)聯(lián)立方程組解出A、B兩點的坐標(biāo),求出的面積,再利用均值不等式求解.(2)根據(jù)已知布列兩個方程組,求出k,b. 解:（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由，解得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值． （2）：由 得， ， ① ． ② 設(shè)點到直線的距離為，則，又因為，所以，代入②式并整理，得，解得，，代入①式檢驗，，故直線的方程是 或或，或 易錯點：（1）忘記均值不等式的應(yīng)用導(dǎo)致寸步難行.（2）忘記弦長公式與點到直線的距離公式導(dǎo)致出錯. 變式與引申2：設(shè)橢圓與直線相交于兩點，點是

34、的中點，若的斜率為求橢圓的方程. 題型三 直線與圓錐曲線的中點弦的問題 例3 已知雙曲線的方程為(1)求以A（2，1）為中點的弦所在直線的方程； (2)以點B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在直線的方程；若不存在，請說明理由. 點撥:（1）利用設(shè)而不求法和點差法構(gòu)建方程，結(jié)合直線的斜率公式與中點坐標(biāo)公式求出斜率.也可設(shè)點斜式方程,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理與中點坐標(biāo)公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要驗證直線與雙曲線是否有交點. 解法1:（1）設(shè)是弦的兩個端點，則有 兩式相減得 ① ∵A（2，1）為弦的中點， ∴ ， 代入

35、①得 ∴.故直線的方程為. （2）假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得 由得 ∵=∴所求直線與雙曲線無交點. ∴以B(1,1)為中點的弦不存在. 解法2 (1)設(shè)所求的直線方程為,易知斜率顯然存在.聯(lián)立方程組得 整理得 ① 設(shè)是弦的兩個端點，則 又是的中點, ,,解得.故直線的方程為.(2) 假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得直線的方程為由得 ∵=∴所求直線與雙曲線無交點. ∴以B(1,1)為中點的弦不存在. 易錯點：存在性問題的結(jié)果通常是難以預(yù)料的，解答時先假設(shè)滿足條件的直線存在,然后依題意求得結(jié)果，但要注意這不是充要條件，因此最后要進行檢驗,否則就會出

36、錯. 變式與引申3：已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F，直線與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ） A B C D 題型四：存在性的問題. 例4.若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的取值范圍. 點撥：設(shè)出對稱點所在直線的方程，根據(jù)該直線與曲線有兩個交點，利用求解.同時要利用中點坐標(biāo)公式找出所設(shè)變量與的關(guān)系. 解：設(shè)拋物線上關(guān)于對稱的兩點為，B(），AB的方程可設(shè)為：. 由 ∴ ① 又， 則AB中點橫坐標(biāo)為， 又由得AB中點橫坐標(biāo)為， 則有， 代入①中得.

37、 易錯點:不曉得設(shè)對稱點所在直線的方程,導(dǎo)致解答本題寸步難行. 找不出所設(shè)變量與的關(guān)系也是導(dǎo)致錯誤的根源. 變式與引申4: 在平面直角坐標(biāo)系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點.(1)若點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；(2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 本節(jié)主要考查:(1)知識點有直線與圓錐曲線相交,相切,相離三種位置關(guān)系, 弦長公式,焦半徑公式,中點坐標(biāo)公式,弦的中點軌跡,中點弦的性質(zhì)等以及這些知識的綜合應(yīng)用.(2)以平面向量,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,應(yīng)用韋達定理,中點坐標(biāo)公式,以及點差法

38、,相關(guān)點法,設(shè)而不求的整體思想等解析幾何的基本方法解決最值問題,定值問題,參數(shù)范圍問題等相關(guān)的問題.(3).數(shù)形結(jié)合思想,等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及邏輯推理能力,運算能力等基本的數(shù)學(xué)能力. 點評:(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重中之重,也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,同時也是高考的熱點之一,主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(如例題1),直線被圓錐曲線截得的弦長(如例題2),及中點的軌跡方程(如例題3),以及探究是否存在性問題(如例題4)等.(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從代數(shù)角度可轉(zhuǎn)化為一個方程的實根個數(shù)來考慮；也可從幾何角度借助圖形的幾何性質(zhì)來研究，這種思維通常較簡便.(3)求弦長時,若過

