《2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第二十六講 開放性問題評說》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第二十六講 開放性問題評說（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2019-2020年九年級數學競賽輔導講座第二十六講開放性問題評 一個數學問題的構成含有四個要素：題目的條件、解題的依據、解題的方法、題目的結論，如果題目所含的四個要素是解題者已經知道，或者結論雖未指明，但它是完全確定的，這樣的問題就是封閉性的數學問題． 開放性問題是相對于封閉性問題而言，從所呈現問題的方式看，有下列幾種基本形式：1．條件開放題稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題，解題時需執(zhí)果尋因，根據結論和已有的已知條件，尋找使得結論成立的其他條件． 2．結論開放題稱結論不確定或沒有確定結論的開放性問題為結論開放題，解題時需由因導果，由已知條件導出相應結論． 3．判

2、斷性開放題稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質的數學對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題，解題的基本思路是：由已知條件及知識作出判斷，然后加以證明． 【例題求解】 【例1】如圖，00與OOx外切于點T,PT為其內公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點，AB與PT相交于點P,根據圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結論，并加以證明． 思路點撥為了能寫出更多的正確結論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關系，角的 關系、三角形的關系及由此推出的相應結論． 注：明確要求將數學開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情．開放性問題沒有

3、明確的目標和解題方向，留有極大的探索空間． 解開放性問題，不具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調配合起來，把直覺發(fā)現與邏輯推理相互結合起來，把一般能力和數學能力同時發(fā)揮出來．杭州市對本例評分標準是以正確結論的難易程度為標準靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性． 【例2】如圖，四邊形ABCD是00的內接四邊形，A是B1T的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E． (1) 求證：AB?DA=C0?BE； (2) 若點E在CB延長線上運動，點A在BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變，問具備什么條件使原結論成立?(要求畫出示意圖，注明

4、條件，不要求證明) 思路點撥對于(2),能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結論AB?DA=CD?BE成立，即要證△ABEs^CDA，已有條件ZABE=ZCDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到. 注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結論并不惟一．故解開放性問題，應盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質，切忌入寶山而空返． 【例3】⑴如圖1,若00與00外切于A,BC是00與00外公切線，B、C為切點，求證:1212 AB丄AC. (2) 如圖2,若00與00外離，BC是00與00的外公切線，B、C為切點，連心線00 121212分別交0

5、0、00于M、N，BM、CN的延長線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結論. 12 (3) 如圖3,若00與00相交，BC是00與00的公切線，B、C為切點，連心線00 121212分別交00、00于M、N,Q是線段MN上一點，連結BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你12 的結論. 圖1圖2圖3 思路點撥本例是在基本條件不變的情況下，通過運動改變兩圓的位置而設計的，在運動變化中，結論可能改變或不變，關鍵是把(1)的證法類比運用到(2)、(3)問題中. 注:開放性問題還有以下呈現方式: (1) 先提出特殊情況進行研究，再要求歸納猜測和確定一般結論； (2) 先對

6、某一給定條件和結論的問題進行研究，再探討改變條件時其結論應發(fā)生的變化或改變結論時其條件相應發(fā)生的變化. 【例4】已知直線(>0)與軸、軸分別交于A、C兩點，開口向上的拋物線過A、C兩點，且與軸交于另一點B. (1) 如果A、B兩點到原點0的距離A0、B0滿足A0=3B0,點B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式； (2) 是否存在這樣的拋物線，使得tanZACB=2，且△ABC外接圓截得軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由. 思路點撥(1)通過“點B到直線AC的距離等于”利用等積變換求出A、B兩點的距離；⑵ 先假設存在這樣的拋物線，再

7、由條件推理計算求得，最后加以驗證即可． 設等腰三角形的底和腰分別為、， 底角和頂角分別為、．要求“正度”的值是非負數． 注：解存在性開放問題的基本方法是假設求解法，即假設存在一演繹推理一得出結論（合理或矛盾）． 這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程 【例5】如圖度稱為“正度” 同學甲認為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同學乙認為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形 探究：（1）他們的方案哪個較為合理，為什么? （2）對你認為不夠合理的方案，請加以改進（給出式

8、子即可）3）請再給出一種衡量“正度”的表達式． 思路點撥通過閱讀，正確理解“正度”這個新概念，同時也要抓住“在研究‘正度'時應保證相似三角形的‘正度'相等”這句話的實質，可先采取舉實例加深對“正度”的理解再判斷方案的合理性并改進方法． 注：（1）解結論開放題往往要充分利用條件進行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現規(guī)律，得出結論． （2）閱讀是學習的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野． （3）研究性學習是課程改革的一個亮點，研究性學習是美國芝加哥大學教授施瓦布在《作為探究的科學教學

