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演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.,數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.,復習:,2.2直接證明與間接證明,2.2.1綜合法和分析法,直接證明（問題情境）,如圖，四邊形ABCD是平行四邊形求證：AB=CD，BC=DA,證連接AC，因為四邊形ABCD是平行形四邊形，所以,故AB=CD,BC=DA.,直接證明,,1概念直接從原命題的條件逐步推得命題成立,2直接證明的一般形式：,直接證明,,證法1對于正數(shù)a,b,有,直接證明,證法2要證,只要證,只要證,只要證,因為最后一個不等式成立，故結(jié)論成立。,直接證明,上述兩種證法有什么異同？,都是直接證明,證法1從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止,相同,不同,證法2從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止,綜合法,分析法,直接證明,綜合法和分析法的推證過程如下：,綜合法,已知條件,結(jié)論,,,分析法,結(jié)論,已知條件,從已知條件出發(fā)，以已知定義、公理、定理等為依據(jù),逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法叫做綜合法(順推證法),用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.,則綜合法用框圖表示為:,,,,,,,,…,,特點:“由因?qū)Ч?例1:已知a>0,b>0,求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc,因為b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.,又因為c2+a2≥2ac,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.,證明:,練習：,符號語言,圖形語言,文字語言,,,,學會語言轉(zhuǎn)換,找出隱含條件,例2：在△ＡＢＣ中，三個內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．,練習：在銳角三角形ＡＢＣ中，求證:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,提示:△ABC為銳角三角形,則.,例3.△ABC三邊長,的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證：,.,證明：,,,,,因為a,b,c為△ABC三邊,所以a+c>b,所以cosB>0,因此,特點：,執(zhí)果索因,一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法．,用框圖表示分析法的思考過程、特點.,,,,…,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,練一練：,證明：因為(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=1，所以將①②代入上式，可得4sin2α-2sin2β=1③另一方面，要證即證即證cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β),即證1-2sin2α=(1-2sin2β),即證4sin2α-2sin2β=1.由于上式與③相同,于是問題得證.,用P表示已知條件,定義,定理,公理等,用Q表示要證的結(jié)論,則上述過程可用框圖表示為:,,,,,,,…,…,,點評:在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用:根據(jù)條件結(jié)構特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構特點去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P,若P可以推出Q,就可以證明結(jié)論成立,,練一練：,說明：本題可以單獨使用綜合法或者分析法進行證明，但把綜合法和分析法結(jié)合使用進行證明的思路更清晰.,分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由因?qū)Ч?，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。,小結(jié)：,綜合法的特點:由因?qū)Ч?分析法的特點:執(zhí)果索因.,直接證明,分析法解題方向比較明確，利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，易于表述。,通常以分析法尋求思路，再用綜合法有條理地表述解題過程,,分析法綜合法,概念,Ｐ9１Ｂ組2,3,作業(yè)：,