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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù)

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1、2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第十六講銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學家和古代中國數(shù)學家為了測量的需要,他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論:在兩個大小不同的直角三角形中,只要有一個銳角相等,那么這兩個三角形的對應邊的比值一定相等.正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究,1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學家歐拉的應用,才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式. 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系,是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一,有以下豐富的性質(zhì): 1.單調(diào)性; 2.互余三角函數(shù)間的關(guān)系; 3.同角三角函數(shù)間的關(guān)系. 平方關(guān)系:sima+cos2a=1;商數(shù)關(guān)

2、系:tga=,ctga=;倒數(shù)關(guān)系:tgactga=1. 例題求解】 【例1】已知在AABC中,ZA、ZB是銳角,且sinA=,tanB=2,AB=29cm, △ABC 思路點撥過C作CD丄AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值. 注:設△ABC中,a、b、c為ZA、ZB、ZC的對邊,R為AABC外接圓的半徑,不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論: (1) S二丄besinA=丄acsinB=丄absinC; △ABC222 (2). 【例2】 A. 如圖,在△

3、ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,BC=1,則AC=() B.C.0.3D. 思路點撥由15°構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化. 注:(1)求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形. (2)求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應線段比,有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換 【例3】如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,過BC的中點D作DE丄AB于 E,連結(jié)CE,求sinZACE的值. 思路點撥作垂線把ZACE變成直角三角形的一個銳角,將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比. 【例4】如圖,在△ABC中,

4、AD是BC邊上的高,tanB=cosZDAC, (1) 求證:AC=BD; (2) 若sinC=,BC=12,求AD的長. 思路點撥(1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比,利用比例線段證明(2)sinC=,引入?yún)?shù)可設AD=12,AC=13. 【例5】已知:在RtAABC中,ZC=90°,sinA、sinB是方程的兩個根. (1) 求實數(shù)、應滿足的條件; (2) 若、滿足(1)的條件,方程的兩個根是否等于RtAABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點撥由韋達定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式,注意判別式、三角函數(shù)值的有界性,建 立嚴密約束條件的不等式,才能準確求出實數(shù)、應滿足的條件. 學歷訓練

5、 1. 已知a為銳角,下列結(jié)論①sina+cosa=l;②如果a>45°,那么sina>cosa;③如 果cosa>,那么a〈60°;④.正確的有. 2. 如圖,在菱形ABCD中,AE丄BC于E,BC=1,cosB,則這個菱形的面積為 3. 如圖,ZC=90°,ZDBC=30°,AB=BD,利用此圖可求得tan75°=. 4.化簡 (1)=. (2)sin2l°+sin22°+???+sin288°+sin289°=. 5?身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽?三人放出風箏線長、線與地面夾角如下 表(假設風箏線是拉直的),則三人所放的風箏中() A.甲的最高B.丙的

6、最高C.乙的最低D.丙的最低 學 狀 甲 乙 丙 放出風箏線長(H1) 100 10Q 90 線與地面夾角(°) 40 45 60 6. 已知sinacosa二,且0°

7、10. 如圖,D是厶ABC的邊AC上的一點,CD=2AD,AE丄BC于E,若BD=8,sinZCBD=,求AE的長. 11. 若0°

8、A.2B.C.1D. 16.如圖,在△ABC中,ZA=30°, tanB=,AC=,則AB的長是( A.B.C.5D. 17.己在△ABC中,a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊,且c=,若關(guān)于的方程 (5、;3+b)x2+2ax+(5*3-b)=0有兩個相等的實根,又方程的兩實根的平方和為6,求厶ABC 的面積. 18. 如圖,已知AB=CD=1,ZABC=90°,ZCBD°=30。,求AC的長. 19. 設a、b、c是直角三角形的三邊,c為斜邊,n為正整數(shù),試判斷與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 20. 如圖,已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動. (1)當厶ABC滾

9、動一周到△A1B1C]的位置,此時A點所運動的路程為,約為(精確到 0.1,n=3.14) (2滾動240°,C點的位置為C",^ABC滾動480°時,A點的位置在A",請你 利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(a+B)=(tana+tanp)三(1-tana?tanp),求出ZCAC"+ZCAA"的度數(shù). 參考答案 固銳角三角函數(shù) 【例題求解】 145BJD=r?=孚加,二AD=a/AC2_CI?=\Z(13yn)2(5m)2—12zw,從而得AB=AD+BD=12m-ym= 2Z£ 魯耐,由29=ym,得耐=2,CD=10,Sg=*AB?CD=1

10、45.選B作ZBAD=15°,交BC于D,則AD二BD,ZADC=30°. 過E作EF±BD于F.設BE=a.則BD=CD=2Qa,BC=4y?a?DF=EF=^=QsCF=CD十DF=3竝a?CE= 2應,cosZECF=^=sinZACE. (l)tanB=箸,cosZ?C=第,???器=器,...AC=BD;⑵由sinC=||,可設AD=】2虹則AC=13趴...CDT. 又由(1)知BD=AC=13&,.113上+5方=12,得k=—& (1)p、g應滿足以下條件 4心0 sinA+sinB=—p sinA?sinB=g 1OVsinAVl 0

11、in2A+cos2A=1, 7><0 由此推得^0<9

12、條件得ZC=9O° [jrc;當兀=2時,有a2+b2=c2i當川孑3時+證明如下;VsinA=—,cosA=—,0

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