歡迎各位同學來到數(shù)學分析課堂.ppt
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歡迎各位同學來到數(shù)學分析課堂！,緒論,一、什么是數(shù)學,,世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質變的規(guī)律。,,,,數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系的科學。（牛頓、萊布尼茲認為數(shù)學成為研究運動與變化的學問，19世紀，恩格斯提出這樣的定義）,,,“空間形式”必須理解為一切類似于空間形式的形式：射影空間、非歐幾里得空間、拓撲空間、無窮維空間的空間、微分流形……,“數(shù)量關系”也要理解為一切類似于數(shù)量關系的關系：邏輯關系、語法關系……數(shù)學研究的是各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結構。,在今天的數(shù)學中，“數(shù)”和“形”的概念已發(fā)展到很高的境地。比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結構，像群、環(huán)、域等；無形之形的一些抽象空間，像線性空間、拓撲空間、流形等。,,,,,第一階段數(shù)學萌芽時期（遠古-----公元前5世紀）：算術幾何形成時期，但它們還未分開，彼此交織在一起，沒有形成完整、嚴格的體系，缺乏邏輯性，基本上看不到命題證明、演繹、推理。,第二階段常量（初等）數(shù)學時期（公元前5世紀------17世紀中葉）：數(shù)學逐步形成了一門獨立的、演繹的學科。算術、初等幾何、初等代數(shù)、三角學都已成為獨立的分支。兩大巨著：《幾何原本》《九章算術》——東西輝映，淵源流長。,二、數(shù)學發(fā)展簡史：,,,第三階段變量（高等）數(shù)學時期（17世紀中葉------19世紀中葉）：變量與函數(shù)的概念進入數(shù)學。解析幾何、微積分、概率論、射影幾何形成。,第四階段近代數(shù)學時期（19世紀中葉------二次大戰(zhàn)）：非歐幾里得幾何、抽象代數(shù)、復變函數(shù)論、集合論、微分幾何、微分方程論、積分方程論、點集拓撲、組合拓撲……。,,,第五階段現(xiàn)代數(shù)學時期（20世紀40年代以來）：（原子能的應用，電子計算機的發(fā)明，空間技術的興起）廣義函數(shù)論、整體微分幾何、非標準分析、微分拓撲、代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、同調代數(shù)、模糊數(shù)學、計算數(shù)學、分形幾何……,,,從常量數(shù)學到變量數(shù)學,常量數(shù)學應用的局限性建立了日心學理論之后，17世紀的人們面臨如何改進計算行星位置，如何解釋地球上靜止的物體保持不動，下降的物體還落在地球上等問題，這類問題的核心是物體的運動。帶有運動特征的問題，初等數(shù)學（算術，初等代數(shù)，初等幾何，三角）無能為力。,,,數(shù)學基礎是解析幾何，標志為微積分。1）解析幾何的產生解析幾何學是借助坐標系，用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，也叫坐標幾何。由法國數(shù)學家笛卡兒和費爾馬等人創(chuàng)建（1637年）。,,,變量數(shù)學產生的過程,解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學的第一個里程碑。從根本上改變了數(shù)學的面貌，使數(shù)學從此跨入了一個嶄新的時代，即從常量數(shù)學進入變量數(shù)學的時代，從而大大地促進了數(shù)學的發(fā)展。,2）函數(shù)概念的出現(xiàn)16世紀開始，科學家認為運動是最基本的物理現(xiàn)象，因此自然科學研究的中心問題是運動，各種變化的過程和變化著的量之間的依賴關系成為新的研究對象，科學家相信運動可以用數(shù)學來描述，于是出現(xiàn)了函數(shù)的概念。函數(shù)概念的出現(xiàn)最早在17世紀，但它的定義直到19世紀才形成，函數(shù)概念本身的發(fā)展直到現(xiàn)在還在繼續(xù)。,,,3）微積分的創(chuàng)立與微積分創(chuàng)立密切相關的科學技術問題，從數(shù)學角度歸納起來有四類：1．已知變速運動的路程（為時間的函數(shù)）時，求瞬時速度和加速度；2．