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1,有限元與數(shù)值方法第一講,授課教師：劉書田,Tel：84706149；Email：stliu@教室：綜合教學(xué)樓351時(shí)間：2013年3月15日：8：00—10：50,2,教學(xué)內(nèi)容,計(jì)算固體力學(xué)的基本理論固體力學(xué)(以彈性力學(xué)為主描述)的基本理論能量、變分原理和變分法特殊問題的數(shù)值計(jì)算方法介紹各類方法的構(gòu)造過程計(jì)算固體力學(xué)的主要方法有限差分法（FiniteDifferentMethod）加權(quán)殘數(shù)法（WeightedResidualMethod）有限元法（FiniteElementMethod）無網(wǎng)格法（MeshlessMethod）邊界元方法（BoundaryelementMethod）有限元法的應(yīng)用和前后處理,3,參考教材,R.D.Cook,有限元分析的概念與應(yīng)用（ConceptsandApplicationofFiniteElementAnalysis）關(guān)正西等譯，西安交大出版社王勖成等,有限單元法基本原理和數(shù)值方法，清華大學(xué)出版社楊慶生,現(xiàn)代計(jì)算固體力學(xué)，科學(xué)出版社劉正興等,計(jì)算固體力學(xué)，上海交大出版社,4,第一章前言,一計(jì)算固體力學(xué)的任務(wù)：1.力學(xué)的任務(wù)物體機(jī)械運(yùn)動的規(guī)律——研究物體受到的力和物體發(fā)生的運(yùn)動的關(guān)系物體（流體，固體，氣體）力（熱，電，磁等環(huán)境）運(yùn)動流體力學(xué)：研究對象是流體（水，空氣等）；固體力學(xué)2.固體力學(xué)的任務(wù)研究固體（結(jié)構(gòu)）在外部作用（外力，溫度等變化）下的變形和應(yīng)力及其演化規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律研究固體和結(jié)構(gòu)的破壞（剛度、強(qiáng)度、疲勞、斷裂以及穩(wěn)定性等）根據(jù)研究對象的不同：彈性力學(xué)，塑性力學(xué)，斷裂力學(xué)，沖擊力學(xué);材料力學(xué)，理論力學(xué)等根據(jù)采用的方法：實(shí)驗(yàn)，理論和計(jì)算,5,固體力學(xué)的任務(wù)（續(xù)）,重點(diǎn)：建立固體在外部作用下的變形和應(yīng)力以及演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型（控制方程）例如：應(yīng)力~外力之間的關(guān)系：平衡方程（運(yùn)動方程）應(yīng)力~應(yīng)變之間的關(guān)系：本構(gòu)方程研究變形的機(jī)理，變形的誘因（外部作用）、應(yīng)力和應(yīng)變的定量關(guān)系：彈性問題：Hooke定律熱彈性問題：熱膨脹規(guī)律塑性問題：屈服條件；強(qiáng)化準(zhǔn)則；流動準(zhǔn)則斷裂問題：起裂條件；擴(kuò)展規(guī)律,6,變形的描述以及幾何關(guān)系主要研究變形的描述方式（應(yīng)變，位移，轉(zhuǎn)角等）建立變形與位移之間的定量關(guān)系應(yīng)變與位移之間的定量關(guān)系例如：小變形條件下：有限變形條件下：邊界條件：位移邊界：應(yīng)力邊界：,7,求解方法以及對應(yīng)的控制方程,（1）力法未知量：以應(yīng)力作為基本未知量控制方程：平衡方程；相容方程（變形協(xié)調(diào)方程）（2）位移法：未知量：以位移作為基本未知量控制方程：位移表示的平衡方程；邊界條件,8,對應(yīng)原理，變分原理,研究：微分方程的積分形式，泛函變分與基本方程的對應(yīng)建立各種問題所對應(yīng)的變分原理任務(wù)：國體力學(xué)是建立固體變形規(guī)律所必須滿足的規(guī)律以及數(shù)學(xué)模型，為各種求解策略提供理論基礎(chǔ)。,9,計(jì)算固體力學(xué)的任務(wù)和研究內(nèi)容,任務(wù)：以固體力學(xué)的基本理論為基礎(chǔ)，研究利用計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)求解固體力學(xué)中各類問題的數(shù)值分析理論、方法、建模、軟件實(shí)現(xiàn)；研究內(nèi)容：（1）研究固體力學(xué)中各類問題的數(shù)值計(jì)算方法，基本原理；（2）采用數(shù)值模擬技術(shù)，分析固體的變形演化規(guī)律、破壞規(guī)律、應(yīng)力分布規(guī)律，揭示新的力學(xué)現(xiàn)象，包括材料性能揭示；工程中的力學(xué)問題等。