（河北專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 專題拓展 8.7 實(shí)踐與探究（試卷部分）課件.ppt
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8.7實(shí)踐與探究,中考數(shù)學(xué)(河北專用),一、拓展與探究,好題精練,1.(2018河南,22,10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空:①的值為;②∠AMB的度數(shù)為.(2)類比探究如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90,∠OAB=∠OCD=30,連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由.,,(3)拓展延伸在(2)的條件下,將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M.若OD=1,OB=,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.,解析(1)①1.(1分)②40.(注:若填為40,不扣分)(2分)(2)=,∠AMB=90.(注:若無判斷,但后續(xù)證明正確,不扣分)(4分)理由如下:∵∠AOB=∠COD=90,∠OAB=∠OCD=30,∴==,又∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.∴△AOC∽△BOD.(6分)∴==,∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=90,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90.∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90.∴∠AMB=90.(8分)(3)AC的長為2或3.(10分)【提示】在△OCD旋轉(zhuǎn)過程中,(2)中的結(jié)論仍成立,即=,∠AMB=90.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí),AC1,AC2的長即為所求.,思路分析(1)證明△AOC≌△BOD,得AC=BD,∠OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=40;(2)證明△AOC∽△BOD,得==,∠OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=90;(3)作圖確定△OCD旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的兩個(gè)位置,分別求出BD的長度,根據(jù)=得出AC的長.,方法規(guī)律本題為類比探究拓展問題,首先根據(jù)題(1)中的特例感知解決問題的方法,類比探究,可以類比(1)中解法,解(2)中的問題,得出結(jié)論,總結(jié)解答前兩個(gè)問題所用的方法和所得結(jié)論,依據(jù)結(jié)論對(duì)(3)中的問題分析,通過作圖,計(jì)算得出結(jié)果.問題(3)直接求AC的兩個(gè)值難度較大,可以先求出BD的兩個(gè)值,根據(jù)=,再求出AC的兩個(gè)值.,2.(2017河南,22,10分)如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).(1)觀察猜想圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;(2)探究證明把△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;(3)拓展延伸把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值.,解析(1)PM=PN;PM⊥PN.(2分)(2)等腰直角三角形.(3分)理由如下:由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.(5分)∵點(diǎn)P,M分別是DC,DE的中點(diǎn),∴PM是△DCE的中位線.∴PM=CE且PM∥CE.同理可證PN=BD且PN∥BD.∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC.(6分)∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN.∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90,即△PMN為等腰直角三角形.(8分)(3).(10分)詳解:同(2)可證△PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PM⊥PN.,又知PM=EC,所以S△PMN=PM2=EC2,所以當(dāng)EC最大時(shí),S△PMN最大.如圖,EC的最大值為AE+AC=AD+AB=4+10=14,∴S△PMN的最大值為.,3.(2015湖北隨州,24,10分)問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論.【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90,AB=AD,∠B+∠D=180,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD.【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60,∠ADC=120,∠BAD=150,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F,且AE⊥AD,DF=40(-1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73),解析【發(fā)現(xiàn)證明】證明:∵△ADG≌△ABE,∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,又∵∠EAF=45,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45,∴∠GAF=∠FAE,在△GAF和△FAE中,∴△AFG≌△AFE(SAS).∴GF=EF.又∵DG=BE,∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF.【類比引申】∠BAD=2∠EAF.理由如下:如圖,延長CB至M,使BM=DF,連接AM,,∵∠ABC+∠D=180,∠ABC+∠ABM=180,∴∠D=∠ABM,在△ABM和△ADF中,∴△ABM≌△ADF(SAS),∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,∵∠BAD=2∠EAF,∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,在△FAE和△MAE中,∴△FAE≌△MAE(SAS),∴EF=EM=BE+BM=BE+DF.即EF=BE+DF.【探究應(yīng)用】如圖,連接AF,延長BA,CD交于點(diǎn)O.,易知∠AOD=90,在Rt△AOD中,∠ODA=60,∠OAD=30,AD=80米,∴AO=40米,OD=40米,∴OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,∴在Rt△OAF中,AO=OF,∴∠OAF=45,∴∠DAF=45-30=15,∴∠EAF=90-15=75,∴∠EAF=∠BAD.