求已知曲線的切線；3．求給定函數(shù)的最大值與最小值；4．求給定曲線長度；求平面曲線圍成的面積；求已知曲面圍成的體積；求物體的重心；已知變速運動物體的速度、加速度，求物體運動的路程與時間的關系。,,,在17世紀探索微積分的至少有十幾位大數(shù)學家和幾十位小數(shù)學家。這些前驅者對于求解各類微積分問題確實作出了寶貴的貢獻，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性。求切線，求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等基本問題，在當時是被作為不同類型處理的。,牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時刻出場的。時代的需要與個人的才識，使他們完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關鍵的一步。微積分的出現(xiàn)具有劃時代意義，時至今日，它不僅成了學習高等數(shù)學各個分支必不可少的基礎，而且是學習近代任何一門自然科學和工程技術的必備工具。,變量數(shù)學產生的意義1）變量數(shù)學的產生，為自然科學更精確地描述物質世界提供了有效的工具。2）變量數(shù)學的產生，促進數(shù)學自身的發(fā)展與嚴密。產生新的數(shù)學分支，如解析數(shù)論，微分幾何等。解決了第一次，第二次數(shù)學危機，建立了極限理論，完成了實數(shù)的定義等，使數(shù)學更加嚴密。,3）變量數(shù)學的產生，使辯證法進入數(shù)學。辯證法把世界現(xiàn)象看作是普遍聯(lián)系和永恒變化著的，把世界的發(fā)展看作是自身所固有的各種矛盾發(fā)展的結果。變量數(shù)學的許多概念如函數(shù)極限導數(shù)積分等，從哲學上講，就是辯證法在數(shù)學中的應用，而微積分的完善就是自身矛盾發(fā)展的結果。因此，變量數(shù)學的產生，為辯證法進入數(shù)學提供了契機，并且為辯證法具有普遍性的論斷，在數(shù)學上提供了有力的證明。,,植根于科學與技術之沃土，枝繁葉茂，蔭及各個領域,數(shù)學大樹,,,三、初等數(shù)學與高等數(shù)學的區(qū)別,17世紀以前的數(shù)學稱為初等數(shù)學，研究的是常量間的代數(shù)運算和孤立的、不變的幾何形體內部及相互間的關系。,1637年笛卡兒引入了坐標系，溝通了數(shù)與形之間的關系，這時數(shù)學研究的是變量和不規(guī)則的幾何形體。微積分的創(chuàng)立，使數(shù)學的發(fā)展出現(xiàn)了一日千里之勢，形成了內容豐富的數(shù)學分析、高等代數(shù)、高等幾何三大分支。相對于初等數(shù)學，它們稱為高等數(shù)學。,,,初等數(shù)學主要采用形式邏輯法，靜止地、孤立地、一個一個地進行研究；高等數(shù)學則是以運動的、變化的觀點去研究問題。,數(shù)學分析是一門非常重要的基礎理論課，它對后續(xù)課程有直接影響，關系到整個專業(yè)基礎課學習的成敗、關系到同學們的素質培養(yǎng)，對同學將來從事專業(yè)科學研究起著非凡的作用，其核心內容是微積分。,,,著名數(shù)學家柯朗說：“微積分學，或者數(shù)學分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學和人文科學之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具，……這門學科乃是一種憾人心靈的智力奮斗的結晶；,這種奮斗已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年之久，它深深扎根于人類活動的許多領域，并且，只要人們認識自己和認識自然的努力一日不止，這種奮斗就將繼續(xù)不已?！?,,恩格斯指出：“在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀下半葉微積分學的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了?！彼€說：“只有微積分學才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運動?！?,,微積分對科學技術的重要性就象望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學。