（3）工程問題的模型化、可視化、虛擬現(xiàn)實(shí),10,結(jié)構(gòu)分析問題,各種工程結(jié)構(gòu)常見的結(jié)構(gòu)元件：（1）桿、梁、柱（長＞＞寬和高）（2）板(中厚板)、殼（厚＜＜長和寬）（3）三維體（4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等）（5）以上結(jié)構(gòu)類型的復(fù)合體,結(jié)構(gòu)分析問題包括：（1）強(qiáng)度問題(應(yīng)力)（2）剛度問題(變形)（3）穩(wěn)定性問題（4）振動問題,11,有限元法（位移協(xié)調(diào)元,雜交元，應(yīng)力元，擬協(xié)調(diào)元）邊界元法無網(wǎng)格法(mesh-freemethod):Non-structuralfinitedifference(Orkisz,2001)；Element-freeGalerkin(Belytschko,1994)Smoothparticlehydrodynamic(Gingold,1997)PartitionofUnity((Melenk,1996)FinitePointmethod(Onate,1996)Meshlessfiniteelement(Onate,2003)Finitesphere(Bathe,2001)Naturalelement(Belytschko,1998)擴(kuò)展的有限元法（x-FEM)等幾何法（isogeometricmethod)變分法加權(quán)殘數(shù)法,計(jì)算固體力學(xué)的主要方法,12,,近似求解偏微分方程的數(shù)值方法：,LordRayleighandRitz,Galerkin采用試函數(shù)(trialfunctions)對偏微分方程的解進(jìn)行近似,Courant引入子域內(nèi)分片連續(xù)試函數(shù)（piecewise-continuousfunctions）的概念，標(biāo)志著有限元方法的起始,有限元法的發(fā)展歷史,1960s.Clough在平面應(yīng)力分析中引入finiteelement的名稱,1960s-1970s.板彎曲、殼彎曲、壓力容器、三維彈性問題、流動、熱傳導(dǎo)等采用有限元方法求解；美國空間計(jì)劃支持Nastran的開發(fā),1970s.開發(fā)了ANSYS,ALGOR,COSMOS/M,SAP,NONSAPandABAQUSetc.,目前.FEM系統(tǒng)可在微機(jī)上解決大規(guī)模結(jié)構(gòu)分析問題,13,計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望,計(jì)算力學(xué)研究采用計(jì)算機(jī)和相應(yīng)計(jì)算方法求解力學(xué)問題、認(rèn)識力學(xué)現(xiàn)象的方法、理論、軟件實(shí)現(xiàn)和工程應(yīng)用。計(jì)算力學(xué)是力學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)交叉而形成的力學(xué)分支，是計(jì)算科學(xué)和工程的核心學(xué)科。計(jì)算力學(xué)起始于有限元法.有限元法的誕生可追溯到50年代中期Martin,Clough,Turner(1956),Argyris(1955)等的工作；前者為了采用計(jì)算機(jī)求解波音公司的三角形機(jī)翼動力問題,在Zienkiewicz等人的努力下，這一方法被迅速推廣至連續(xù)體、巖土工程、動力學(xué)問題、穩(wěn)定性問題的求解，其基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論和求解問題的算法也不斷得到完善。有限元法取得的巨大成功是驚人的,它以經(jīng)典牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)，為人們提供前所未有的能力，預(yù)測和理解復(fù)雜系統(tǒng)，模擬復(fù)雜的物理現(xiàn)象，利用這些模擬設(shè)計(jì)復(fù)雜的工程系統(tǒng)。它已使力學(xué)這個(gè)古老學(xué)科成為對制造、通訊、運(yùn)輸、醫(yī)療、國防和很多對人類文明非常核心的領(lǐng)域產(chǎn)生決定性影響的學(xué)科；對科學(xué)和技術(shù)已經(jīng)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。