39、圓錐曲線的焦點可利用焦半徑公式(僅限于理科);若未過焦點可利用弦長公式,并結(jié)合韋達定理求解. (4.)有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“對稱性”問題,一般采用“假設(shè)—反證法”或“假設(shè)—驗證法”，特別要重視直線與圓錐曲線的交點是否存在，即要驗證判別式是否成立.(5)弦的中點軌跡問題.通常有兩種解題思路:利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式求解；利用弦的端點在曲線上,坐標(biāo)滿足圓錐曲線方程,然后把兩個等式對應(yīng)作差,構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,最后求出軌跡.（6）若只有一個交點，并不能說明直線與圓錐曲線相切. 對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙

40、曲線只有一個交點，但不相切.有一個公共點是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件. 習(xí)題6-3 1. (2020山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D. 2.（2020遼寧理數(shù)20）（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線的傾斜角為60o,. 則橢圓C的離心率 ， 如果|AB|=，橢圓C的方程 . 3.（2020廣東卷理）已知曲線與直線交于

41、兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程;（2）若曲線與有公共點，試求的最小值． 4. 設(shè)橢圓的兩個焦點是與，且橢圓上存在點，使. (1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若直線與橢圓存在一個公共點，使得取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；(3)在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為的直線，與橢圓交于不同的兩點，滿足，且使得過點兩點的直線滿足？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由. 5. 如圖，已知拋物線和直線，點在直線上移動，

42、過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，線段的中點為. (1)求點的軌跡； (2)求的最小值. 第四節(jié) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考中是選考內(nèi)容，與不等式選講二個選修模塊進行二選一解答，知識相對比較獨立，與其他章節(jié)聯(lián)系不大，容易拿分.根據(jù)不同的幾何問題可以建立不同的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系選取的恰當(dāng)與否關(guān)系著解決平面內(nèi)的點的坐標(biāo)和線的方程的難易以及它們位置關(guān)系的數(shù)據(jù)確立.有些問題用極坐標(biāo)系解答比較簡單，而有些問題如果我們引入一個參數(shù)就可以使問題容易入手解答，計算簡便.高考出現(xiàn)的題目往往是求曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程間的相互轉(zhuǎn)化，并用極坐標(biāo)方程、

43、參數(shù)方程研究有關(guān)的距離問題，交點問題和位置關(guān)系的判定.難度值控制在0.6左右. 考試要求 1．理解坐標(biāo)系的作用． 2．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化． 3．了解參數(shù)方程． 4．能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，并會簡單的應(yīng)用． 題型一 參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化 例1 (1)判斷點是否在曲線上． (2)點P的直角坐標(biāo)為，則點P的極坐標(biāo)為______．(限定0＜θ≤2) (3)點P的極坐標(biāo)為，則點P的直角坐標(biāo)為______． (4)曲線的參數(shù)方程是(t為

44、參數(shù)，t≠0)，它的普通方程是________． 點撥： 運用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的方法解決有關(guān)極坐標(biāo)的問題和參數(shù)方程與普通方程的互化解決參數(shù)問題. 解：(1)因為，所以點是在曲線上． (2)根據(jù)r 2＝x2＋y2，，得r ＝2，，又點P在第四象限，，所以，所以點P的極坐標(biāo)為 (3)根據(jù)x＝ρ cosq ，y＝r sinq ，得， 所以點P的直角坐標(biāo)為 (4)由得，代入y＝1－t2，得 注意到，所以已知參數(shù)的普通方程為 另一解法:方程可化為 消去t得 易錯點： 由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)時要注意點位于哪一個象限才能確定θ的大小，如(2)，否則，極坐標(biāo)不唯一；參數(shù)的范圍與極角的范

45、圍容易出錯. 變式與引申1： （2020年廣東省揭陽市高考一模試題理科） 設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系的另一直線的方程為，若直線與間的距離為，則實數(shù)的值為 ． 題型二 直線與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 例2 (1)圓r ＝2(cosq ＋sinq )的半徑為______． (2)直線與圓r ＝2sinq 交與A，B兩點，則|AB|＝______． 點撥： 只要知道一些直線與圓的極坐標(biāo)方程的知識．如： ①過極點，傾斜角為a 的直線：q ＝a (r ∈R)或?qū)懗蓂 ＝a 及q ＝a ＋p． ②過A(a，a)垂直于極軸