由【類比引申】的結(jié)論可得EF=BE+DF=40(+1)≈109米.,二、思考與探究(2017江蘇南京,27,11分)折紙的思考.【操作體驗(yàn)】用一張矩形紙片折等邊三角形.第一步,對(duì)折矩形紙片ABCD(AB>BC)(圖①),使AB與DC重合,得到折痕EF,把紙片展平(圖②).第二步,如圖③,再一次折疊紙片,使點(diǎn)C落在EF上的P處,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.,(1)說明△PBC是等邊三角形.【數(shù)學(xué)思考】(2)如圖④,小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發(fā)現(xiàn),在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化,可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請(qǐng)描述圖形變化的過程.(3)已知矩形一邊長為3cm,其鄰邊長為acm.對(duì)于每一個(gè)確定的a的值,在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請(qǐng)畫出不同情形的示意圖,并寫出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍.,【問題解決】(4)用一張正方形鐵片剪一個(gè)直角邊長分別為4cm和1cm的直角三角形鐵片,所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.,解析(1)證明:由折疊可知PB=PC,BP=BC,因此△PBC是等邊三角形.(2)本題答案不唯一,下列解法供參考.如圖,以點(diǎn)B為中心,在矩形ABCD中把△PBC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?得到△P1BC1;再以點(diǎn)B為位似中心,將△P1BC1放大,使點(diǎn)C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2落在CD上,得到△P2BC2.(3)本題答案不唯一,下列解法供參考.,思路分析(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC,PB=CB,得出△PBC是等邊三角形;(2)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和位似的性質(zhì)即可得出答案;(3)利用等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算,即可畫出圖形;(4)證明△AEF∽△DCE,得出==,設(shè)AE=xcm,則AD=CD=4xcm,DE=AD-AE=3xcm,在Rt△CDE中,由勾股定理得出方程,進(jìn)而得出邊長的最小值.,三、實(shí)踐與探究(2016山西,22,12分)綜合與實(shí)踐問題情境在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,將一張菱形紙片ABCD(∠BAD>90)沿對(duì)角線AC剪開,得到△ABC和△ACD.操作發(fā)現(xiàn)(1)將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=∠BAC,得到如圖2所示的△,ACD,分別延長BC和DC交于點(diǎn)E,則四邊形ACEC的形狀是;(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=2∠BAC,得到如圖3所示的△ACD,連接DB,CC,得到四邊形BCCD,發(fā)現(xiàn)它是矩形.請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論;實(shí)踐探究(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,量得圖3中BC=13cm,AC=10cm,然后提出一個(gè)問題:將△ACD沿著射線DB方向平移acm,得到△AC″D,連接BD,CC″,使四邊形BCC″D恰好為正方形,求a的值.請(qǐng)你解答此問題;(4)請(qǐng)你參照以上操作,將圖1中的△ACD在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移,得到△ACD,在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形,標(biāo)明字母,說明平移及構(gòu)圖方法,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,不必證明.圖4,解析(1)菱形.(2)證明:如圖,作AE⊥CC于點(diǎn)E.由旋轉(zhuǎn)得AC=AC,∴∠CAE=∠CAE=α=∠BAC.由題意知BA=BC,∴∠BCA=∠BAC.∴∠CAE=∠BCA,∴AE∥BC.同理,AE∥DC,∴BC∥DC.又∵BC=DC,∴四邊形BCCD是平行四邊形.又∵AE∥BC,∠CEA=90,∴∠BCC=180-∠CEA=90,∴四邊形BCCD是矩形.(3)過點(diǎn)B作BF⊥AC,垂足為F.,一、拓展與探究,教師專用題組,1.(2017江西,23,12分)我們定義:如圖1,在△ABC中,把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<180)得到AB,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC,連接BC.當(dāng)α+β=180時(shí),我們稱△ABC是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△ABC邊BC上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.特例感知(1)在圖2,圖3中,△ABC是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC;②如圖3,當(dāng)∠BAC=90,BC=8時(shí),則AD長為.猜想論證(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.,拓展應(yīng)用(3)如圖4,在四邊形ABCD中,∠C=90,∠D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”?若存在,給予證明,并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長;若不存在,說明理由.圖4,解析(1)①.(1分)②4.(3分)(2)猜想:AD=BC.(4分)證明:證法一:如圖,延長AD至E,使DE=AD,連接BE,CE.∵AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”,∴BD=CD,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴EC∥BA,EC=BA,∴∠ACE+∠BAC=180.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,BA=BA,AC=AC,,∴∠ACE=∠BAC,EC=BA.∴△ACE≌△CAB.∴AE=CB.(6分)∵AD=AE,∴AD=BC.(7分)證法二:如圖,延長BA至F,使AF=BA,連接CF.∴∠BAC+∠CAF=180.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,BA=BA,AC=AC,∴∠CAB=∠CAF,AB=AF,∴△ABC≌△AFC,∴BC=FC.