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第4講平面向量應(yīng)用舉例,【2014年高考會(huì)這樣考】以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其綜合應(yīng)用性問(wèn)題，常與三角函數(shù)、解析幾何等結(jié)合．,考點(diǎn)梳理,向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題．(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b?_____________?______________.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?_______?_____________.,1．向量在平面幾何中的應(yīng)用,a＝λb(b≠0),x1y2－x2y1＝0,x1x2＋y1y2＝0,ab＝0,(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．,2．向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用,向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．,3．向量在解析幾何中的應(yīng)用,一個(gè)手段實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算．兩條主線(1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合．(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題．,【助學(xué)微博】,A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．無(wú)法確定答案B,考點(diǎn)自測(cè),A．一次函數(shù)且是奇函數(shù)B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù)C．二次函數(shù)且是偶函數(shù)D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù)解析函數(shù)f(x)＝x2ab＋(b2－a2)x－ab，∵a⊥b，∴ab＝0，∴f(x)＝(b2－a2)x.∵|a|≠|(zhì)b|，∴b2－a2≠0，∴f(x)為一次函數(shù)且是奇函數(shù)．故選A.答案A,2．(2013銀川模擬)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(xb－a)是()．,A．4,0B．16,0C．2,0D．16,4解析設(shè)a與b夾角為α，∵|a|＝1，|b|＝2，∴|2a－b|2＝4a2－4ab＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4]．答案A,A．2B．4C．5D．10,答案D,答案x＋2y－4＝0,A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[審題視點(diǎn)]根據(jù)向量式尋找△ABC邊、角之間的關(guān)系．,考向一向量在平面幾何中的應(yīng)用,答案C,對(duì)于此類問(wèn)題，一般需要靈活運(yùn)用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，將已知條件等價(jià)變形，從而得到結(jié)論．特別地，有的問(wèn)題還需要依據(jù)幾何圖形選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，然后計(jì)算或證明．,A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心,答案C,(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.[審題視點(diǎn)]根據(jù)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)列式(三角函數(shù)式)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題．(1)解因?yàn)閍與b－2c垂直，所以a(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.,考向二向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用,【例2】?設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．,(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．,(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；[審題視點(diǎn)](1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)向量之間的關(guān)系，整理即得軌跡方程；(2)利用圓的性質(zhì)化簡(jiǎn)向量數(shù)量積，將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)N的距離的最值，最后代入點(diǎn)的坐標(biāo)將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．,考向三向量在解析幾何中的應(yīng)用,向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，關(guān)鍵是脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題．(2)工具作用：利用a⊥b?ab＝0，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，其坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題起到化繁為簡(jiǎn)的效果．,【命題研究】通過(guò)近三年高考試題分析，考查平面向量的有關(guān)知識(shí)，常與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合在一起在解答題中出現(xiàn)，主要是以三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)為載體，考查數(shù)量積的定義、性質(zhì)等．若出現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，題目難度中等．,規(guī)范解答8——高考中平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題,[教你審題]一審把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角形邊、角關(guān)系；二審利用正弦定理進(jìn)行邊化角；三審利用在△ABC中tan(A＋B)＝－tanC.,[閱卷老師手記](méi)(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，要利用平面向量的定義和運(yùn)算法則準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式．(2)本題難度中檔偏下，大部分考生能較準(zhǔn)確地做出來(lái)，得到滿分．,求平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題的一般步驟：第一步：將向量間的關(guān)系式化成三角函數(shù)式；第二步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；第三步：求三角函數(shù)式的值或求角或分析三角函數(shù)式的性質(zhì)；第四步：明確表述結(jié)論．,解(1)由題設(shè)，可得(a＋b)(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐標(biāo)，可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，即sin2α[(λ－1)2－1]＝0.,