46、的直線：r cosq ＝acosa ． ③以極點O為圓心，a為半徑的圓(a＞0)：r ＝a． ④若O(0，0)，A(2a，0)，以O(shè)A為直徑的圓：r ＝2acosq ． ⑤若O(0，0)，A(2a，)，以O(shè)A為直徑的圓：r ＝2asinq ． 對于 (2)，可以利用結(jié)論①⑤，作出直線與圓，通過解三角形的方法求|AB｜，當(dāng)然也可以用極坐標(biāo)方程直接解r ，根據(jù)r 的幾何意義求｜AB｜． 解：(1)由r ＝2(cosq ＋sinq )，得r 2＝2r (cosq ＋sinq )， 所以，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2， 所以圓r ＝2(cosq ＋sinq )

47、的半徑為． (2)將直線與圓r ＝2sinq 化為直角坐標(biāo)方程，得 由得，即， 由r ＝2sinq ，變形為r 2＝2r sinq ，得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1， 因為圓的半徑為1，圓心到直線的距離為， 所以 另一解法 直線化為 由 得 或 A(0,0) B(,) = 易錯點：（2）中把直線中的角與圓中的角混淆. 變式與引申2：.設(shè)過原點的直線與圓的一個交點為，點為線段的中點，當(dāng)點在圓上移動一周時，求點軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線. 題型三 直線與圓錐曲線的參數(shù)方程 例3 過P(5，－3)，傾斜角為a ，且的直線交圓x2＋y2＝25于P1、

48、P2兩點． (1)求|PP1|·|PP2｜的值； (2)求弦P1P2的中點M的坐標(biāo)． 點撥： 直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： ①直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2｜； ②定點M0是弦M1M2的中點t1＋t2＝0； ③設(shè)弦M1M2的中點為M，則點M對應(yīng)的參數(shù)值，(由此可求得|M2M|及中點坐標(biāo))． 本題直接用直線的參數(shù)方程代入圓的方程中，然后用韋達定理及中點公式解即可. 解：(1)由已知得 所以直線的參數(shù)方程為…………………①(t為參數(shù)) 代入圓的方程化簡，得…………………② ②的兩個解t1、t2就是P1、P2對

49、應(yīng)的參數(shù)，由參數(shù)的幾何意義及韋達定理知 ｜PP1|·｜PP2|＝|t1|·|t2|＝9． (2)設(shè)M(x，y)為P1P2的中點，則點M對應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)?shù)方程， O D C B A x y 得所以 易錯點：(1) 參數(shù)角的范圍容易搞錯;(2) 不容易想到用參數(shù)求中點坐標(biāo). 變式與引申3：（2020年全國新理）已知直線C1（t為參數(shù)），圓C2（為參數(shù)）， （1）當(dāng)=時，求C1與C2的交點坐標(biāo)； （2）過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線. 題型四 極坐標(biāo)在圓錐曲線中的應(yīng)用 例4 拋物線y2=4p

50、(x+p)(p>0)中過原點且互相垂直的二直線分別交拋物線于A、B和C、D，試求|AB|+|CD|的最小值. 點撥：如果設(shè)AB所在直線方程y=kx,則CD方程y=-x，代入拋物線方程，可求出弦|AB|、|CD|的最小值.這樣的解法運算量較大.但如果注意到原點即為拋物線的焦點坐標(biāo)，那么用圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程求解十分快捷. 解 拋物線的焦點即為O(0,0)，設(shè)其極坐標(biāo)方程為ρ=，又設(shè)各點的極坐標(biāo)分別為A（ρ1，α）、B（ρ2，α+π）、C（ρ3，α+π）、D（ρ4，α+π）， 則|AB|+|CD|=ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=

51、+ + += + = ， 故當(dāng)α= 時，|AB|+|CD|有取小值勤16p. 另一解法 也可以設(shè)直線AB的斜率為k,分別求出、，再求出|AB|、|CD|關(guān)于k的函數(shù),再求出函數(shù)的最大值. 易錯點：（1）拋物線的焦點坐標(biāo)弄錯；（2）想不到用極坐標(biāo)解題. 變式與引申4：過橢圓的左焦點F作互相垂直的兩條弦AB和CD. (1)求證為定值; (2)求|AB|+|CD|的最小值. 本專題涉及極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識，參數(shù)方程的概念以及直線、圓、橢圓的參數(shù)方程．這部分內(nèi)容既是解析幾何的延續(xù)，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)． 本節(jié)主要考查: (1).本節(jié)中的重要