(6分),∵BD=CD,BA=AF,∴AD是△BFC的中位線,∴AD=FC,∴AD=BC.(7分)證法三:如圖,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAC的度數(shù),得到△AEC,此時(shí)AC與AC重合,設(shè)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,連接AD.由定義可知∠BAC+∠BAC=180,由旋轉(zhuǎn)得∠BAC=∠EAC,∴∠BAC+∠EAC=180,∴E,A,B三點(diǎn)在同一直線上.(6分),∵AB=AB=AE,ED=DC,∴AD是△EBC的中位線,∴AD=BC,∴AD=BC.(7分)(注:其他證法參照給分)(3)存在.(8分)如圖,以AD為邊在四邊形ABCD的內(nèi)部作等邊△PAD,連接PB,PC,延長BP交AD于點(diǎn)F,則有∠ADP=∠APD=60,PA=PD=AD=6.,∵∠CDA=150,∴∠CDP=90.過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,易知四邊形PDCE為矩形,∴CE=PD=6,∴tan∠1===,∴∠1=30,∴∠2=60.(9分)∵PE⊥BC,且易知BE=EC,∴PC=PB,∠3=∠2=60,∴∠APD+∠BPC=60+120=180.又PA=PD,PB=PC,∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”.(10分)∵∠3=60,∠DPE=90,∴∠DPF=30.∵∠ADP=60,∴BF⊥AD,∴AF=AD=3,PF=AD=3.在Rt△PBE中,,PB====4.∴BF=PB+PF=7.在Rt△ABF中,AB===2.(11分)∵△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”,∴由(2)知,△PAB的“旋補(bǔ)中線”長為AB=.(12分)求解“旋補(bǔ)中線”補(bǔ)充解法如下:如圖,分別延長AD,BC相交于點(diǎn)G,∵∠ADC=150,∠BCD=90,∴∠GDC=30,∠GCD=90.,∴在Rt△GDC中,GD==2=4.∴GC=GD=2,∴GA=6+4=10,GB=2+12=14.過A作AH⊥GB交GB于點(diǎn)H,在Rt△GAH中,AH=GAsin60=10=5,GH=AG=5.∴HB=GB-GH=14-5=9,∴在Rt△ABH中,AB===2.(10分)∵△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”,∴由(2)知,△PAB的“旋補(bǔ)中線”長為AB=.(12分)(注:其他解法參照給分),2.(2015山東德州,23,10分)(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90.求證:ADBC=APBP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題:如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠DPC=∠A,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切時(shí),求t的值.,解析(1)證明:∵∠DPC=∠A=∠B=90,∴∠ADP+∠APD=90,∠BPC+∠APD=90,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC.(1分)∴=.∴ADBC=APBP.(2分)(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立.(3分)理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,又∵∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=θ,∴∠BPC=∠ADP.又∵∠A=∠B=θ,∴△ADP∽△BPC.(4分)∴=.∴ADBC=APBP.(5分)(3)如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.,∵AD=BD=5,AB=6,∴AE=BE=3,在Rt△BED中,由勾股定理得DE=4.(5分)∵以D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切,∴DC=DE=4,∴BC=5-4=1.又∵AD=BD,∴∠A=∠B.∵∠DPC=∠A,∴∠DPC=∠B.由(1)、(2)的經(jīng)驗(yàn)可知ADBC=APBP.(7分)∵AP=t,BP=6-t,∴t(6-t)=51.(8分),解得t1=1,t2=5.∴t的值為1或5.(10分),∴AD∥BC.∴=.(依據(jù)1)∵BE=AB,∴=1.∴EM=DM.即AM是△ADE的DE邊上的中線,又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依據(jù)2)∴AM垂直平分DE.反思交流:(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上,請(qǐng)直接回答,不必證明;(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進(jìn)行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上,請(qǐng)你給出證明;探索發(fā)現(xiàn):(3)如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C,點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn),在哪條邊的垂直平分線上,請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.圖2圖3,解析(1)①依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例).(1分)依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”).(2分)②點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上.(3分)(2)證明:過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H.(4分)∵四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長線上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90.∴∠1+∠2=90.∵四邊形CEFG為正方形,,∴CG=CE,∠GCE=90.∴∠1+∠3=90,∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.(6分)∴HC=BE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC,∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上.(7分)(3)點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上(或點(diǎn)F在AD邊的垂直平分線上).(8分)證法一:過點(diǎn)F作FM^BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN^FM于點(diǎn)N.(9分),∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90.