9、》的演講時提出的．他主張引導學生直接用科學研究的方式進行教學，即設定情境、提出問題、分析問題、設計實驗、驗證假設、分析結果、得出結論．研究性問題是近年中考中出現的一種新題型，它要求我們適應新情況，通過實踐，增強探究和創(chuàng)新意識，學習科學研究方法． 學力訓練 1. 如圖，是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD〃BC，有下列結論: ①AB〃CD，②AB=BC；3AB丄BC:④AO=OC. 其中正確的是. 2. 如圖，是一個邊長為的小正方形與兩個長、寬分別為、的小矩形ABCD，則整個圖形可表 達出一些有關多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：① ②:③. 3. 有一個二次

10、函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線；乙：與軸兩個交點的橫坐標都是整數； 丙：與軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3． 請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式：一 4. 如圖，已知AB為00的直徑，直線與00相切于點D，AC丄于C，AC交00于點E，DF丄 AB于F． (1) 圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結論； (2) 若AE=3,CD=2，求00的直徑. 5．在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)．現找出其中的一種，測得ZC=90°,AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的

11、玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與厶ABC的其他邊相切，請設計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑)． 6. 如圖，拋物線與x軸交于點A(X],0)，B(x2,O)(X]〈O〈X2),與y軸交于點C(0，-2)，若 0B=40A，且以AB為直徑的圓過C點.212 (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若點D在此拋物線上，且AD〃CB. ① 求D點的坐標； ② 在x軸下方的拋物線上，是否存在點P使得AAPD的面積與四邊形ACBD的面積相等?若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由． 7. 給定四個命題：①

12、Sinl5。與sin75°的平方和為1；②函數的最小值為-10；③；④，則 x=10”，其中錯誤的命題的個數 8. ①在實數范圍內，一元二次方程的根為；②在ZABC中，若AC2+BC2〉AB2，則AABC是銳角三角形；③在AABC和厶AB1C1中，、分別為AABC的三邊,、、分別為△ABR］的三邊，若〉，〉，〉,則厶ABC的面積大S于厶AB1C］的面積S］.以上三個命題中，真命題的個數是() A．0B．1C．2D．3 9. 已知：AB是00的直徑，AP、AQ是00的兩條弦，如圖1,經過B做00的切線，分別交直線AP、AQ于點M、N.可以得出結論AP?AM=AQ?AN成立. 圖

13、1圖2圖3 (1) 若將直線向上平行移動，使直線與00相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由； (2) 若將直線繼續(xù)向上平行移動，使直線與00相離，其他條件不變，請在圖3上畫出符合條件的圖形，上述結論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由. 10. 如圖，已知圓心A(0，3)，A與軸相切，0B的圓心在軸的正半軸上，且0B與0A外切于點P,兩圓的公切線MP交軸于點M,交軸于點N. (1)若sinZOAB=，求直線MP的解析式及經過M、N、B三點的拋物線的解析式； ⑵若A的位置大小不變，0B的圓心在軸的正半軸上移動，并使0B與0A始終

14、外切，過M作0B的切線MC,切點為C在此變化過程中探究： ① 四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結論加以證明； ② 經過M、N、B點的拋物線內是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若不存在，說明理由. 11. 有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設AB=，AD=，BE=. (1) 求證：AF=EC； (2) 用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C. ① 當為何

15、值時，直線E'E經過原矩形的一個頂點？ ② 在直線E'E經過原矩形的一個頂點的情形下，連結BE'，直線BE'與EF是否平行?你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當與有何種數量關系時，它們就垂直? 12．(1)證明：若取任意整數時，二次函數總取整數值，那么，、、都是整數． (2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結論． 13.已知四邊形ABCD的面積為32,AB、CD、AC的長都是整數，且它們的和為16. (1) 這樣的四邊形有幾個? (2) 求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值． 參考答案 靄開放性問冊評說 【例題求解】 例】現按寫岀的結論的難易程度，給出的評分標準

16、如下： (1) 寫出以下結論，并給予證明的給6分:①PA=PT；?ZPAT=ZPTAi③ZOAP=ZOTP=90°. (2〉寫岀以下結論并給予證明的給8分:①PA=PB=PT$②ZATB=60°,③ZAOT+ZAPT=180°；④OA//O}B. (3)寫出以下結論，并給予證明的給10分:△OATgo/^PTB? <4)寫岀以下結論，并給予證明的給12分：PA?PB=OT?QT?例2(1)由厶ABEc^ACDA得?器=器，即AB?DA=CD?EE. (2) 只要ZB4E=ZACD,即只需?(或屈或AF//BD,或ZBCF=ZACD，或ZBAF=ZABD等)即可?例3⑴連OlB,O2C

17、，ZABC+ZACB=y(ZBO1O2+ZCO2O1)=yX180°=90°,即AB丄AC； (2) BP與CP是垂直的，仿(1)的證法證明； (3) BP與CP是不垂直的，連OiB,O2C,CN.BM，ZCNM+ZBMN=90°?ZBQa+ZCQO2>/BMN+ZCNM=90°,故ZBQC=180°—(ZBQO】+ZCQO2)V90°? 4 例4(1)A(萬，0),C(0,-4)設人5,0〉陽(工2,0),(乃>0>工2),「=一3才2,設點B到直線AC的 距離為力9則AC=丿4$+16,S^abc=寺AC?h=AB?OC??J??十16?書=(X)一工2〉X4,解得4=3,??M