52、內(nèi)容是極坐標(biāo)和參數(shù)方程, 特別是直線、圓、橢圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程是考查的重點.(2) 參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標(biāo)方程. 是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式樣; 對于某些曲線用參數(shù)方程比用普通方程表示更方便、更直觀，是研究曲線的有力工具.(3) 解決極坐標(biāo)或參數(shù)方程的問題.主要方法是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程或普方程. 點評（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的條件是：極點與原點重合，仍軸與x軸正半軸重合，長度單位一致. 在求得極坐標(biāo)方程要注意極角的取值范圍.(2) 對于三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用, 要弄清對不同的圓錐曲線的定點與定直線的位置,以及p,pe,e的幾何意義

53、. 運用三種圓錐曲線的統(tǒng)一要的極坐標(biāo)方程解題時,要注意雙曲線的極坐標(biāo)方程中存在著＜0的情況.(3) 求圓錐曲線的軌跡方程,同直角坐標(biāo)系一樣,求曲線的極坐標(biāo)方程也有直接法、代入法、參數(shù)法等.(4) 在參數(shù)方程與直角坐標(biāo)互化過程中要注意互化的前后曲線的范圍不發(fā)生變化,解題時參數(shù)有多種選法,適當(dāng)選擇參數(shù)有利于解題.(5) 應(yīng)用參數(shù)方程解題可運用代入法、代數(shù)變換法、三用消去法消參等，但要注意方程之間的等價性，求動點的軌跡方程其結(jié)果要化成普通方程. 習(xí)題 6--4 1. (1) 極坐標(biāo)方程表示的曲線為 （ ） A．一條射線和一個圓

54、 B．兩條直線 C．一條直線和一個圓 D．一個圓 (2)（2020年福建理）設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點的個數(shù)為 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4 2.(1) 直線為參數(shù)被圓截得的弦長為______________. (2)（2020年天津理）已知圓C的圓心是直線與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為 3.從極點引一條直線和圓相交于一點，點分線段 成比，求點在圓上移動時，點的軌跡方程，并

55、指出它表示什么曲線. 4．已知點M(2，1)和雙曲線，求以M為中點的雙曲線右支的弦AB所在直線的方程． 5．（2020年遼寧理）已知P為半圓C：（為參數(shù)，）上的點，點A的坐標(biāo)為（1,0），O為坐標(biāo)原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為 （I）以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)； （II）求直線AM的參數(shù)方程. 第五節(jié) 解析幾何的綜合應(yīng)用 高考試題中，解析幾何試題的分值一般占20％左右，選擇、填空、解答三種題型均有．選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的運用；解答題多以壓軸題的形式出現(xiàn).

56、難度值跨度比較大，在0.3～0.8之間. 以圓錐曲線為載體的解答題的題型設(shè)計主要有三類：（1）圓錐曲線的有關(guān)元素計算、關(guān)系證明或范圍的確定；（2）涉及與圓錐曲線平移與對稱變換、最值或位置關(guān)系的問題；（3）求平面曲線（整體或部分）的方程或軌跡． 考試要求 （1）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題；了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法．（2）了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線的簡單性質(zhì)，會用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

57、程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題．（4）了解極坐標(biāo)系，了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法；了解簡單圖形的極坐標(biāo)方程．會進行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化． 題型一：圓錐曲線的定義及應(yīng)用 M 例1如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 點撥：利用雙曲線的定義及直角三角形面積的兩種表示形式，建立方程組再求解. 解 連AF1，則△AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長為2c.令由雙曲線的定義及直角三角形性質(zhì)知：. ∵. ∵e﹥1，∴取.