∵四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長線上,∴∠CBE=∠ABC=90.∴四邊形BENM為矩形.(10分)∴BM=EN,∠BEN=90.∴∠1+∠2=90.∵四邊形CEFG為正方形,∴EF=EC,∠CEF=90.∴∠2+∠3=90.∴∠1=∠3.∵∠CBE=∠ENF=90,∴△ENF≌△EBC.(11分)∴NE=BE.∴BM=BE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,AB=BE,∴BC=2BM.,∴BM=MC.∴FM垂直平分BC,∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.(12分)證法二:過F作FN⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)N,連接FB,FC.(9分)∵四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長線上,∴∠CBE=∠ABC=∠N=90.∴∠1+∠3=90.∵四邊形CEFG為正方形,∴EC=EF,∠CEF=90.∴∠1+∠2=90,∴∠2=∠3.∴△ENF≌△CBE.(10分),∴NF=BE,NE=BC.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴設(shè)BE=a,則BC=EN=2a,NF=a.∴BF===a,CE===a,CF==CE=a.(11分)∴BF=CF.∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.(12分),2.(2017山東臨沂,25,11分)數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長CB到E,使BE=CD,連接AE,證得△ABE≌△ADC,從而容易證明△ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,使AB與AD重合,從而容易證明△ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:(1)小穎提出:如圖4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60”改為“∠ACB=∠ACD=∠,ABD=∠ADB=45”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,并給出證明;(2)小華提出:如圖5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,不用證明.,解析(1)BC+CD=AC.證明:如圖,延長CB到E,使BE=CD,連接AE.∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45,∴∠BAD=90,∠BCD=90,AD=AB.∴∠ABC+∠ADC=180,又∵∠ABE+∠ABC=180,∴∠ADC=∠ABE.∴△ADC≌△ABE.∴AC=AE,∠CAD=∠EAB.∴∠EAC=∠BAD=90.∴CE=AC,∴BC+CD=AC.(2)BC+CD=2ACcosα.(證明:如圖,延長CB到E,使BE=CD,連接AE.,∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α,∴∠BAD=180-2α,∠BCD=2α,AD=AB.∴∠BAD+∠BCD=180,∴∠ABC+∠ADC=180.又∵∠ABE+∠ABC=180,∴∠ADC=∠ABE,∴△ADC≌△ABE,∴AC=AE.過點(diǎn)A作AF⊥CE,則EC=2CF.在Rt△ACF中,CF=ACcosα.∴EC=2ACcosα,∴BC+CD=2ACcosα.),一題多解(1)BC+CD=AC.證明:∵∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45,∴∠BAD=90,∠BCD=90.∴∠ABC+∠ADC=180.將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至△ADF,使AB與AD重合.∴DF=BC,∠F=∠ACB=45,∠CAF=90,∠ADF=∠ABC.∴∠ADF+∠ADC=180.∴C、D、F三點(diǎn)在同一條直線上.∴CF=AC.∴BC+CD=AC.,三、實(shí)踐與探究,1.(2018陜西,25,12分)問題提出(1)如圖①,在△ABC中,∠A=120,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值為.問題探究(2)如圖②,☉O的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點(diǎn),P是☉O上一動(dòng)點(diǎn),求PM的最大值.問題解決(3)如圖③所示,AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路,其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60,所對(duì)的圓心角為60.新區(qū)管委會(huì)想在路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F,也就是,分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸,因此,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本,要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值.(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)),解析(1)5(2分)詳解:如圖,設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心,∴OA=OB=OC,又AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO,∵∠BAC=120,∴∠BAO=60,∴△ABO是等邊三角形,∴AB=OA=OB=5.即△ABC的外接圓半徑R的值為5.(2)如圖,連接MO,并延長與☉O相交于點(diǎn)P,連接OA,OP.,∵M(jìn)是弦AB的中點(diǎn),∴OM⊥AB,AM=AB=12.在Rt△AOM中,OM==5.(4分)∵PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18,∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P時(shí),PM取得最大值,為18.(5分)(3)如圖,設(shè)P為上任意一點(diǎn),分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連接P1P2,分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F,連接PE,PF,,∴△PEF的周長=P1E+EF+P2F=P1P2,對(duì)于點(diǎn)P及分別在AB、AC上的任意點(diǎn)E、F,有△PEF的周長≥△PEF的周長=P1P2.即△PEF周長的最小值為P1P2的長.(7分)連接AP1,AP,AP2,則AP1=AP=AP2,∠P1AB=∠PAB,∠P2AC=∠PAC,∴∠P1AP2=2∠BAC=120,∴P1P2=AP1=AP.(8分)∴要使P1P2最短,只要AP最短即可.設(shè)O為所在圓的圓心,連接OB、OC、OP、OA,且OA與相交于點(diǎn)P,,則AP+PO≥AO.∴AP≥AP.(9分)連接BC,易證△ACB為直角三角形,且∠ABC=30,∠ACB=90,∴BC=ACtan60=3km.