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第十一章偏最小二乘法,偏最小二乘回歸是一種新型的多元統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析方法，它與1983年由伍德和阿巴諾等人首次提出。近十年來(lái)，它在理論、方法和應(yīng)用方面都得到了迅速的發(fā)展。密西根大學(xué)的弗耐爾教授稱偏最小二乘回歸為第二代回歸分析方法。偏最小二乘回歸方法在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中的重要性主要的有以下幾個(gè)方面：（1）偏最小二乘回歸是一種多因變量對(duì)多自變量的回歸建模方法。（2）偏最小二乘回歸可以較好地解決許多以往用普通多元回歸無(wú)法解決的問(wèn)題。,在普通多元線形回歸的應(yīng)用中，我們常受到許多限制。最典型的問(wèn)題就是自變量之間的多重共線性。如果采用普通的最小二乘方法，這種變量多重相關(guān)性就會(huì)嚴(yán)重危害參數(shù)估計(jì)，擴(kuò)大模型誤差，并破壞模型的穩(wěn)定性。變量多重相關(guān)問(wèn)題十分復(fù)雜，長(zhǎng)期以來(lái)在理論和方法上都未給出滿意的答案，這一直困擾著從事實(shí)際系統(tǒng)分析的工作人員。偏最小二乘回歸中開(kāi)辟了一種有效的技術(shù)途徑，它利用對(duì)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行分解和篩選的方式，提取對(duì)因變量的解釋性最強(qiáng)的綜合變量，辨識(shí)系統(tǒng)中的信息與噪聲，從而更好地克服變量多重相關(guān)性在系統(tǒng)建模中的不良作用。,（3）偏最小二乘回歸之所以被稱為第二代回歸方法，還由于它可以實(shí)現(xiàn)多種數(shù)據(jù)分析方法的綜合應(yīng)用。,偏最小二乘回歸=多元線性回歸分析+典型相關(guān)分析+主成分分析,由于偏最小二乘回歸在建模的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化，因此，可以在二維平面圖上對(duì)多維數(shù)據(jù)的特性進(jìn)行觀察，這使得偏最小二乘回歸分析的圖形功能十分強(qiáng)大。在一次偏最小二乘回歸分析計(jì)算后，不但可以得到多因變量對(duì)多自變量的回歸模型，而且可以在平面圖上直接觀察兩組變量之間的相關(guān)關(guān)系，以及觀察樣本點(diǎn)間的相似性結(jié)構(gòu)。這種高維數(shù)據(jù)多個(gè)層面的可視見(jiàn)性，可以使數(shù)據(jù)系統(tǒng)的分析內(nèi)容更加豐富，同時(shí)又可以對(duì)所建立的回歸模型給予許多更詳細(xì)深入的實(shí)際解釋。,一、偏最小二乘回歸的建模原理和方法,（一）建模原理設(shè)有q個(gè)因變量{y1,y2,…,yq}和p個(gè)自變量{x1,x2,…,xp}。為了討論兩組變量之間的關(guān)系，觀測(cè)了n個(gè)樣本點(diǎn)。偏最小二乘回歸開(kāi)始與典型相關(guān)分析相同，分別在X與Y中提取出主成分。設(shè){t1,t2,…,tr}為{x1,x2,…,xp}的主成分，{u1,u2,…,ur}為{y1,y2,…,yq}，其中r=min（p，q）。,(1)t1和u1應(yīng)盡可能大地?cái)y帶他們各自數(shù)據(jù)表中的變異信息;(2)t1和u1的相關(guān)程度能夠達(dá)到最大。這兩個(gè)要求表明，t1和u1應(yīng)盡可能好的代表數(shù)據(jù)表X和Y,同時(shí)自變量的成分t1對(duì)因變量的成分u1又有最強(qiáng)的解釋能力。,在第一個(gè)成分t1和u1被提取后，偏最小二乘回歸分別實(shí)施X對(duì)t1的回歸以及Y對(duì)t1的回歸。如果回歸方程已經(jīng)達(dá)到滿意的精度，則算法終止；否則,將利用X被t1解釋后的殘余信息以及Y被t1解釋后的殘余信息進(jìn)行第二輪的成分提取。如此往復(fù)，直到能達(dá)到一個(gè)較滿意的精度為止。