,微積分的創(chuàng)立，與其說是數(shù)學史上，不如說是科學史上的一個創(chuàng)舉。,微積分是學好其他理工課程的基礎，也是學好專業(yè)課的工具，不掌握好微積分，在科學技術的征途中將困難重重。,,,四、怎樣學好數(shù)學分析,1、數(shù)學的特點,（1）高度的抽象性（概念更復雜、表達形式更抽象）,“一般化和抽象是數(shù)學之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，數(shù)學才能如此異乎尋常地有效?！?,,這是什么?123.8570.98888.888.8888,你以為這是數(shù)嗎？,抽象不是數(shù)學獨有的特性，但數(shù)學的抽象最為典型。,,,——這是我們以后經(jīng)常要用到的數(shù)學語言。,,,（2）嚴謹?shù)倪壿嬓裕ɡ碚撔愿鼜?、推理更嚴謹?“嚴格性對于數(shù)學家，就如道德之對于人?！?說數(shù)學的精確性，不是指“把圓周率計算到小數(shù)點兒后千位、萬位、幾十億位”那類事情（在強大的計算機上，人們已經(jīng)計算到了…….）而是說數(shù)學結論的邏輯嚴格性。它不是靠實驗千萬次、而是邏輯推導！這也是科學證明與數(shù)學證明的區(qū)別！,,,（3）廣泛的應用性（科學技術的各個領域）,愛因斯坦說：“數(shù)學的領土相應地定義為那些能被數(shù)學術語表達的知識的總和?！?看看如下膾炙人口的幾個事實——海王星的發(fā)現(xiàn),,,天文學家發(fā)現(xiàn)天王星的運動軌道與數(shù)學計算結果有15o的誤差，引起天文學家的推測：在天王星軌道之外可能還有未知的行星在影響著天王星的運動。,經(jīng)過一段時間的觀測，天文學家們一致公認了這顆新發(fā)現(xiàn)的星是太陽系的第八顆大星。命名為“海王星”。,,,最能說明數(shù)學在天文中的重要作用的是海王星的發(fā)現(xiàn)。海王星是在根本還沒有被人發(fā)現(xiàn)之前，僅僅憑借紙上的計算，就確定了它的運行軌道和將要出現(xiàn)的位置，最終被發(fā)現(xiàn)的行星，所以它是科學預言的偉大勝利，在科學史上占有一席特殊的地位。,,,電磁波的發(fā)現(xiàn),自牛頓時代起，物理問題就成為數(shù)學發(fā)展的一個重要源泉。用數(shù)學方程表示物理現(xiàn)象是許多科學大師追求的最高目標。,麥克斯韋1864年導出電磁場方程是19世紀數(shù)學物理最重要的勝利，根據(jù)對這組方程的研究，麥克斯韋預言了電磁波的存在。不僅給科學和技術帶來巨大的沖擊，同時也使偏微分方程威名大振。,,,同一個偏微分方程，在流體力學中用來描寫流體動態(tài)；在彈性力學中用來描寫振動過程；在聲學中用來描寫聲音傳播等。還沒有哪一門科學在應用的廣泛性上能與數(shù)學相比。,,,2、教學特點,（1）課堂大,（2）時間長,（3）進度快,（4）課上講，課下練,（5）不重復,,,3、對學生的要求——會學（不只是學會）,（1）預習,（2）聽講（會聽課）,（3）記筆記,（4）復習（會看書）,（5）做作業(yè),（6）答疑（會提問）,（7）討論,（8）學會利用圖書館,俗話說：“學問、學問，有學有問”，鄭扳橋說：“學問二字要拆開看，學是學，問是問，今人有學而無問，雖讀書萬卷，只是一條鈍漢爾”。,,,4、參考書《數(shù)學分析同步輔導》（彭舟姬燕妮編）（共2冊）*《數(shù)學分析習題精解》（吳良森等編）（共2冊）《數(shù)學分析習題集題解》（吉米多維奇）（共6冊）,,,5、交作業(yè)和答疑,每個同學準備兩個作業(yè)本，每周一交上周的作業(yè)，教師批改其中1/3。每班選出一名課代表，負責收發(fā)作業(yè)及師生之間的聯(lián)系。每周三5-6節(jié)答疑，地點：四教西區(qū)204。,,,第一章實數(shù)集與函數(shù),第一節(jié)實數(shù),一、實數(shù),,,,1、實數(shù)的無限小數(shù)表示,,如:4.6789記為,34記為,4.6788999…,33.999…,,,*對于負的有限小數(shù)（包括負整數(shù)）y,則先將-y表示為無限小數(shù)，再在所得無限小數(shù)前加負號。,如-9.657432表示為,-9.657431999…,如-6表示為,-5.9999…,*規(guī)定0表示成0.000…,,,2、實數(shù)的比較,定義1（一）兩個非負實數(shù),（1）則稱x=y，,（2），或存在非負整數(shù)l，使,則稱x>y或y
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