∵∠BOC=60,OB=OC,∴BO=BC=3km,∠OBC=60,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90.在Rt△ABO中,AO===3km.(11分)∴AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.∴P1P2的最小值為AP=(3-9)km.∴PE+EF+FP的最小值為(3-9)km.(12分),思路分析(1)設(shè)O是△ABC的外接圓的圓心,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等可證△ABO是等邊三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM有最大值,根據(jù)垂徑定理可得AM=AB=12,再根據(jù)勾股定理求得OM=5,進(jìn)而由PM≤OM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分別以AB、AC所在的直線為對(duì)稱軸,作出P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為P1,關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為P2,易得△PEF的周長為P1P2的長,根據(jù)P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA與交于點(diǎn)P,此時(shí)使得線段PE、EF、FP之和最短,然后先判定△ABC為直角三角形,求出BC的長,在Rt△ABO中由勾股定理求出AO的長,進(jìn)而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,難點(diǎn)分析本題難點(diǎn)在于第(3)問如何確定P點(diǎn)的位置及何時(shí)PE+EF+FP取得最小值.讀懂題目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段OA的長度求出AP的最小值.,2.(2017陜西,25,12分)問題提出(1)如圖①,△ABC是等邊三角形,AB=12,若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,則OA的長為;問題探究(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18.如果點(diǎn)P是AD邊上一點(diǎn),且AP=3,那么BC邊上是否存在一點(diǎn)Q,使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分?若存在,求出PQ的長;若不存在,請(qǐng)說明理由;問題解決(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成,如圖③所示.管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭,以后,他想來給這塊草坪澆水,并且在用噴灌龍頭澆水時(shí),既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水,又能節(jié)約用水.于是,他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB,然后再轉(zhuǎn)回,這樣往復(fù)噴灌),同時(shí),再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了.如圖③,已測出AB=24m,MB=10m,△AMB的面積為96m2;過弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交于點(diǎn)E,又測得DE=8m.請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息,幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少為多少米時(shí),才能實(shí)現(xiàn)他的想,法,為什么?(結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.01米),解析(1)4.(3分)(2)存在.如圖,連接AC、BD,相交于點(diǎn)O,連接PO并延長交BC于點(diǎn)Q,則線段PQ將矩形ABCD的面積平分.(5分)∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心,∴CQ=AP=3.過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M,則PM=AB=12,MQ=12.∴PQ=12.(6分)(3)如圖,作射線ED交AM于點(diǎn)C.∵AD=DB,DE⊥AB,為劣弧,∴所在圓的圓心在射線DC上.,假設(shè)圓心為O,半徑為rm,連接OA,則r2=122+(r-8)2.解之,得r=13.∴OD=5.(8分)過點(diǎn)M作MN⊥AB,垂足為N.∵S△ABM=96,AB=24,∴MN=8,∵M(jìn)B=10,∴NB=6,AN=18.易得△ADC∽△ANM,∴=.∴DC=.∴ODMG.即MF>MG.(11分)過點(diǎn)O作OH⊥MN,垂足為H,則OH=DN=6,MH=3.∴OM=3.∴MF=OM+r=3+13.∴噴灌龍頭的射程至少為(3+13)米(約為19.71米).(12分),思路分析(1)根據(jù)等邊三角形的軸對(duì)稱性和內(nèi)心可知:△ABC的內(nèi)心與外心重合,構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理求出OA的長;(2)運(yùn)用矩形的中心對(duì)稱性可知PQ一定經(jīng)過矩形ABCD的對(duì)稱中心O,通過構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理可以求出PQ的長;(3)一是根據(jù)圓的對(duì)稱性找出圓心,運(yùn)用垂徑定理和勾股定理可求出該圓的半徑,二是利用相似判斷出點(diǎn)O與三角形AMB的位置關(guān)系,最后根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊”確定噴灌龍頭的最遠(yuǎn)射程為MF的長.,易錯(cuò)警示本題容易出錯(cuò)的地方是第(3)問,誤把MA的長當(dāng)作草坪上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最大距離.,3.(2016陜西,25,12分)問題提出(1)如圖①,已知△ABC.請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱的三角形.問題探究(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H,使得四邊形EFGH的周長最小?若存在,求出它周長的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.問題解決(3)如圖③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件,使∠EFG=90,EF=FG=米,∠EHG=45.經(jīng)研究,只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上,且AF下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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