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第六章彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度設(shè)計(jì),本章重點(diǎn)1、彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算2、彎曲剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算3、兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲4、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施,6-1彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,一、彎曲正應(yīng)力,工程中以彎曲變形為主的桿件稱為,梁,縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所構(gòu)成的平面,,對(duì)稱彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。,純彎曲,純彎曲：,橫力彎曲：,在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素dFN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素d=τdA才能合成剪力,純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力,從三方面考慮：,變形幾何關(guān)系,物理關(guān)系,,靜力學(xué)關(guān)系,1、變形幾何關(guān)系,,(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(zhǎng)(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng)。梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。,觀察到以下變形現(xiàn)象:,再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。,推論：梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來(lái)的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸,中性層,中性軸,中性層,2、物理關(guān)系,,正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應(yīng)力為零(中性層y=0),上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算：,1）由于中性軸z的位置未確定，故y無(wú)法標(biāo)定；,2）式中?未知.（若已知M，?與M有何關(guān)系？）,3、靜力學(xué)關(guān)系,設(shè)中性軸為z,令：,由于y為對(duì)稱軸,上式自然滿足。,正應(yīng)力計(jì)算公式：,中性軸過(guò)截面形心,中性層的曲率公式：,1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。,2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。,3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。,當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：,橫截面上的最大正應(yīng)力：,Wz:抗彎截面模量,公式適用條件：1）符合平面彎曲條件(平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸）2）???p(材料服從胡克定律）,對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于5時(shí)，剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過(guò)1%。,橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。,圓環(huán)：,復(fù)習(xí),,,,,,,Z,b,h,Z,Z,dD,,d,例1：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小時(shí)的支座位置。,,a,l,a,q,⊕,解：作彎矩圖,支座位置a直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩值。當(dāng)中性軸為截面的對(duì)稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相等時(shí)，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對(duì)值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對(duì)值為最小，從而使其最大正應(yīng)力為最小。,,取有效值,二、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件,強(qiáng)度條件：,等直梁強(qiáng)度條件,對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。強(qiáng)度條件為：,請(qǐng)注意：梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不發(fā)生在同一截面上。,一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉(壓)應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓)時(shí)，截面上的應(yīng)力是均勻分布的。,利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度。2、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。3、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。,例2：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？,解：,例3：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)度a為多少？,,A,B,,,,,,,,,,,,,,,,,P,,,,a,C,D,,,,,,主梁AB,副梁CD,M,M,解：,主梁AB的最大彎矩,副梁CD的最大彎矩,由,得,,例4：圖示梁的截面為T(mén)形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為［σ+］和［σ-］，則y1和y2的最佳比值為多少?(Ｃ為截面形心),解：,例5：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，校核該梁的強(qiáng)度。,解：由彎矩圖可見(jiàn),該梁滿足強(qiáng)度條件，安全,例6：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σ+]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.6310-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。,,C截面：,B截面：,滿足強(qiáng)度要求,本題,和,可不必計(jì)算,為什么？,例7：簡(jiǎn)支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應(yīng)變片，已知材料的E=200GPa，試問(wèn)該應(yīng)變片所測(cè)得的應(yīng)變值應(yīng)為多大？,解：,C截面下邊緣的應(yīng)力,C截面的彎矩,應(yīng)變值,=75με,例8：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長(zhǎng)為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。,解：,例9：我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,（使Wz最大）,解：,由此得,≈3:2,例10:跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖示,已知材料許用拉、壓應(yīng)力分別為,和,試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的一個(gè)參數(shù)?