若最終對(duì)X共提取了m個(gè)成分{t1,t2,…,tr}，偏最小二乘將通過(guò)實(shí)施Y1，Y2，…，Yq對(duì){t1,t2,…,tr}的回歸，然后再表達(dá)成YK關(guān)于原變量X1，X2，…，Xp的回歸方程，其中k=1，2，…，q。,（二）計(jì)算方法推導(dǎo),首先將數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理。設(shè)X組變量標(biāo)準(zhǔn)化的觀測(cè)值矩陣為,設(shè)Y組變量標(biāo)準(zhǔn)化的觀測(cè)值矩陣為,求X組變量的第一主成分t1，w1為第一主成分的系數(shù)向量，w1是一個(gè)單位向量。t1=X0w1求Y組變量的第一主成分t1，c1為第一主成分的系數(shù)向量，c1是一個(gè)單位向量。u1=Y0c1有Var(t1)=maxVar(u1)=max?(t1,u1)=max,因此綜合起來(lái)，在偏最小二乘回歸中，我們要求與的協(xié)方差達(dá)到最大，既,（1）求w1和c1,對(duì)Q分別求關(guān)于c1，w2，?1，?2和的偏導(dǎo)并令之為零，有,采用拉格朗日乘數(shù)法，討論有約束條件的極值問(wèn)題。,可以推出,則,,記,可得,,可見(jiàn),w1是矩陣的特征向量,對(duì)應(yīng)的特征值為。所以w1是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的單位特征向量。而另一方面,c1是對(duì)應(yīng)于矩陣最大特征值的單位特征向量c1。,注意這里t1和u1分別為n維向量，是n個(gè)個(gè)案在兩組變量的主成分的取值。,分別求X0和Y0對(duì)t1和u1的兩個(gè)回歸方程,,,,根據(jù)最小二乘估計(jì)的原理，則,稱?1為模型效應(yīng)載荷量。,2.建立回歸方程,3.用殘差代替X0和Y0的進(jìn)行以上的工作,在第二步工作中，由于第一對(duì)主成分并未將相關(guān)的信息提取完，所以需要再重復(fù)第一步工作，在殘差矩陣E0和F0中再提取第二對(duì)主成分。,分別求E1和F1對(duì)t2和u2的兩個(gè)回歸方程，即,,,,根據(jù)最小二乘估計(jì)的原理，則,進(jìn)而有,4.設(shè)n?p數(shù)據(jù)觀測(cè)矩陣的秩為r=min（n，p），則存在r個(gè)成分t1，t2，…，tr。使得,將（3）式代入（2）式，并合并同類項(xiàng),非標(biāo)準(zhǔn)化的偏最小二乘回歸方程為,5.抽取主成分個(gè)數(shù)l的確定,至于抽取幾個(gè)主成份進(jìn)行偏最小二乘模型，需要進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)。當(dāng)然一定小于r。我們首先定義殘差平方和其中i為第i個(gè)樣本點(diǎn)，j為第j個(gè)指標(biāo)，k為主成分的個(gè)數(shù)。通常情況下，選擇使殘差平方和最小的個(gè)數(shù)l。有四種方法。,（1）舍一交叉驗(yàn)證法,依次舍去第i（i=1，2，…，n）個(gè)樣本點(diǎn)，用余下的n-1個(gè)樣本點(diǎn)做偏最小二乘回歸模型，并預(yù)測(cè)相應(yīng)的，k為主成分的個(gè)數(shù)。,選擇使PRESS(k)最小的主成分的個(gè)數(shù)。,（2）分批交叉驗(yàn)證法,分批交叉驗(yàn)證法是每次留下q個(gè)觀測(cè)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，q=1是為“舍一交叉驗(yàn)證方法”。類似按預(yù)測(cè)殘差平方和達(dá)到最小的主成分個(gè)數(shù)。,（3）分裂樣本交叉驗(yàn)證法,與分批交叉驗(yàn)證法不同的是分裂樣本法所扣留的樣本不是連續(xù)的，而是燈具抽取的。例如第一次抽{1，11，…}，第二次抽{2，12，22，…}等等。然后再根據(jù)預(yù)測(cè)殘差平方和最小的原則，確定主成份的個(gè)數(shù)l。,（4）隨機(jī)樣本交叉驗(yàn)證,按隨機(jī)的原則來(lái)扣留樣本，再根據(jù)預(yù)測(cè)殘差平方和最小的原則，確定主成份的個(gè)數(shù)。,