18、=令，可得直線、拋物線的解析式分別為y=令工一4,了=令工2一_|_工一4; (2〉假設存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx-49并設△ABC的外接圓圓心為G,連AG,BG,作GE丄工軸于E,GF丄，軸于F,則C(0?—4),D(0,l)? CF=DF=號,GE=OF=4—*=號，由tanZAGE==tanZACB=2,得AE=2GE=3,化AB=2AE=6, OA?OB—OC?OD,即一xiX2=4,a=1,又AB=6, (4—工2)2=(xi+乜)2—4xix2=/+16=36,解得6=±2>/5. 故存在這樣的拋物線，其解析式為y=F±2辰一4.I 例5(1)同學乙的

19、方案較為合理?因為|a-0的值越小,a與0越接近60°,因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相 似三角形的“正度”相等?同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等.如：邊長為4,4,2和邊長為8,8,4的兩個等腰三角形相似，但|2—4|=2工|4一8|=4$ (2)對同學甲的方案可改為用耳嚴、耳尹1等“為正數)來表示“正度"； ⑶還可用|a—6O°|、lB—6(T|、|a+p—12(ri、*L(a—6O°)z+2(p-6O°)2］等來表示“正度”. 【學力訓練】 1.①②④ 2?a2+2a6=a(a+26)；a(a+b)+ab=u(a+2b),a(a+2〃)一a(a

20、+6)=ab等 3?j>=-yx2—或^=-~4-x24--|-x—3或，=*工2—#工十1或y=—y-jc21 4.(1)FB=CE,證明略；(2)OO的直徑為55.可以設計如下四種方案： ▲ \勺 \A\ & \ 入衛(wèi)J hj e ° c 0B 門=272 廠2=4廠2 =2 n =4a/2-4 1Q 6.⑴$=三丄2—三工一2； —6—品—16—4^\或(3'6) (2)①D點坐標為(5,3)；②存在符合要求的P點的坐標，此時P點坐標為(二，—】：+用)00 7.28.A 9. (1)連結”P?在平移

21、中AB丄MN.ZA戌B=ZAED=90°,又上#4￡=上￡/10=90°,???AAMB^AABP.A磐=黑， /a-jTjTIjD 即AP?AM=AB?ABf,同理,AQ?AN=AB?AB',故AP?AM=AQ*AN成立((2)<1)的結論仍成立.證明略. 10. (l)M<0,-2),由厶NPBsMOB.得黠=器,.?.BN=￥=今■,ON=OB—由此得MP的解析 A11I 式為y=丁工一2,拋物線的解析式為y=—丁工‘+石z—2； (2)①四邊形OMCB是矩形.???在不動，OB運動變化過程中，恒有Z.BAO=ZMAP,OA=AP，ZAOB^^APM=90°,：.^AOB^^

22、APM,OB=PM,AB^AM,PB=OM，而PB=-BC,：.OM=BC. 由切線長定理知MC^MP,：,MC=OB.A四邊形MOBC是平行四邊形，又ZMOE=90。二四邊形MOBC為矩形. ②存在.由上證明知Rt^MONQRt厶BPN,；.BN=MN.因此在過M,N,B三點的拋物線內有以BN為腰的等腰三角形MNB存在.由拋物線的對稱性知，在拋物線上必有一點與M關于其對稱軸對稱.ABN=BM,.這樣得到滿足條件的三角形有兩個；△MNB和厶M'NE. IL(1)由-y(t+AF)?a=*(6—工+6—AF)?a,得AF—b~x又 EC=b~x:.AF=EC (2)①如圖1,當直線EF

23、'經過原矩形的頂點D時，才：&=專；如圖2,當直 線E'E經過原矩形的頂點A時6=y； 圖1圖2 (第11題) ②如圖1,當直線E'E經過原矩形頂點時，BE'〃EF；如圖2,當直線 E'E經過原矩形的頂點A時，且當亍匸晉時,BE'與EF垂直. ⑴若x取整數值時?二次函數y=ax2+bi總取整數值，則當x=0時， 為整數，故r為整數值；當工=一1時Qt^a-b+c為整數?于是a—b=—°為整數；當廠=一2時?”2=4a —2h+c為整數.于是2a=y^2-2y-i+yo為整數.于是2a,a~b,c都是整數. ⑵所求逆命題為：若2a,a—6,c都是整數，那么工取任意整數時，二次函

24、數y=a十十如+(總取整數值，這是一個真命題.證明如下：若c,a~b,2a都是整數，由y=ax2+6r+c=aj