,14,計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望,計(jì)算力學(xué)的延伸造就了CAE軟件和產(chǎn)業(yè)，而CAE產(chǎn)業(yè)產(chǎn)生了巨大的社會和經(jīng)濟(jì)效益，其直接經(jīng)濟(jì)效益每年達(dá)數(shù)十億美元，而間接經(jīng)濟(jì)效益上百億美元。計(jì)算力學(xué)已經(jīng)引發(fā)一個(gè)令人振奮的新觀點(diǎn)：理論、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算成為現(xiàn)代科學(xué)的三大支撐；產(chǎn)生了一個(gè)新的領(lǐng)域“計(jì)算科學(xué)”。在2005年美國總統(tǒng)信息技術(shù)顧問委員會給總統(tǒng)的報(bào)告“計(jì)算科學(xué)：確保美國競爭力”中指出，“計(jì)算科學(xué)采用先進(jìn)的計(jì)算能力理解和求解復(fù)雜問題,已經(jīng)成為對美國科技領(lǐng)導(dǎo)地位、經(jīng)濟(jì)競爭力和國家安全的關(guān)鍵，計(jì)算科學(xué)是21世紀(jì)最重要的技術(shù)領(lǐng)域之一”。,15,隨著計(jì)算機(jī)軟硬件和軟件開發(fā)新工具、外圍設(shè)備和相關(guān)工具的改進(jìn)和發(fā)展，新世紀(jì)的計(jì)算力學(xué)有了前所未有的發(fā)展機(jī)遇隨著人們關(guān)心以量子、分子和生物力學(xué)為基礎(chǔ)的物理（微電子、微機(jī)電系統(tǒng)）和生物系統(tǒng)的模型，關(guān)心巨尺度的自然現(xiàn)象（海嘯、雪崩)，計(jì)算力學(xué)有無限的未來發(fā)展和應(yīng)用的前景計(jì)算力學(xué)研究具有跨學(xué)科的性質(zhì)，使其能反映概念、方法和原則的組合，常常橫跨力學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域。其成功推動了“基于模擬的工程科學(xué)”的產(chǎn)生,計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望,16,計(jì)算力學(xué)發(fā)展展望,“基于模擬的工程科學(xué)”已經(jīng)并將持續(xù)對工程、科學(xué)研究和解決重大社會問題各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響；將帶來新世紀(jì)工程科學(xué)的革命性變革RevolutionizingEngineeringSciencethroughSimulation,“基于模擬的工程科學(xué)”(Simulation-basedEngineeringScience)為工程系統(tǒng)的模擬提供科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)科，它關(guān)注復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的工程系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模型和模擬，關(guān)注滿足規(guī)定精度和可靠度標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)的獲取，它已科學(xué)理解的進(jìn)步為基礎(chǔ)，并通過計(jì)算機(jī)模擬，將其與解決工程問題的新方法結(jié)合,17,教學(xué)內(nèi)容,計(jì)算固體力學(xué)的基本理論固體力學(xué)(以彈性力學(xué)為主描述)的基本理論能量、變分原理和變分法特殊問題的數(shù)值計(jì)算方法介紹各類方法的構(gòu)造過程計(jì)算固體力學(xué)的主要方法有限差分法（FiniteDifferentMethod）加權(quán)殘數(shù)法（WeightedResidualMethod）有限元法（FiniteElementMethod）無網(wǎng)格法（MeshlessMethod）邊界元方法（BoundaryelementMethod）有限元法的應(yīng)用和前后處理,18,,,19,常用的數(shù)學(xué)知識和記號：張量和張量運(yùn)算張量：滿足一定的坐標(biāo)變化規(guī)律的數(shù)表。