，并校核此梁的強(qiáng)度。,,解：設(shè)z軸過(guò)形心,最為合理時(shí),,,,?=24mm,＜,梁滿足強(qiáng)度要求,還需校核最大工作壓應(yīng)力嗎？,例11:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。,,P=20kN,解:作彎矩圖,,,,由強(qiáng)度條件,,(1)矩形,,b=6cmh=12cm,(2)圓形,,d≈11.3cm,(3)工字形,查型鋼表，取16號(hào)工字鋼,工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。你知道為什么嗎？,合理選擇截面形狀是梁設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要問(wèn)題本題中，工字形截面的彎曲截面系數(shù)略小于臨界值，其最大工作應(yīng)力將略大于許用應(yīng)力，但不超過(guò)5%，這在工程中是允許的。,例12：一槽形截面鑄鐵梁，試求梁的許可荷載,已知b=2m,,解:求出中性軸位置作彎矩圖,,Fb/2,Fb/4,分析可知，不論截面B或截面C，梁的強(qiáng)度均由最大拉應(yīng)力控制,,,6-2彎曲剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件,一、梁橫截面上的剪應(yīng)力,橫截面上的剪力，由截面法求得,,,截面對(duì)中性軸的慣性矩,b,,截面寬度,,過(guò)所求點(diǎn)作中性軸平行線，,平行線以上或以下部分對(duì)中性軸的靜矩,,,A,對(duì)于短跨、截面高的梁須計(jì)算彎曲剪應(yīng)力,1、矩形截面梁的剪應(yīng)力,在h?b的情況下,y,y,彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式,腹板,翼緣,在腹板上：,2、工字形截面梁的剪應(yīng)力,在翼緣上，有平行于剪力的剪應(yīng)力分量，分布情況較復(fù)雜，但數(shù)量很小，并無(wú)實(shí)際意義，可忽略不計(jì)。,腹板負(fù)擔(dān)了截面上的絕大部分剪力，翼緣負(fù)擔(dān)了截面上的大部分彎矩。,在翼緣上，還有垂直于剪力方向的剪應(yīng)力分量，它與腹板上的剪應(yīng)力比較，一般來(lái)說(shuō)也是次要的。,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)工字鋼梁：,最大剪應(yīng)力：,3、圓截面梁的剪應(yīng)力,中性軸上：,二、彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件,等直梁：,注意：,例13：圓形截面梁受力如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，試求最小直徑dmin。,解:,跨中截面彎矩最大，支座附近截面剪力最大,由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：,由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：,例14：簡(jiǎn)易起重設(shè)備，起重量P=30kN，跨長(zhǎng)l=5m，吊車(chē)大梁AB由20a號(hào)工字鋼制成，試校核梁的強(qiáng)度。,解:,査表,當(dāng)荷載移至跨中時(shí)：,＜,＜,當(dāng)荷載移至支座附件時(shí)：,梁的強(qiáng)度符合要求,例15：上例吊車(chē)大梁，起重量增至P=50kN，跨長(zhǎng)l=5m，梁AB中段用橫截面為120mmХ10mm而長(zhǎng)度為2.2m的鋼板加強(qiáng)。校核梁的強(qiáng)度。,,,,,解:,査表:20a工字鋼,組合截面慣性矩：,當(dāng)荷載移至跨中時(shí)：,＜,剪應(yīng)力請(qǐng)自行校核！,,,還需校核變截面處!!!,當(dāng)荷載移至變截面處時(shí)，對(duì)變截面最不利,為什么？,＞,梁的強(qiáng)度不符合要求,怎么辦？,加強(qiáng)板加長(zhǎng)！,加長(zhǎng)多少？,6-3兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲,由力作用的獨(dú)立性原理出發(fā)，在線彈性范圍內(nèi)，可以假設(shè)作用在體系上的諸載荷中的任一個(gè)所引起的變形對(duì)其它載荷作用的影響忽略不計(jì)。,實(shí)驗(yàn)表明，在小變形情況下這個(gè)原理是足夠精確的。因此，可先分別計(jì)算每一種基本變形情況下的應(yīng)力和變形，然后采用疊加原理計(jì)算所有載荷對(duì)彈性體系所引起的總應(yīng)力和總變形。,研究步驟:,1、簡(jiǎn)化荷載：用靜力等效的荷載，使每一組力只引起一種基本變形。,2、按基本變形求解每組荷載作用下的應(yīng)力、位移。,3、按疊加原理疊加求出組合變形的解。,兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲,應(yīng)力計(jì)算中性軸的位置,斜彎曲——荷載不作用在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的軸線變形后不在位于外力所在平面內(nèi)。,矩形截面梁的斜彎曲,C,,l,,X,,,,x,y,z,,P,1、簡(jiǎn)化外力：,,,,x,y,z,,,,x,y,z,2、按基本變形求各自應(yīng)力：,C點(diǎn)總應(yīng)力：,確定中性軸的位置,故中性軸的方程為,設(shè)中性軸上某一點(diǎn)的坐標(biāo)為y0、z0，則由中性軸上,中性軸是一條通過(guò)截面形心的直線,中性軸,?為中性軸與y軸夾角,,y,,z,,z,,P,中性軸,4）若截面為曲線周邊時(shí)，可作//于中性軸之切線，切點(diǎn)為,,,y,z,1）危險(xiǎn)截面：當(dāng)x=0時(shí)，,同時(shí)取最大,故固定端處為危險(xiǎn)面,2）危險(xiǎn)點(diǎn)：危險(xiǎn)面上,點(diǎn),強(qiáng)度計(jì)算式：,強(qiáng)度計(jì)算,對(duì)于周邊具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、壓應(yīng)力必然發(fā)生在截面的棱角處?？芍苯痈鶕?jù)梁的變形情況，確定截面上的最大拉、壓應(yīng)力所在位置，無(wú)需確定中性軸位置。,例16：矩形截面木梁跨長(zhǎng)l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷載集度q=0.96kN/m,試設(shè)計(jì)該梁的截面尺寸。許用應(yīng)力,q,,h,b,,,,z,y,解:跨中為危險(xiǎn)截面,h/b=3/2,,b=0.0876m,h=0.131m,可選b=90mm,h=135mm,請(qǐng)注意計(jì)算單位！,您知道危險(xiǎn)點(diǎn)在何處嗎？,,,請(qǐng)自學(xué)?。?！,6-4非對(duì)稱彎曲正應(yīng)力,6-5彎曲中心,請(qǐng)自學(xué)?。?！,6-6提高梁彎曲強(qiáng)度的措施,控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力,作為梁設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。因此應(yīng)使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。,以,一、合理選擇梁的截面,合理的截面形狀應(yīng)使截面積較小而抗彎截面模量較大。,W大的同時(shí)，A要較小。,,~0.31h,1、對(duì)于[?+]=[?-]的材料，可用以中性軸為對(duì)稱軸的截面，使截面上、下邊緣,2、對(duì)于[?+]≠[?-]的材料，如鑄鐵[?+]＜[?-]，宜用中性軸偏于受拉邊的截面。,二、合理安排梁的受力情況,三、合理選擇梁的外形——采用變截面梁、等強(qiáng)度梁,梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力［σ］時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。,注意“加工性”,例17、矩形截面梁，跨中C處受集中力P,設(shè)截面高h(yuǎn)為常數(shù)，寬度b可變化，b=b(x),求b(x)。,,,,l,,P,A,B,解：由對(duì)稱性，研究一半梁AC,C,,,,,x,由等強(qiáng)度條件：,,,,,,,,,b(x),考慮到剪切強(qiáng)度條件：,對(duì)于矩形截面：,,,,,,,,b(x)min,同理：若b為常量，高度h=h(x),,l,,P,A,B,C,,,,,x,,,,,按拋物線變化,考慮到剪切強(qiáng)度條件：,,,,,,,,,,,,,,,P,,N,N,魚(yú)腹梁,