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第19講矩形、菱形、正方形,1.定義：有一個角是①的平行四邊形叫做矩形，也稱為②.2.性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，一方面具有平行四邊形的所有性質(zhì)，另一方面是矩形獨有的性質(zhì)：(1)四個角都是③；(2)對角線④；(3)矩形既是⑤，對邊中點所確定的直線是它的對稱軸，也是⑥，⑦是它的對稱中心.,直角,長方形,直角,相等,軸對稱圖形,中心對稱圖形,對角線的交點,3.判定(1)用定義判定；(2)四個角都是⑧的四邊形是矩形；(3)對角線⑨的平行四邊形是矩形；(4)對角線相等且⑩的四邊形是矩形.,直角,相等,互相平分,1.定義：有一組①的平行四邊形叫做菱形.,鄰邊相等,2.性質(zhì)：菱形的性質(zhì)有兩方面：一方面具有平行四邊形的所有性質(zhì)，另一方面是菱形獨有的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都②；(2)菱形的對角線③，并且每條對角線都平分④；(3)菱形是⑤，它有⑥條對稱軸，這兩條對稱軸是菱形的對角線所在的直線；菱形也是⑦，對稱中心是對角線的⑧.,相等,互相垂直,一組對角,軸對稱圖形,兩,中心對稱圖形,交點,3.判定(1)用定義判定；(2)四條邊都相等的⑨是菱形；(3)對角線⑩的平行四邊形是菱形.,四邊形,互相垂直,1.定義：一組①的矩形叫做正方形，或者說有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的②叫做正方形．正方形的定義還可以敘述成：“有一個角是直角的③”.,鄰邊相等,平行四邊形,菱形,2.性質(zhì)：正方形性質(zhì)包括兩方面：一方面具備平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)，另一方面是正方形獨有的性質(zhì)：(1)正方形的四個角都是④，四條邊都⑤；(2)正方形的兩條對角線⑥，并且互相垂直平分，每條對角線都平分一組對角，把一對直角分成⑦角；(3)正方形既是⑧又是⑨，有⑩條對稱軸.,直角,相等,相等,45,中心對稱圖形,軸對稱圖形,四,3.判定：正方形的判定方法有很多，可以歸納為：既是矩形又是菱形的四邊形就是正方形.,考情分析?矩形、菱形、正方形這三種特殊平行四邊形是中考的必考點之一，每年都會考查到，一定會有單獨命題，分別以這三種四邊形為主體，結(jié)合其他知識點綜合考查，多數(shù)以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度中等．有時會以解答題的綜合題出現(xiàn)，難度中等偏上.,B,1.[2015泰安，T20，3分]如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB＝6，BC＝4，則FD的長為(),2.[2018泰安，T15，3分]如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，將矩形ABCD沿BE折疊，點A落在A′處，若EA′的延長線恰好過點C，sin∠ABE的值為.,3.[2016泰安，T23，3分]如圖，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，則△BOF的面積為.,解題要領?解決菱形問題時，主要依據(jù)菱形的性質(zhì)和判別方法．由于菱形的對角線互相垂直平分，所以解決菱形問題往往需要轉(zhuǎn)化為直角三角形并借助勾股定理進行計算，或轉(zhuǎn)化為等腰三角形借助于等腰三角形的有關知識解決．解決問題的方法是熟練掌握菱形的性質(zhì)和判別方法，根據(jù)題目的條件靈活地選擇方法，展開豐富的聯(lián)想，大膽地去猜想，深入地去探索，然后給出合理的說明.,4.[2018泰安，T23，11分]如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G⊥BC于點G，與DE交于點H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，連接GE，GD.(1)求證：△ECG≌△GHD；(2)小亮同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD＝AC＋EC.請你幫助小亮同學證明這一結(jié)論；(3)若∠B＝30，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.,(2)證明：如圖，過點G作GP⊥AB于點P，∴GC＝GP.∴△CAG≌△PAG.∴AC＝AP.............................(7分)由(1)，得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD.∴EC＝PD.................(8分)∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.........................................(9分)(3)四邊形AEGF是菱形．理由如下：∵∠B＝30，∴∠ADE＝30.∴AE＝AD.∴AE＝AF＝FG..........................................................(10分)由(1)，得AE∥FG，∴四邊形AEGF是平行四邊形.∴四邊形AEGF是菱形．..................................................(11分),5.[2014泰安，T28，11分]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AC與BD交于點E，∠ADB＝∠ACB.,(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F(xiàn)是BC中點．求證：四邊形ABFD是菱形.,6.[2013泰安，T28，11分]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF.(1)證明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；,(2)若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；,(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使∠EFD＝∠BCD，并說明理由.,解題要領?解答正方形問題時，由于正方形既是矩形又是菱形，所以多結(jié)合矩形和菱形的相關知識，同時正方形是數(shù)學變換的?？紗栴}，多注意其中的“變”與“不變”，挖掘出其中的隱含知識，最終達到解決問題的目的.,7.[2017泰安，T14，3分]如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E.若AB＝12，BM＝5，則DE的長為(),B,8.[2018泰安，T18，3分]《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點D在直線AC上)？請你計算KC的長為步.,C,例2?如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE.求證：四邊形BECD是矩形.,自主解答：證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，BE＝AD.∴BE＝CD.∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90.∴平行四邊形BECD是矩形．,解題要領?矩形的判定思路：①若給出的四邊形是平行四邊形，則證明有一個角是直角或證明對角線相等．②若給出的圖形是一般的四邊形，思路一：證明有三個角是直角，思路二：先證明為平行四邊形，再證明有一個角是直角或證明其對角線相等.,B,C,2.5,4.[2018湘西州]如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，連接DE、CE.(1)求證：△ADE≌△BCE；(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周長.,例3?如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，CD＝2DE，延長ED到點F，使得DF＝CD，連接BF.(1)求證：四邊形BCDF是菱形；(2)若CD＝2，∠FBC＝120，求AC的長.,解題要領?菱形除具有四條邊都相等、對角線互相垂直且平分等特有性質(zhì)外，它還具有平行四邊形的所有性質(zhì)．判定菱形的方法是多樣的，其基本思路是先判定這個四邊形為平行四邊形，然后通過有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直判定為菱形，或者直接利用四條邊相等進行證明.,B,AB＝BC或AC⊥BD,(－5，4),8.[2018遂寧]如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且DE＝BF，AC⊥EF.求證：四邊形AECF是菱形.,證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形.,例4?以△ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：(1)如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由.(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？(3)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？,解題要領?解答這類綜合題，需要綜合運用正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的關鍵.,D,11.[2018鹽城]在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE＝DF，連接AE、AF、CE、CF，如圖所示.(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.,解：(1)證明：∵正方形ABCD，∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB.∴∠ABE＝∠ADF.在△ABE與△ADF中，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四邊形AECF是菱形.理由：如圖，連接AC，與BD交于點O.∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF.∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.∵OA＝OC，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形.又∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形.,