例如：向量：在不同的坐標(biāo)系下，分量和滿足矢量的變換關(guān)系稱為一階張量。,二階張量,第二章彈性力學(xué)基本理論,20,加減運(yùn)算：點(diǎn)積運(yùn)算（內(nèi)積）：求和約定：微分運(yùn)算：例如：應(yīng)變,張量的運(yùn)算,21,彈性力學(xué)的基本理論,彈性力學(xué)的基本假定:連續(xù)性,均勻性,各向同性,完全彈性,小變形五個(gè)假設(shè)建立根據(jù)作用于彈性體上的外力,決定彈性體內(nèi)的變形和應(yīng)力及其演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型（控制方程）。彈性體的變形和內(nèi)力描寫——應(yīng)變，應(yīng)力的定義用應(yīng)變張量描寫每一點(diǎn)的變形用應(yīng)力張量描寫每一點(diǎn)的內(nèi)力,,22,彈性力學(xué)的基本方程,應(yīng)力-外力之間的關(guān)系：平衡方程（運(yùn)動方程）位移和應(yīng)變的關(guān)系：幾何關(guān)系應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系：物理本構(gòu)研究變形機(jī)理，變形的誘因（外部作用）例如：彈性力學(xué)問題：Hooke定律。熱彈性問題：熱膨脹規(guī)律,彈性常數(shù)歲溫度的變化規(guī)律。塑性力學(xué)：屈服條件，強(qiáng)化準(zhǔn)則，流動準(zhǔn)則。斷裂力學(xué)：裂紋起裂條件和裂紋擴(kuò)展規(guī)律等。,23,應(yīng)力和平衡方程,,應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力應(yīng)力與作用面的方向相關(guān)。各方向上的應(yīng)力稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。為了完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可取與坐標(biāo)軸垂直的三個(gè)面上的應(yīng)力表示。為應(yīng)力張量對稱性：應(yīng)力向量（矩陣形式的表示方法）,24,,平衡方程：可寫成或矩陣形式,25,,,應(yīng)力邊界條件矩陣形式張量形式其中,方向余弦,26,幾何關(guān)系（位移和應(yīng)變的關(guān)系）,根據(jù)彈性體每一點(diǎn)的位移,給出每一點(diǎn)的變形（應(yīng)變、轉(zhuǎn)角）,建立變形與位移之間的定量關(guān)系,,,,,,,,Q,P,ds,Q’,P’,ds’,,變形前Ｐ,Ｑ；變形后Ｐ,Ｑ任意點(diǎn)的運(yùn)動（u,v,w),,27,Green應(yīng)變,Green應(yīng)變E定義為：,設(shè)分別為變形前后的材料矢量,Green應(yīng)變的推導(dǎo)：,與Green應(yīng)變定義對比，得到,28,位移、應(yīng)變與幾何方程,位移應(yīng)變小變形,29,位移、應(yīng)變與幾何方程,張量形式矩陣形式,30,大變形：,31,線性彈性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系（線彈性）胡克定律：單向拉伸，如彈簧等廣義胡克定律：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)非線性彈性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān)粘彈性本構(gòu)關(guān)系：應(yīng)力與應(yīng)變率相關(guān),材料的本構(gòu)關(guān)系,32,低碳鋼單軸拉伸試驗(yàn)曲線,,,,,試件,頸縮,33,一般線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,應(yīng)力和應(yīng)變滿足,由功的互等關(guān)系，共有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)注意：主應(yīng)力和主應(yīng)變方向不重合,34,各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,各向同性線彈性和小變形假設(shè)下，應(yīng)力和應(yīng)變滿足廣義虎克定律,對各向同性材料有,(有2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