58、選D. 本題若先求出點A的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程也可求出. 易錯點：（1）正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要，否則解題思路受阻.（2）由直角三角形面積的兩種表示形式得出關(guān)系式是值得注意的問題. 變式與引申1 雙曲線=1(b∈)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________. （2）給定A（-2，2），已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是左焦點，當(dāng)取得最小值時，則點坐標(biāo)是___________. 題型二：圓錐曲線方程的應(yīng)用 例2設(shè)拋物線過定點，且以直線為準(zhǔn)線． （1）求拋物線頂點的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于

59、不同的兩點，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍． y B B＇ Ｍ Ｎ Ｐ 點撥：求的取值范圍，主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個有關(guān)參量的不等式． o x 解：（1）設(shè)拋物線的頂點為，則其焦點為．由拋物 線的定義可知：． 所以，． 所以，拋物線頂點的軌跡的方程為： ． （2）設(shè)弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：． 兩式相減得： 又由于，代入上式得：． 又點在弦MN的垂直平分線上，所以，．所以，． 由點在線段BB’上（B’、B為直線與橢圓的交點，如圖），所以，． 也即：．所以， 本題還可

60、以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系先求出K的取值范圍，再求的取值范圍 易錯點：：（1）求出拋物線頂點的軌跡方程而忽視限制條件是易錯點之一 （2）涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法． 變式與引申2：已知=(x,0)，=(1，y) (1)求點P(x，y)的軌跡C的方程； (2)若直線：y=kx+m(km≠0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍. 題型三：圓錐曲線中的最值問題 例3如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA

61、相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程和△AMN的最大面積 點撥：設(shè)出的方程y=x+m,與拋物線組成聯(lián)立方程組，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及點到直線的距離公式求出面積.再利用均值不等式. 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直線l與 拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0) 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m

62、，x1·x2=m2,∴|MN|=4 點A到直線l的距離為d= ∴=2(5+m),從而 ∴,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時取等號 故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8 本題還可以用消去x得關(guān)于的一元二次方程求解，用求導(dǎo)的方法求面積的最大值. 易錯點：（1）設(shè)出l的方程為y=x+m時，忽視參數(shù)的取值范圍是易錯點之一. （2）在應(yīng)用均值不等式時，忽視均值不等式的條件“一正、二定、三相等”的相等條件是易錯點之二. 變式與引申3：已知O為坐標(biāo)原點，P()()為軸上一動點，過P作直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)S△AOB=，試問：為何值時，t取得最小值，并求

63、出最小值. 題型四：圓錐曲線中的探索性問題 (新替換題)例4 已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸的正半軸上,直線與拋物線相交于、兩點,且. ⑴求拋物線的方程； ⑵在軸上是否存在一點,使為正三角形？若存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由. 點撥：第⑴問依據(jù),運用弦長公式得到含參數(shù)的關(guān)系式,進而求拋物線的方程；第⑵問從假設(shè)點在軸上出發(fā),利用正三角形性質(zhì)求出點的坐標(biāo),再進行判斷. 解：⑴設(shè)所求拋物線的方程為,由,消去,得. 設(shè),,則,.∵,∴,即,整理得,解得或(舍去). 故所求拋物線的方程為. ⑵設(shè)的中點為,由⑴知,∴,,故. 假設(shè)在軸上存在一點,

64、使為正三角形,則,∴,即,解得.∴,.又∵,矛盾,故在軸上不存在點,使為正三角形. 易錯點：①第⑴問求出值后,不舍去；②第⑵問中求出點坐標(biāo)后,便得出在軸上存在點滿足題設(shè). 變式與引申4：（05遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點分別 是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段 F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （Ⅰ）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明； （Ⅱ）求點T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由. 本節(jié)主要考查：（1）考查圓錐曲線的基本概念、

65、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等知識及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn).高（2）．直線與二次曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的綜合問題:常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題視角新穎，常見的性質(zhì)、基本概念、基礎(chǔ)知識等被附以新的背景，以考查學(xué)生的應(yīng)變能力和解決問題的靈活程度.（3）．在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注意對數(shù)學(xué)思想與方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，強調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，注重試題的層次性，堅持多角度、多層次的考查，合理調(diào)控綜合程度.（4）．對稱問題、軌跡問題、多變量的范圍問題、位置問題及最值問題也是本節(jié)的幾個熱點問題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢. （5）圓錐

66、曲線是高考命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法. 點評：（1）在解答有關(guān)圓錐曲線問題時，首先要考慮圓錐曲線焦點的位置，對于拋物線還應(yīng)同時注意開口方向，這是減少或避免錯誤的一個關(guān)鍵，同時勿忘用定義解題.（2）在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進行判.但對直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線的漸近線平行時，不能使用判別式，為避免繁瑣運算并準(zhǔn)確判斷特殊情況，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.并通過圖形求解.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.（3）求圓錐曲線方程通常