)),主應(yīng)力和主應(yīng)變方向重合,35,各向同性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,對于平面應(yīng)力狀態(tài)，上式成為,或,對于平面應(yīng)變狀態(tài)，則為,或,36,,,線彈性本構(gòu)關(guān)系的張量表示,一般的各向異性材料的線彈性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系：,或,對于一般的各向異性材料，彈性常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立,三維各向同性材料本構(gòu)方程：,37,正交各向異性線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,應(yīng)力和應(yīng)變滿足（選取彈性對稱軸為x,y,z軸）,由功的互等關(guān)系，共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)若坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，則上述正交性質(zhì)將被掩蓋,38,熱應(yīng)變,對于各向同性材料，熱應(yīng)變與溫度變化成正比：,考慮熱應(yīng)變，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系成為：,39,,邊界條件在位移邊界條件上：在應(yīng)力邊界上：,40,彈性力學(xué)問題的構(gòu)成,彈性力學(xué)問題的建立與求解變量：3個(gè)位移分量，6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量基本方程：平衡方程，幾何方程，物理方程邊界條件：位移邊界條件，應(yīng)力邊界條件,41,求解方法及相對應(yīng)的控制方程：力法：以應(yīng)力為基本位移量平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程位移法：以位移為基本未知數(shù)平衡方程：位移表示的平衡方程對應(yīng)原理：變分原理微分方程的積分形式，泛函變分與基本方程的對應(yīng)。建立各種問題所對應(yīng)的變分原理。總之：固體力學(xué)是建立固體變形規(guī)律所必需滿足的規(guī)律以及數(shù)學(xué)模型。為各種求解策略提供理論基礎(chǔ),42,彈性力學(xué)的主要解法,解析法；湊合法與半湊合法；簡化假定平截面假定－桿，梁；直法線假定－板殼；平面應(yīng)力問題;平面應(yīng)變問題;對稱問題（軸對稱問題，球?qū)ΨQ問題）應(yīng)力函數(shù)法；復(fù)變函數(shù)法；積分方程法；有限差分法；變分法；,光測;電測;數(shù)值方法,只能求解簡單的問題：簡單的結(jié)構(gòu)形狀、荷載分布和邊界條件,43,求解策略,物理模型的簡化桿（梁）平面問題平面應(yīng)力問題，薄板平面應(yīng)力問題：（很厚）柱體板（殼）發(fā)展數(shù)值求解策略直接求解方法：差分方法積分形式的控制方程問題：有限元，加權(quán)余量等,44,桿件(包括桿和梁),桿:只在軸向受力梁:考慮彎曲變形,幾何特點(diǎn):結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近,但遠(yuǎn)小于第三方向尺度;基本假定:垂直于桿件軸線的平斷面變形后保持平斷面;三維問題簡化為一維;,無分布力時(shí)，桿的變形用線性函數(shù)描述即可,45,平面應(yīng)力問題,幾何特點(diǎn):結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近,但遠(yuǎn)大于第三方向尺度;受力特點(diǎn):只受到在平面內(nèi)的力;平面外的應(yīng)力分量為0;三維問題簡化為二維,46,平面應(yīng)變問題,幾何特點(diǎn):結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近,但第三方向尺度無窮大;受力特點(diǎn):受到的力在第三方向是均勻的;平面外的應(yīng)變分量為0;三維問題簡化為二維,47,幾何特點(diǎn):結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的尺度相近,但遠(yuǎn)大于第三方向尺度;受力特點(diǎn):只受到在平面外的力;直法線假定;三維問題簡化為二維,平板彎曲問題,